九年级数学下册练习bk专题7 证明圆的切线的七种方法

第2章圆专题7证明圆的切线的七种方法1温馨提示：点击进入讲评23456781．如图，⊙O的直径AB＝12，P是AB延长线上一点，且PB＝4，C是⊙O上一点，PC＝8.求证：PC是⊙O的切线．返回【证明】如图，连接OC.∵⊙O的直径AB＝12，∴OB＝OC＝6.∵PB＝4，∴PO＝10.在△POC中，PC2＋OC2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100，∴PC2＋OC2＝PO2.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．2．[2024怀化一模]如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，连接四边形ABCD的对角线AC，BD.(1)∠BCD＝________；90°(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若∠ABC＝120°，求证：CF是圆的切线．【证明】如图，设四边形ABCD的外接圆的圆心为O，连接OC，则OC＝OB.∵∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径．∴∠BAD＝90°.∵CF∥AD，∴∠F＝180°－∠BAD＝90°.由题意得BD垂直平分AC.∴易得∠OBC＝∠OBA.返回3．[2024济宁]如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC.E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE.(1)若AB＝8，求AE的长；【解】∵∠BAE＝∠CAD，∴∠DAE＝∠CAB.又∵AD＝AC，∠ADE＝∠ACB，∴△DAE≌△CAB(ASA)．∴AE＝AB＝8.(2)求证：EB是⊙O的切线．【证明】如图，连接OA，OB，∵AE＝AB，AD＝AC，∴∠ABE＝∠AEB，∠ADC＝∠ACD.又∵∠BAE＝∠CAD，∴∠ABE＝∠AEB＝∠ADC＝∠ACB.返回4．[2023盐城改编]如图，在△ABC中，O是AC上(异于点A，C)的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD.(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；【解】BC与⊙O相切．理由如下：连接OB，如图所示．∵AB是∠CAD的平分线，∴∠BAD＝∠BAO.

∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠OBA.∴∠BAD＝∠OBA.

∴OB∥AD.又∵AD⊥BC，∴OB⊥BC.又∵OB是⊙O的半径，∴BC与⊙O相切．(2)若AC＝10，DC＝8，则⊙O的半径长为______．返回5．[2024广州番禺区校级一模]如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P为劣弧AB上一点，连接PA，PB，PC，过点B作AC的平行线交AP的延长线于点D.(1)求证：PC平分∠APB；返回(2)求证：BD是⊙O的切线．【解】如图，连接OB，OC，OA.∵AB＝CB，OB＝OB，OA＝OC，∴△BOA≌△BOC(SSS)．∴∠CBO＝∠ABO.又∵AB＝BC，∴BO⊥AC.又∵BD∥AC，∴半径BO⊥BD.∴BD是⊙O的切线．6.[教材P72练习T1]如图，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE.(1)求证：CD是⊙O的切线；【证明】连接OD，OE.∵AD切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°.∵AD＝ED，OA＝OE，OD＝OD，∴△ADO≌△EDO(SSS)．∴∠OED＝∠OAD＝90°，即OE⊥CD.又∵OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)若AB＝12，BC＝4，求AD的长．【解】过点C作CH⊥AD于点H，则∠CHA＝90°.∵AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，∠DAB＝90°，∴∠ABC＝90°＝∠CHA＝∠DAB.∴四边形ABCH是矩形．∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4.∴DH＝AD－AH＝AD－4.∵CB，CE是⊙O的切线，∴CE＝BC＝4.返回又∵AD＝DE，∴CD＝AD＋4.∵CH2＋DH2＝CD2，∴122＋(AD－4)2＝(AD＋4)2，解得AD＝9.7．[2024泉州一模]如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠A＝60°.点E在AB的延长线上，BE＝