圆锥曲线中的中点弦问题+导学案-2026届高三数学一轮复习

《圆锥曲线中的中点弦问题》公开课学案学习班级：__________学生姓名：__________日期：__________一、学习目标理解圆锥曲线中点弦的概念，掌握中点弦问题的基本特征能推导中点弦所在直线的斜率公式会运用“点差法”解决中点弦相关问题通过问题探究，培养数形结合和转化化归的数学思想二、知识回顾（课前热身）1.圆锥曲线标准方程请写出下列曲线的标准方程：椭圆（焦点在x轴）：________________________双曲线（焦点在x轴）：________________________抛物线（开口向右）：________________________2.中点坐标公式若点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则线段AB的中点M坐标为：________________________3.弦的概念连接圆锥曲线上任意两点的线段叫做该曲线的弦。特别地，经过焦点的弦称为________________。三、问题探究探究一：椭圆中的中点弦问题问题1：已知椭圆方程x216+思考：设弦的两个端点分别为A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，它们满足什么条件？如何利用“点差法”建立斜率与中点坐标的关系？推导过程（请跟随课堂引导完成推导）：设椭圆方程为x2a2+y第一步：设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则∵A、B在椭圆上∴x₁x₂第二步：(1)−(2)得：x第三步：变形得：(x第四步：由中点坐标公式：(x₁+x₂=2x₀)，(y₁+y₂=2y₀)代入上式：(x₁−x₂)·2x₀第五步：整理得弦斜率k：k=椭圆中点弦结论：若椭圆x2a2+yk探究二：双曲线中的中点弦问题问题2：设双曲线方程为x2a2−推导过程（课堂完成）：双曲线中点弦结论：若双曲线x2a2−yk探究三：抛物线中的中点弦问题问题3：推导练习：设抛物线方程为y2=2px(p>0)，弦AB请写出推导过程：抛物线中点弦结论：若抛物线(y2=2px)的弦k方法提炼“点差法”解题步骤：设点：设弦的两端点坐标A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)代入：将A、B坐标代入曲线方程，得到两个等式作差：两式相减，利用平方差公式变形关联：联系中点坐标公式和斜率定义，建立关系式求解：解出所需未知量注意：使用点差法时，必须检验所得直线与圆锥曲线是否相交于两点（Δ>0）五、例题精讲例1：已知椭圆x225+y2例2：已知双曲线x2−y六、课堂练习椭圆x236+已知抛物线y2=12x，一条弦的中点为（思考题）若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的弦AB七、易错点与注意事项检验Δ>0：用点差法求出的直线方程必须代入原曲线验证Δ>0，确保弦确实存在中点位置：注意中点是否在曲线内部（椭圆）、满足何种条件时弦才存在公式记忆：理解推导过程比死记公式更重要，但常用结论可适当记忆特殊情形：当斜率不存在时，需单独讨论八、课堂小结通过本节课的学习，我掌握了：中点弦问题的核心是建立________________与________________的关系解决中点弦问题的常用方法是________________椭圆中点弦斜率公式：________________双曲线中点弦斜率公式：________________抛物线中点弦斜率公式：__