湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测数学试题（学生版+解析版）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|x=3k-2,keN},则A∩B=()2.在VABC中，AB=3,BC=5,AC=7,则VABC最大内角为()3.设等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ,若S₄-a₃=18,S₂=7,则{a}的公差为()A.2B.3的对称点为N,设OA=a,OB=b,则MN=(A.a+bB.a-bD.2(b-a)5.若f(x)=sin(x+2φ)(0<φ的取值范围是(若过点E,F,P的平面截长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁)C所得的截面为五边形，则实数λD8.已知抛物线y²=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点(A在第一象限),线段AF,AB,BF的中点分别为M,P,N,若|MP|=2|NP,二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.10.已知函数f(x)=xeˣ+1,,则下列说法正确的有()A.两个函数的图象在x=0处的切线互相平行B.存在实数a,b,使得f(a)=g(b)C.函数f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增D.f(x)的图象可由g(x)的图象绕某个点旋转180得到不与x轴重合的直线与C的左、右两支分别交于点B和点A,AB的中点为D,坐标原点为0,则下列说法正确的是()B.2|OD|<|BF|+|AF₂|14.已知集合U={1,2,3,4,5},甲、乙两人分别从U的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设X为两人取到的集合中相同元素的个数，则X的数学期望E(X)=四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.记数列{a,}的前n项和为Sn,已知(2)设bₙ=nan,求数列{b}的前n项和Tn.究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额y(单位：万亿元)的散点图，如图所示：↑居民存款余额y12345678910111213141516年份序号t(1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率；(2)由散点图知，y和t的关系可用经验回归模型y=a·e进行拟合，求y关于t的经验回归方程.参考数据：设z;=lny,,参考公式：对于一组数据(t,z)(i=1,2,3,…,n),其经验回归直线z=α+βt的斜率和截距的最小二乘估计分别为17.如图，在正四棱锥P-ABCD中，点E在棱PB上，点F在棱PD上，且BF⊥AE.(1)证明：BF⊥平面AEC;(2)若E,F分别为所在棱的中点，求平面AEC与平面PAB的夹角的余弦值.(2)证明f(x)存在唯一的极大值点x₀,且f(x₀)≥0;(3)若对任意的x>0,不等式恒成立，求a的取值范围.19.已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂,上顶点和右顶点分别为M,,|FN|=3.(2)已知过点F₂直线l与E交于A,B两点，过点F₂且与1垂直的直线与E交于C,D两点，B,D在x轴的上方，P,Q分别为AB,CD的中点，直线BD与AC交于点H.(ii)求PQH面积的最小值.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={x1x=3k-2,keN},则A∩B=()A.{1,4}B.{2,5}C.{1}【解析】【分析】应用集合的交运算求集合即可.【详解】由A∩B={1,2,3,4,5}∩{x|x=3k-2,k∈N}={1,4}.故选：A2.在VABC中，AB=3,BC=5,AC=7,则VABC最大的内角为()【答案】C【解析】【分析】由大边对大角及余弦定理求最大内角.【详解】因为三条边中AC最大，所以最大的内角为B,由余弦定理故选：C3.设等差数列{an}前n项和为Sₙ,若S₄-a₃=18,S₂=7,则{a,}的公差为()A.2【答案】B【解析】【分析】根据已知及等差数列的通项公式列方程求基本量.故选：B是不同于原点O的两个点，点S关于点A的对称点为M,点S关于点B的对称点为N,设OA=a,OB=b,A.a+bB.a-b【解析】【分析】根据已知结合向量加减、数乘的几何意义，用OA=a,OB=b表示出MN即可.【详解】如图，由题意知2AB=MN,因为AB=OB-OA=b-a,所以MN=2(b-a).NN5.若f(x)=sin(x+2φ)(0<φ<π)为偶函数，则f(φ)=()【答案】A【解析】【分析】根据f(x)为偶函数，得到方程，求出或【详解】若f(x)为偶函数，又0<φ<π,或若,则,分两种情况，结合诱导公式得到答案.,解得或CP=λCC₁(0<λ<1),若过点E,F,P的平面截长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁所得的截面为五边形，则实数λ的取值范围是()【答案】B【解析】【分析】根据长方体的性质，以及面面相交的概念，判断截面为五边形时的情况，进而判断结果.因为E是AB的中点，所以AE=EB,在长方体中，CF//DM,所以NCF~NDM,因为DQ≤DD₁,所以即【解析】【分析】由条件利用同角关系化简可得sin2acosβ=2cos2asinβ,由条件,结合两角和正弦公式可得,再根据两角差的正弦公式求出结果即可.8.已知抛物线y²=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点(A在第一象限),线段【解析】则y₁+y₂=4m,y₁y₂=-4.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【解析】【详解】对于A,令x=0,则a%=(-1)¹⁰=对于B,由x⁹的系数为C|₀×2⁹×(对于C,令x=1,则a₀+a₁+…+a₁₀=令x=-1,则a₀-a₁+…+a₁₀=3¹②,令x=1,得a₁+2a₂+…+10a₁₀=20,故D正确.10.已知函数f(x)=xeˣ+1,则下列说法正确的有()D.f(x)的图象可由g(x)的图象绕某个点旋转180得到【解析】【详解】对于A,求f(x)的导数得f'(x)=(x+1)e求g(x)的导数得,故g'(O)=1.故f(x)在x=-1处取最小值对于C,对于D,若函数y=f(x)与y=8(x)关于点(m,n)中心对称，则对任意x,有f(2m-x)+g(x)=2n.对应得2m=0,m=0;2n=1,故f(x)与g(x)的图象关于点对称.而关于点对称的图形绕其对称中心旋转180°后会与另一图形重合，因此f(x)的图象可由g(x)的图象绕点旋转180°得到，D正确.故选：ACD11.已知双曲线的左、右焦点分别为F,F₂,且F₂到C的渐近线的距离为2.过点F₁且不与x轴重合的直线与C的左、右两支分别交于点B和点A,AB的中点为D,坐标原点为0,则下列说法正确的是()【答案】ABC【解析】【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离为b,判断A;由三角形三边关系判断B;由双曲线的定义判断C;由双曲线的定义结合勾股定理，求得△ABF₂的面积判断D.【详解】对于A,由双曲线的焦点到渐近线的距离为b,可知b=2,故A正确；对于B,如图(1),取F₂B的中点E,连接ED,OE,可知由三角形的三边关系，,因此2|OD|<|BF|+|AF|,,故B正确；对于C,如图(2),可知OB是△DF₁F₂的中位线，因此BD|=|DA|=|BF|,因为点B在左支上，所以BF₁|=x-2;因为点A在右支上，所以|AF|=x+2.因此BD|=|AD|=2,|DF|=x,连接DF₂,在Rt△DF₁F₂中，有x²+x因此DF₂|=2√2,从而△ABF₂的面积为4√2,故D错误.故选：ABC.【答案】2【解析】【分析】由已知得z²=2z,结合复数模的性质求复数的模.【详解】由得z²=(1+i)(1-i)z=2z,故答案为：2【答案】16【解析】【分析】根据对数的运算性质和换底公式化简计算即得.【答案】【解析】因为U的子集一共有2⁵=32个，故所有的抽取结果有32²=1024种，(1)仅在A中；(2)仅在B中；(3)既不在A中，也不在B中，故共有3⁵-k种方式，X012345P对于U中的每个元素i,定义则,所以对每个i∈U,U有一半子集中含有i,另一半子集不含i,即故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.记数列{a}的前n项和为Sn,已知(2)设bₙ=nan,求数列{b}的前n项和Tn.【答案】(1)【解析】【分析】(1)利用a,S的关系求{an}的通项公式；(2)由题设写出{bn}的通项公式，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求Tn.【小问1详解】当n=1时，,得a₂=1,所以{a}从a₂=1开始成公比为3的等比数列，则a=3”⁻²(n≥2).【小问2详解】16.某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额y(单位：万亿元)的散点图，如图所示：o2345678910111213141516年份序号(1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年【答案】(1)(2)y=23.34e⁰.1.【解析】【分析】(1)16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，根据组合知识求解概率；(2)y=a·e两边取对数，再根据公式求出b≈0.1,Ina≈3.15,从而z=0.1t+3.15,故y=23.34e⁰.1.【小问1详解】由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，【小问2详解】∴z=lny=0.1t+3.15,故y=23.34e⁰.1.17.如图，在正四棱锥P-ABCD中，点E在棱PB上，点F在棱PD上，且BF⊥AE.(1)证明：BF⊥平面AEC;(2)若E,F分别为所在棱的中点，求平面AEC与平面PAB的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据正四棱锥的性质，以及线面垂直的判定定理，证明结果即可.(2)根据求面面夹角的余弦值向量方法，建立空间直角坐标系，求出平面法向量，进而求出结果.【小问1详解】连接BD,与AC交于点0,连接PO,如图所示，根据正四棱锥的性质可知AC⊥BD,PO⊥平面ABCD.又BF⊥AE,AE∩AC=A,又AE,ACc平面AEC,【小问2详解】连接OE.由(1)知BF⊥平面AEC,所以BF⊥OE.因为0是BD的中点，E是PB的中点，所以OE//PD,所以BF⊥PD.如图，以直线OA,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设OA=1,则A(1,0,0),B(0,1,0),P(0.0,√3),因为BF⊥平面AEC,所以平面AEC的一个法向量为m=(0,-√3,1).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),因为PA=(1,0,-J3),PB=(0,1,-√3),所以所以平面AEC与平面PAB的夹