四川省南充市高坪区白塔中学2026届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

四川省南充市高坪区白塔中学2026届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列，，则下列说法正确的是（）A.此数列没有最大项 B.此数列的最大项是C.此数列没有最小项 D.此数列的最小项是2．设等差数列前n项和是，若，则的通项公式可以是（）A. B.C. D.3．球O为三棱锥的外接球，和都是边长为的正三角形，平面PBC平面ABC，则球的表面积为（）A. B.C. D.4．若是双曲线的左右焦点，是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.5．已知圆，直线，则直线l被圆C所截得的弦长的最小值为（）A.2 B.3C.4 D.56．下列椭圆中，焦点坐标是的是（）A. B.C. D.7．曲线的一个焦点F到两条渐近线的垂线段分别为FA，FB，O为坐标原点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率等于（）A. B.C.2 D.8．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）A.24种 B.6种C.4种 D.12种9．圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是A. B.C. D.10．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（）A.40 B.42C.43 D.4511．设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（）A. B.C. D.12．已知函数，则（）A. B.0C. D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数在处切线的斜率为_____14．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年—325年），大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.已知抛物线，经过点一束平行于C对称轴的光线，经C上点P反射后交C于点Q，则PQ的长度为______.15．已知函数，，对一切，恒成立，则实数的取值范围为________.16．命题“任意，”为真命题，则实数a的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图是一个正三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知，，M为AB中点.（1）证明：平面；（2）求此几何体的体积.18．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过，两点.（1）求圆C的标准方程.（2）设直线与圆C交于A，B（异于坐标原点O）两点，若以AB为直径的圆过原点，试问直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.19．（12分）某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：单价（元）1819202122销量（册）6156504845（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？附：，，，.20．（12分）如图1，已知矩形ABCD，，，E，F分别为AB，CD的中点，将ABCD卷成一个圆柱，使得BC与AD重合（如图2），MNGH为圆柱的轴截面，且平面平面MNGH，NG与曲线DE交于点P（1）证明：平面平面MNGH；（2）判断平面PAE与平面PDH夹角与的大小，并说明理由21．（12分）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.（1）求与平面所成角的大小；（2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值.22．（10分）已知函数，其中（1）讨论的单调性；（2）若不等式对一切恒成立，求实数k的最大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】令，则，，然后利用函数的知识可得答案.【详解】令，则，当时，当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减所以当即时，取得最大值，所以此数列的最大项是，最小项为故选：B2、D【解析】根据题意可得公差的范围，再逐一分析各个选项即可得出答案.【详解】解：设等差数列的公差为，由，得，所以，故AB错误；若，则，与题意矛盾，故C错误；若，则，符合题意.故选：D.3、B【解析】取中点为T，以及的外心为，的外心为，依据平面平面可知为正方形，然后计算外接球半径，最后根据球表面积公式计算.【详解】设中点为T，的外心为，的外心为，如图由和均为边长为的正三角形则和的外接圆半径为，又因为平面PBC平面ABC，所以平面，可知且，过分别作平面、平面的垂线相交于点即为三棱锥的外接球的球心，且四边形是边长为的正方形，所以外接球半径，则球的表面积为，故选：B4、D【解析】根据已知条件，找出，的齐次关系式即可得到双曲线的离心率.【详解】由题意得，，，在中，，因，故，在，由余弦定理得，即，计算得，故.故选：D.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)5、C【解析】直线l过定点D(1，1)，当时，弦长最短.【详解】由，圆心，半径，，由，故直线l过定点，∵，故D在圆C内部，直线l始终与圆相交，当时，直线l被圆截得的弦长最短，，弦长＝.故选：C.6、B【解析】根据给定条件逐一分析各选项中的椭圆焦点即可判断作答.【详解】对于A，椭圆的焦点在x轴上，A不是；对于B，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，B是；对于C，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，C不是；对于D，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，D不是.故选：B7、A【解析】依题意可得为正方形，即可得到，从而得到双曲线的渐近线为，即可求出双曲线的离心率；【详解】解：依题意，，且四边形为菱形，所以为正方形，所以，即双曲线的渐近线为，即，所以；故选：A8、B【解析】由已知可得只需对剩下3人全排即可【详解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则只需对剩下3人全排即可，则不同的排法共有，故选：B9、A【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，其方程为，即；故选A.【点睛】本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关系时，往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程）可减小运算量.10、B【解析】根据已知求出公差即可得出.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，则.故选：B.11、B【解析】根据椭圆的定义写出，再根据条件即可解得答案.【详解】根据P为椭圆C：上一点，则有，又，所以，故选：B.12、B【解析】先求导，再代入求值.详解】，所以.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】求得函数的导数，计算得，即可得到切线的斜率【详解】由题意，函数，则，所以，即切线的斜率为1，故答案为：114、####【解析】根据题意，求得点以及抛物线焦点的坐标，即可求得所在直线方程，联立其与抛物线方程，求得点的坐标，即可求得.【详解】因为经过点一束平行于C对称轴的光线交抛物线于点，故对，令，则可得，也即的坐标为，又抛物线的焦点的坐标为，故可得直线方程为，联立抛物线方程可得：，，解得或，将代入，可得，即的坐标为，则.故答案为：.15、【解析】通过分离参数，得到关于x的不等式；再构造函数，通过导数求得函数的最值，进而求得a的取值范围【详解】因为，代入解析式可得分离参数a可得令（）则，令解得所以当0＜x＜1，，所以h（x）在（0，1）上单调递减当1＜x，，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值所以h（x）≥h（1）=4因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4所以a的取值范围为【点睛】本题综合考查了函数与导数的应用，分离参数法，利用导数求函数的最值，属于中档题16、【解析】分离常数，将问题转化求函数最值问题.【详解】任意，恒成立恒成立，故只需，记，，易知，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】(1)取的中点，连接，,可得四边形为平行四边形，从而可得，然后证明平面，从而可证明.(2)过作截面平面，分别交，于，，连接，作于,由所求几何体体积为从而可得答案.【小问1详解】如图，取的中点，连接，，因为，分别是，的中点.所以且又因为，，所以且，故四边形为平行四边形，所以.因为正三角形，是的中点，所以，又因为平面，所以，又，所以平面又，所以平面.【小问2详解】如图，过作截面平面，分别交，于，，连接，作于，因为平面平面，所以，结合直三棱柱的性质，则平面因为，，，所以.所以所求几何体体积为18、（1）（2）过定点，定点为【解析】（1）设出圆C的标准方程，由题意列出方程从而可得答案.（2）设，，将直线的方程与圆C的方程联立，得出韦达定理，由条件可得，从而得出答案.【小问1详解】设圆C的标准方程为由题意可得解得，，.故圆C的标准方程为.【小问2详解】设，.联立整理的，则，，故.因为以AB为直径的圆过原点，所以，即则，化简得.当时，直线，直线l过原点，此时不满足以AB为直径的圆过原点.所以，则，则直线过定点.19、(1)(2)当单价应定为22.5元时，可获得最大利润【解析】（l）先计算的平均值，再代入公式计算得到（2）计算利润为：计算最大值.【详解】解：（1），，，所以对的回归直线方程为：（2）设获得的利润为，，因为二次函数的开口向下，所以当时，取最大值，所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润【点睛】本题考查了回归方程，函数的最值，意在考查学生的计算能力.20、（1）证明见解析（2）平面PAE与平面PDH夹角大于，理由见解析【解析】（1）由面面垂直证明，然后得证平面MNGH后可得面面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求出二面角的余弦可得结论【小问1详解】如图O，为圆柱上，下底面的中心，可知，，平面平面MNGH，所以是二面角的平面角，平面平面MNGH，所以，即，，平面MNGH，所以平面MNGH，因为平面PAE，所以平面平面MNGH；【小问2详解】因为，所以得，如图，以为坐标原点，以，,所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则可知，，，，，则，，，，设平面AEP的法向量为，则，令，得，设平面DHP的法向量为，则，即令，得，，设平面PAE与平面PDH夹角为，则，，因为，即，所以平面PAE与平面PDH夹角大于21、（1）（2）存在，距离为（3）位置答案见解析，【解析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，然后由线面角的定义得到PC与平面PAD所成的角为，在中，由边角关系求解即可.（2）假设BC边上存在一点G满足题设条件，不放设，则，再根据得，进而得答案.（3）延长CB到C'，使得C'B=CB，连结C'E，过E作于E'，利用三点共线，两线段和最小，得到，过H作于H'，连结HB，在中，求解HB即可.【小问1详解】解：因为平面，平面，所以，又因为底面是矩形，所以，又平面，所以平面，故与平面所成的角为，因为，，所以故直线PC与平面PAD所成角的大小为；【小问2详解】解：假设BC边上存在一点G满足题设条件，不妨设，则因为平面，到平面的距离为所以，即因为代入数据解得，即，故存在点G，当时，使得点D到平面PAG的距离为；【小问3详解】解：延长CB到C'，使得C'B=CB，连结C'