2026届吉林省延边二中高三上数学期末监测模拟试题含解析

2026届吉林省延边二中高三上数学期末监测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（）A． B． C． D．12．“且”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．A． B． C． D．4．已知，则“直线与直线垂直”是“”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（）A．2阶区间 B．3阶区间 C．4阶区间 D．5阶区间6．设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知函数满足=1，则等于（）A．- B． C．- D．8．设双曲线的右顶点为，右焦点为，过点作平行的一条渐近线的直线与交于点，则的面积为（）A． B． C．5 D．69．已知向量，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件10．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则()A． B． C． D．11．已知向量，，且与的夹角为，则（）A． B．1 C．或1 D．或912．是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．下图是一个算法流程图,则输出的的值为__________．14．已知全集，，则________.15．3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券,两人都未抽得特等奖的概率是__________．16．若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）讨论零点的个数.18．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为；（1）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2）若直线与曲线交点分别为，，点，求的值．19．（12分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，若平面.（1）求线段的长；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知函数.其中是自然对数的底数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.22．（10分）已知函数（1）解不等式；（2）若均为正实数，且满足，为的最小值，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

先根据导数的几何意义写出在两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出，令函数，结合导数求出最小值，即可选出正确答案.【详解】解：当时，，则;当时，则.设为函数图像上的两点，当或时，，不符合题意，故.则在处的切线方程为；在处的切线方程为.由两切线重合可知，整理得.不妨设则，由可得则当时，的最大值为.则在上单调递减，则.故选:B.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出和的函数关系式.本题的易错点是计算.2、A【解析】

画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断.【详解】如图，“且”表示的区域是如图所示的正方形，记为集合P，“”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q，显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件，故选:.【点睛】本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.3、A【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．4、B【解析】

由两直线垂直求得则或，再根据充要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，“直线与直线垂直”则，解得或，所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.5、D【解析】

可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解【详解】当且时，.令得.可得和的变化情况如下表：令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.故选：D【点睛】本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题6、A【解析】

根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】是等差数列，且公差不为零，其前项和为，充分性：，则对任意的恒成立，则，，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，，则，不合乎题意；若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，，合乎题意.所以，“，”“为递增数列”；必要性：设，当时，，此时，，但数列是递增数列.所以，“，”“为递增数列”.因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键，属于中等题．7、C【解析】

设的最小正周期为，可得，则，再根据得，又，则可求出，进而可得.【详解】解：设的最小正周期为，因为，所以，所以，所以，又，所以当时，，，因为，整理得，因为，，，则所以.故选：C.【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.8、A【解析】

根据双曲线的标准方程求出右顶点、右焦点的坐标，再求出过点与的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准方程可知中：，因此右顶点的坐标为，右焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为：，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点作平行的一条渐近线的直线与交于点，所以直线的斜率为，因此直线方程为：，因此点的坐标是方程组：的解，解得方程组的解为：，即，所以的面积为：.故选：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.9、A【解析】

向量，，，则，即，或者-1，判断出即可．【详解】解：向量，，，则，即，或者-1，所以是或者的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.10、C【解析】

根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.【详解】根据题意，，解得，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.11、C【解析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.【详解】解：由题意可得，求得，或，故选：C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．12、D【解析】

首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.【详解】如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心，当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上，、分别为、的中点，则必有，，即为直角三角形.对于等腰梯形，如图：因为是等边三角形，、、分别为、、的中点，必有，所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图，，所以四棱锥底面的高为，.故选：D.【点睛】本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】

分析程序中各变量、各语句的作用,根据流程图所示的顺序,即可得出结论.【详解】解:初始,第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:;经判断,此时跳出循环,输出.故答案为:【点睛】本题考查了程序框图的应用问题,解题的关键是对算法语句的理解,属基础题.14、【解析】

利用集合的补集运算即可求解.【详解】由全集，，所以.故答案为：【点睛】本题考查了集合的补集运算，需理解补集的概念，属于基础题.15、【解析】

利用排列组合公式进行计算,再利用古典概型公式求出不是特等奖的两张的概率即可.【详解】解:3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖,甲、乙两人同时各抽取1张奖券,则两人同时抽取两张共有：种排法排除特等奖外两人选两张共有：种排法.故两人都未抽得特等奖的概率是：故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用,是基础题.16、【解析】

根据双曲线的方程求出其中一条渐近线，顶点，再利用点到直线的距离公式可得，由，利用基本不等式即可求解.【详解】由双曲线C：（，，可得一条渐近线，一个顶点，所以，解得，则，当且仅当时，取等号，所以的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析【解析】

(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可.(2),有零点等价于方程实数根,再换元将原方程转化为,再求导分析的图像数形结合求解即可.【详解】（1）的定义域为,,当时,,所以在单调递减；当时,,所以在单调递增,所以的减区间为,增区间为.（2）,有零点等价于方程实数根,令则原方程转化为,令,.令,,∴,,,,,当时,,当时,.如图可知①当时,有唯一零点,即有唯一零点；②当时,有两个零点,即有两个零点；③当时,有唯一零点,即有唯一零点；④时,此时无零点,即此时无零点.【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.18、（Ⅰ）,曲线（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）消去参数可得直线的直角坐标系方程，由可得曲线的直角坐标方程；（2）将（为参数）代入曲线的方程得：，，利用韦达定理求解即可.试题解析：（1），曲线，（2）将（为参数）代入曲线的方程得：.所以.所以.19、（1）（2）【解析】

（1）先证得，设与交于点，在中解直角三角形求得，由此求得的值.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）由题意，，设与交于点，在中，可求得，则，可求得，则（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系.，，，，，易得平面的法向量为.，，易得平面的法向量为.设二面角为，由图可知为锐角，所以.即二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20、（1）；（2）.【解析】

(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标即可得在点处的切线方程；（2）令，然后利用导数并根据a的情况研究函数的单调性和最值.【详解】（1），，∴，又，∴切线方程为，即.（2）令，，①若，则在上单调递减，又，∴恒成立，∴在上单调递减，又，∴恒成立.②若，令，∴，易知与在上单调递减，∴在上单调递减，，当即时，在上恒成立，∴在上单调递减，即在上单调递减，又，∴恒成立，∴在上单调