2026届云南省曲靖市宣威市九中数学高二上期末监测试题含解析

2026届云南省曲靖市宣威市九中数学高二上期末监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线的方程是（）A. B.C. D.2．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（）A.2 B.C.1 D.3．以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，，若，，则直线的斜率为()A. B.C. D.4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和为石，则“衰分比”为（）A. B.C. D.5．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.6．若且，则下列选项中正确的是（）A B.C. D.7．圆与圆公切线的条数为（）A.1 B.2C.3 D.48．设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（）A. B.C. D.9．已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（）A. B.C. D.10．若函数，满足且，则（）A.1 B.2C.3 D.411．已知两条不同直线和平面，下列判断正确的是（）A.若则 B.若则C.若则 D.若则12．过点且与原点距离最大的直线方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________14．如图三角形数阵：123456789101112131415……按照自上而下，自左而右的顺序，2021位于第i行的第j列，则______15．已知直线与直线平行，则实数______16．由曲线围成的图形的面积为_______________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C：经过点，且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切线l与椭圆交于A，B两点，都有．若存在，求出r的值，并求此时△AOB的面积S的取值范围；若不存在，请说明理由18．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过，两点.（1）求圆C的标准方程.（2）设直线与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.19．（12分）如图，在直四棱柱中，（1）求二面角的余弦值；（2）若点P为棱的中点，点Q在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长20．（12分）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.21．（12分）已知正项等差数列满足：，且，，成等比数列（1）求的通项公式；（2）设的前n项和为，且，求的前n项和22．（10分）已知椭圆左，右顶点分别是，，且，是椭圆上异于，的不同的两点（1）若，证明：直线必过坐标原点；（2）设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为，，则，利用点差法可得答案.【详解】设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为，，则因为，两式相减可得，，即由中点公式可得，所以，即，所以AB所在直线方程为，即故选：B2、B【解析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.【详解】，即整理得由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，可得，解之得故选：B3、A【解析】分类讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，联立直线与曲线方程，再根据，求解.【详解】设椭圆的方程分别为，，由可知，直线的斜率一定存在，故设直线的方程为.联立得，故，；联立得，则，.因为，所以，所以.又，所以，所以，所以，.故选：A.【点睛】此题利用设而不求的方法，找出、、、之间的关系，化简即可得到的值.此题的难点在于计算量较大，且容易计算出错.4、A【解析】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可【详解】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，又由今共有粮食石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和为164石，则，，解得：，，故选：A5、C【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于的方程组，求解方程组即可得答案【详解】由题意，设椭圆的方程为，由椭圆的离心率为，面积为，∴，解得，∴椭圆的方程为，故选：C.6、C【解析】对于A，作商比较，对于B，利用基本不等式的推广式判断，对于C，利用在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积判断，对于D，利用放缩法判断【详解】，故错误；，故错误；在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积（必修三阅读材料割圆术），则，故正确；，故错误故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查不等式的综合应用，考查基本不等式的推广式的应用，考查放缩法的应用，对于C项解题的关键是利用了在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积求解，考查数学转化思想，属于难题7、D【解析】分别求出圆和圆的圆心和半径，判断出两圆的位置关系可得到公切线的条数.【详解】根据题意，圆即，其圆心为，半径；圆即，其圆心为，半径；两圆的圆心距，所以两圆相离，其公切线条数有4条；故选：D.8、A【解析】设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.【详解】设椭圆的标准方程为，，则有已知，两式相减得，即，，因为，解得故选：A.9、B【解析】根据题意，在中，设，则，进而根据椭圆定义得，进而可得离心率.【详解】在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据已知条件，结合椭圆的定义，在焦点三角形中根据边角关系求解.10、C【解析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得.【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以.故选：C11、D【解析】根据线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系即可判断.【详解】解：对于选项A：若，则与可能平行，可能相交，可能异面，故选项A错误；对于选项B：若，则，故选项B错误；对于选项C：当时不满足，故选项C错误；综上，可知选项D正确.故选：D.12、A【解析】过点且与原点O距离最远的直线垂直于直线，再由点斜式求解即可【详解】过点且与原点O距离最远的直垂直于直线，，∴过点且与原点O距离最远的直线的斜率为，∴过点且与原点O距离最远的直线方程为：，即.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果详解:设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故答案为3.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.14、69【解析】由图可知，第行有个数，求出第行的最后一个数，从而可分析计算出，即可得出答案.【详解】解：由图可知，第行有个数，第行最后一个数为，因为，所以第行的最后一个数为2016，所以2021位第行，即，又，所以2021位第行第5列，即，所以.故答案为：69.15、【解析】分类讨论，两种情况，结合直线平行的知识得出实数.【详解】当时，直线与直线垂直；当时，，则且，解得.故答案为：16、【解析】当时，曲线表示的图形为以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为，根据对称性，可知由曲线围成的图形的面积为考点：本小题主要考查曲线表示的平面图形的面积的求法，考查学生分类讨论思想的运用和运算求解能力.点评：解决此题的关键是看出所求图形在四个象限内是相同的，然后求出在一个象限内的图形的面积即可解决问题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）存在，，【解析】（1）利用离心率和椭圆所过点列出方程组，求出，求出椭圆方程；（2）假设存在，分切线斜率存在和不存在分类讨论，根据向量数量积为0求出r的值，表达出△AOB的面积，利用基本不等式求出的取值范围，进而求出△AOB面积的取值范围.【小问1详解】因为椭圆C：的离心率，且过点所以解得所以椭圆C的方程为【小问2详解】假设存在⊙O：满足题意，①切线方程l的斜率存在时，设切线方程l：y＝kx＋m与椭圆方程联立，消去y得，(*)设，，由题意知，(*)有两解所以，即由根与系数的关系可得，所以因为，所以，即化简得，且，O到直线l的距离所以，又，此时，所以满足题意所以存在圆的方程为⊙O：△AOB的面积，又因为当k≠0时当且仅当即时取等号又因为，所以，所以当k＝0时，②斜率不存在时，直线与椭圆交于两点或两点易知存在圆的方程为⊙O：且综上，所以【点睛】求解圆锥曲线相关的三角形或四边形面积取值范围问题，需要先设出变量，表达出面积，利用基本不等式或者配方，导函数等求出最值，求出取值范围，特别注意直线斜率存在和不存在的情况，需要分类讨论.18、（1）（2）过定点，定点为【解析】（1）设出圆C的标准方程，由题意列出方程从而可得答案.（2）设，，将直线的方程与圆C的方程联立，得出韦达定理，由条件可得，从而得出答案.【小问1详解】设圆C的标准方程为由题意可得解得，，.故圆C的标准方程为.【小问2详解】设，.联立整理的，则，，故.因为以AB为直径的圆过原点，所以，即则，化简得.当时，直线，直线l过原点，此时不满足以AB为直径的圆过原点.所以，则，则直线过定点.19、（1），（2）【解析】（1）推导出，以A为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值；（2）设，则，求出平面的法向量，利用空间向量求出的长【详解】解（1）在直四棱柱中，因为平面，平面，平面，所以因为，所以以A为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以,所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，因为平面，所以平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为（2）设，则，因为点为的中点，所以，则，设平面一个法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角的大小为，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得或（舍去）所以【点睛】关键点点睛：此题考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查运算能力，解题的关键是根据是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，属于中档题20、（1）；（2）.【解析】（1）将不等式分解因式，即可求得不等式解集；（2）根据不等式解集，考虑其对应二次函数的特征，即可求出参数的范围.【小问1详解】当时，即，也即，则，解得或，故不等式解集为.【小问2详解】不等式的解集为，即的解集为，也即的解集为，故其对应二次函数的，解得.故实数的取值范围为：.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的通项公式结合条件即求；（2）利用条件可得，然后利用错位相减法即求.【小问1详解】设等差数列公差为d，由得，即，化简得，又，，成等比数列，则，即，将代入上式得，化简得，解得或－2（舍去），则，所以【小问2详解】∵，当时，，当时，，符合上式，则，所以，令，则，，∴，化简得综上，的前n项和22、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设，首先证明，从而可得到，即得到；进而可得到四边形为平行四边形；再根据为的中点，即可证明直线必过坐标原点（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据条件可求出直线MN过定点，从而可得到