2024届清华大学附中数学高二年级上册期末监测模拟试题含解析

2024届清华大学附中数学高二上期末监测模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5亳米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知正方体ABC。-A的棱长为1,且满足。£'=104+），。。+（1-工一），）。2,则DE的最小值是（）

A1

33

2

D.-

3

2.已知点A,〃在双曲线/一）,2=4上，线段A8的中点则［4叫=（）

A.72B.2>/2

C.75D.2V5

3.已知动点M（X,。满足«x+1）2+y+J（x一1）2+）?=2,则动点M的轨迹是（）

A.椭圆B.直线

C.线段D.圆

4.阿基米德（公元前287年〜公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭

圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆。的

77

离心率为面积为6元，则椭圆C的标准方程为（）

2

f4-

X2V222

C.—+^-=1

416312

5.已知Fi(-5,0),尸2（5,0）,动点尸满足|尸尸上|尸尸2|二2G,当。为3和5时，点尸的轨迹分别为（）

A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线

C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线

6.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而

成的二角形数阵，记勺为图中虚线上的数1,3,6,10,…构成的数列｛q｝的第〃项，贝ij《o的值为（）

1331

464

510105

A.45B.55

C.66D.67

4

7.已知函数/")=aF-41+b在x=2处取得极小值一,，则他二()

44

A.-B.---

33

「88

C.-D.一一

33

8.已知空间向量。=(1,2,-1)/=(3,-2,-1),则()

A.|。|=石B.a!!b

1I

c.。J.D.(a+b)-b=\0

9.已知直线/,两个不同的平面。，B,则下列命题正确的是（）

A.若a_L/?,/±a,贝！1/〃4B.若/〃a,/〃尸，则a〃分

C.若/〃则D.若aJL/7,l//at贝1"，方

220

10.己知双曲线c三一22=1的渐近线方程是｝，=±-工，则m=（）

tn43

A.3

n16

D.—

9

11.在正方体A3CO-中，45=6,43=34瓦2,厂分别是线段人。,4片的中点，则点P到直线"的距

离是（）

A.亚□12

B.—

55

18

Vr.-6--5--D.—

55

12.已知i是虚数单位，若z=»i,则复数z的虚部为（）

C.-3D.3i

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/（x）=xlnx+3x在（e,,f（e））处的切线方程是

14.圆。:（1-2『+（y—2）2=4与x轴相切于点A.点5在圆。上运动，则43的中点M的轨迹方程为（当

点〃运动到与A重合时，规定点M与点4重合）；点N是直线x+y=O上一点，贝ij|MN|+|A7V|的最小值为

15.命题“任意xw[-1,2],工2一2八一一〃<0，，为真命题，则实数。的取值范围是.

<兀（乃）、

16.已知函数，（x）=sinxIcosx在点-处的切线为直线/，贝心与坐标轴围成的三角形面积为___________.

I212〃

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在直角坐标系中，点尸到两点M（0,-G）、N（0,6）的距离之和等于4,设点尸的轨迹为C,直线

），=履+1与。交于A、B两点

（1）求曲线C的方程；

（2）若。4_LO8，求k的值

18.（12分）己知某中学高二物化生组合学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表:

AABC

A144010

Ba36b

C28834

若抽取了〃名学生，成绩分为4（优秀），B（良好），C（及格）三个等级，设“，分别表示数学成绩与物理成绩,

例如：表中物理成绩为4等级的共有14+40+10=64（人），数学成绩为B等级且物理成绩为。等级的共有8人，

已知x与）'均为A等级的概率是0.07

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解题分析】由空间向量共面定理可得点E4CA四点共面，从而将求标目的最小值转化为求点。到平面ACR

的距离d,再根据等体积法计算d.

【题目详解】因为。E=xZM+yDC+(l—x—,由空间向量的共面定理可知，点E,AC?四点共面，即点

石在平面4c。上，所以旧目的最小值为点。到平面的距离由正方体棱长为可得△ACQ是边长为及

的等边三角形，贝可又呜=冬^4X，X，=r由等体积法得,VoTCR=%-AC。，所

以Lx曲义d=LxLxlnd=@，所以。目的最小值为立.

3232313

故选：C

【题目点拨】共面定理的应用：设OA&C是不共面的四点，则对空间任意一点尸，都存在唯一的有序实数组(xy,z)

LUUULILIL11ULUU

使得OP=XOA+)，OB+ZOC，说明：若x+y+z=l,则P,A,比。四点共面.

2、D

【解题分析】先根据中点弦定理求出直线A3的斜率，然后求出直线A3的方程，联立后利用弦长公式求解A3的长.

，22

【题目详解】设A(5,yJ,3(%,%)，则可得方程组：两式相减得：

戈2_必=4

(内+用(％-W)=(乂+%)()'「%)，即学三1.无资=1，其中因为A8的中点为M(3,l),故步+=]

故”^=3,即直线A5的斜率为3,故直线A4的方程为：y-l=3(x-3),联立7(：—3),解得：

玉一/x—y=4

2]7/

2x-12r+17=0,由韦达定理得：4+%=6,=—f则A8=J1+k?『一4%七二2石

故选：D

3、C

【解题分析】根据两点之间的距离公式的几何意义即可判定出动点轨迹.

【题目详解】由题意可知J（X+l『+），2+J（X—l『+y2=2表示动点到点（-1,0）和点（1,0）的距离之和等于

2,又因为点（-1,0）和点（L。）的距离等于2,所以动点M",），）的轨迹为线段.

故选：C

4、D

22

【解题分析】设椭圆的方程为与十二=1（。>6>0）,根据题意得到和次加•二6乃，求得。2,〃的值，即可求

【题目详解】由题意，椭圆的焦点在》轴上，可设椭圆的方程为二十

=\(a>/?>0),

cr

因为椭圆c的离心率为立，可得“二£6

i-4=->解得〃=»，

又由2,即:=

a~a24

又因为椭圆的面积为6不，可得〃加'=6〃，即（力=6,

联立方程组，解答/=12,y=3,所以椭圆方程为上+工=1.

123

故选：D.

【解题分析】由双曲线定义结合参数。的取值分类讨论而得.

【题目详解】依题意得田马=10,当〃=3时，2〃=6<忻用，且户周一仍用=6>0,点P的轨迹为双曲线的右

支；当4=5时，2〃=1（）=忻名故点尸的轨迹为一条射线.故选Q.

故选：D

6、B

【解题分析】根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法可得数列的通项公式与力。.

【题目详解】由己知可得数列的递推公式为4“22且”eN*，且卬=1,

故4一61=〃,

%一%.2="1，

4-2-。『3=〃-2,

L

ay-a2=3,

a2-ai=2,

等式左右两边分别相加得q—q=〃+(〃—1)+(〃—2)+…+3+2=g半二0二^^(〃22),

n2+n—2n2+/?、

%=%+—2—=方一(z〃22)

1(>+1()“

4o=-7=55>

故选：B.

7、A

【解题分析】由导数与极值与最值的关系，列式求实数的值.

【题目详解】r(6=3加一4

4

由条件可知，/'(2)=1加-4=0,/(2)=8«-8+/?=—,

解得：〃=!，8=4,

检验，〃=；/=4时，r(x)=f-4=(x+2)(x—2)

当/心)>0,得x>2或1<一2,函数的单调递增区间是(—,一2)和(2,+8),

当/彳?〈0,得—2<x<2,所以函数的单调递减区间是(一2,2),

所以当x=2时，函数取得极小值，满足条件.

4

所以=

故选：A

8、C

【解题分析】A利用向量模长的坐标表示判断；B根据向量平行的判定，是否存在实数之使〃=即可判断；C向量

数量积的坐标表示求〃即可判断；D利用向量坐标的线性运算及数量积的坐标表示求(〃+/?)•/?即可.

【题目详解】因为|4=3+(-2)2+(-1)2=6,所以A不正确：

因为不存在实数?使a=4〃，所以B不正确；

因为。•力=lx3+2x(—2)+(—l)x(—l)=。，故&上b，所以C正确;

因为。+匕=(4,0,-2),所以(〃+b)/=4x3+0x(-2)+(-2)x(-1)=14,所以D不正确

故选：C

9、C

【解题分析】对于A,/可能在月内，故可判断A；对于B,仅可能相交，故可判断B;

对于C,根据线面垂直的判定定理，可判定C;对于D,I和夕可能平行，或斜交或在〃内，故可判断D.

【题目详解】对于A,除了/〃万外，还有可能/在尸内，故可判断A错误；

对于B,/〃。，/〃尸那么a,夕可能相交，故可判断B错误;

对于C根据线面平行的性质定理可知，在。内一定存在和/平行的直线，那么该直线也垂直于4,所以a_L/7,故

判定C正确；

对于D,八0,///a,贝I”和万可能平行，或斜交或在£内，故可判D.错误，

故选：C.

10、C

【解题分析】根据双曲线的渐近线求得〃?的值.

【题目详解】依题意可知相>0,

2r22AA

双曲线工一二二1的渐近线为三―4=0,>2=一］2,),=±-

m4m4in

所以\fm=3,〃i=9.

故选：C

11、A

【解题分析】以A为坐标原点，分别以的方向为x，)'，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz,然

后，列出计算公式d二|PF|2-进行求解即可

【题目详解】

如图，以A为坐标原点，分别以AB,A。,A4,的方向为X)'，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-q，z.因为4笈=6,

所以?(3,3,3),E(2,0,0),*6,0,3),所以防=(4,0,3),P/=(3,-3,0),则点夕到直线历的距离

12、C

【解题分析】由复数的除法运算可得答案.

3+i(3+i)i-l+3i,、“一4d山心如位

【题目详解】由题得z=「一=---=------=1-31,所以复数z的虚部为一3.

11-1

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、5x-y-e=0

【解题分析】求得/(x),利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，即可求得结果.

【题目详解】因为/(x)=xlnx+3x,则f(x)=lnx+4,/(e)=5,/(e)=4e,

故在(e,7(e))处的切线方程是y-4c=5(x-e),整理得：5x-y-e=0.

故答案为：5x-y-e=0.

14、①.(％-2)2+()，-1)2=1©.713-1

【解题分析】将点M的轨迹转化为以AC为直径的圆，再确定圆心及半径即可求解，将|MN|十|AN|的最小值转化为

点到圆心的距离再减去半径可求解.

【题目详解】依题意得A(2,o),C(2.2),因为M为A8中点，所以CM_LA〃，

所以点M的轨迹是以4c为直径的圆，又AC中点为(2,1),|ACj=2

所以点时的轨迹方程为(x-2)'+()，-1)'=I,圆心0(2,1),

设4(2,0)关于直线x+y=0的对称点为4(〃?,n),

n-0_]

m=0.、

则有〃L：，解得，-2,所以阳。「2)，

山+J

22

所以由对称性可知|MN|+1AN|的最小值为-1=7(0-2)2+(2-1)2T=旧T

x/13-l

15.[3,-KO)

【解题分析】分离常数，将问题转化求函数最值问题.

【题目详解】任意x«T,2],%2-2♦〃40恒成立。/_2工《4恒成立，故只需一2工)岫W。，记

/(X)=J2-2X=(X-1)2-1,XG[-1,2],易知/(X)3=/(—1)=3,所以3s。.

故答案为：[3,笆)

【解题分析】先求出切线方程，分别得到直线与小y轴交点，即可求出三角形的面积.

【题目详解】由函数/。)=411工+(：05式可得：函数f(x)=cosx—sinx,

所以/(g)=sin([)+cos(^)=1,/'([)=cos(^)-sin(g)=-l.

幺z,乙乙乙

所以切线/：y-\=-\^x-^f即x+y_l_]=O.

TTTT

令x=0,得到＞=1+7；令)，=0,得到工=1+彳；

22

所以,与坐标轴围成的三角形面积为5=，。+匹][1+工）+.

212人2）2（2J

故答案为：+.

2（2）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2.

17、（1）1+匕=i；（2）八土!.

42

【解题分析】（1）本题可根据椭圆的定义求出点P的轨迹C;

（2）本题首先可设A（%,yJ、3（々,%），然后联立椭圆与直线方程，通过韦达定理得出

4十K

-2/c

+x2=—最后通过OA_LOB得出内占+乂必=0，代入/也、X+W的值并计算，即可得出结果.

【题目详解】（1）因为点P到两点M倒,-6）、N（0,G）的距离之和等于4,

所以结合椭圆定义易知，点尸的轨迹是以点M、N为焦点且2。=4的椭圆,

则。=2,c=6,b=yja2-c2=b点尸的轨迹=

⑵设A（5,y）,矶孙、2），

T221=1

联立.4",整理得（4+左2产+2质―3=0,

y=去+1

-3-2k

因为OA_LO3,所以内工2+）'1%=°，

即为&+（^+l）（Ax2+1）=0,整理得+1卜泾+A（M+w）+l=0,

则（公+1）?一k?1=0,整理得4公=1,解得k=±g.

\'4+K4+K2

【题目点拨】关键点点睛：本题考查根据椭圆定义求动点轨迹以及直线与抛物线相关问题的求解，椭圆的定义为动点

到两个定点的距离为一个固定的常数，考查韦达定理的应用，考查计算能力，是难题.

18、（1）〃=18,h=\2

⑵-

9

【解题分析】（1）根据x与）'均为A等级的概率是0.07,求得〃值，再根据数学成绩的优秀率是30%求得。值，最后

利用抽取的总人数求出b值即可；

(2)根据。+〃=30,«>12,/9>10,写出满足条件得基本事件(〃/),找出其中〃>〃+2的基本事件，利用古典

概型的公式求出概率即可.

【小问1详解】

由题意知⑹=0.07,解得〃=200,

n

14+“+2%10。%=30%,解得4-18,

200

由已知得14+40+10+4+36+8+28+8+34=200,解得力=12.

【小问2详解】

由。+〃=30,6/>12,Z?>10,可知124。工20,

则试验的样本空间Q=｛(12,18),(13,17),(14,16),(15,15),(16,14),(17,13),(18,12)(19,11),(20,10)),共9个样本点

其中a〉Z?+2包含的样本点有(17,13),(18,12),(19,11),(20,10)共4个，

4

故所求概率

19、(1)4“=2",blt=n；(2)-2<2<10.

【解题分析】(1)根据己知条件可得出关于〃方程，解出d的值，可求得q的值，即可得出数列｛〃”｝与出“｝的通项公

式；

(2)求得4d=〃x2”，利用错位相减法可求得7；,分析可知数列｛4｝为单调递增数列，对〃分奇数和偶数两种情

况讨论，结合参变量分离法可得出实数4的取值范围.

【题目详解】⑴设等差数列依｝的公差为〃，

因为4=2,/?!=1,a2=b4f且生是仇和〃的等比中项，

所以(l+3d『=(l+d)(l+7d),整理可得42—1=0,解得4=。或4=1.

,1

若4=0,则々=。=1,可得4=一=彳，不合乎题意；

若4=1,则%=2=1+34=4,可得夕二&二2,合乎题意.

a\

所以%=2X2"T=2",^=1+(H-1)X1=H；.

(2)因为7；=1x21+2X22+3X23+-+〃X2”,①

27；,=1X22+2X23+3X2,+---+HX2^',②

2(1-2,?)

②"①得7；=-2'-22-23-----2"+理x2n+,=F〃x2‘川=2+(〃—l)x2"x

1-2

因为(一即(―对〃EN♦恒成立,

所以(一1)”4<2+(〃-1)*2日

当心2且〃eN*,4-7；T=〃X2”>0,故数列｛1｝为单调递增数列，

当"为偶数时，2<2+(n-l)x2/,+,,所以/lv[2+(〃—1)x2向]而「10；

当"为奇数时，一九<2+5-1*2向，所以一/1<[2+(〃-1*2向]疝11=2,即义>一2.

综上可得一2<4<10

20、(1)--</??<0；

2

(2)[O,l]u(2,5].

m<0

【解题分析】⑴解不等式组2〃?+3之2即得解;

(2)由题得p、q一真一假，分两种情况讨论得解.

【小问1详解】

解：由题意知尸是夕的充分条件，即p集合包含于夕集合,

m<01

有[0,2]q(见2m+3]=><=>——<m<0；

[2m+3>22

【小问2详解】

解：当〃[=1时，有〃：x£(1,5],

由题意知，p、q一真一假,

0<x<2

当P真g假时，=>O<x<1,

x<lifo>5

40曲”

当P假0真时，=>2<x<5,

1<x<5

综上，x的取值范围为[05=(2,5]

607269

21、(1)

269

12V269

269

【解题分析】（1）建立空间直角坐标系，用点到面的距离公式即可算出答案；

（2）先求出两个面的法向量，然后用二面角公式即可.

【小问1详解】

VPB_L平面ABCD,AB、BCu平面ABCD,

:.PBLAB,PBLBC,

又NABC=NBAD=工,PH,八日两两互相