湖南省岳阳临湘市2026届高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

湖南省岳阳临湘市2026届高二数学第一学期期末统考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1到平面ACD1的距离为（）A.1 B.C. D.2．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（）A.2192 B.C. D.3．数列满足，则数列的前n项和为（）A. B.C. D.4．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与圆相切于点，交双曲线的右支于点，且点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.5．已知焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B.C.2 D.6．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（）个A.12 B.24C.36 D.487．直线x﹣y+3＝0的倾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.150°8．圆与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离C.内切 D.外切9．在数列中，若，，则（）A.16 B.32C.64 D.12810．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是古老的传统民间艺术之一.如图是一个窗花的图案，以正六边形各顶点为圆心、边长为半径作圆，阴影部分为其公共部分.现从该正六边形中任取一点，则此点取自于阴影部分的概率为（）A. B.C. D.11．在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹记为C，则曲线C的离心率为（）A. B.C. D.12．“”是“直线与直线互相垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若曲线在处的切线平行于x轴，则___________.14．已知、是椭圆（）长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线，的斜率分别为，（）．若椭圆的离心率为，则的最小值为______15．过点与直线平行的直线的方程是________.16．若和或都是假命题，则的范围是__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足（1）求椭圆C的标准方程：（2）若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程18．（12分）已知数列满足（1）求；（2）若，且数列的前n项和为，求证：19．（12分）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为，（Ⅰ）求该椭圆的标准方程：（Ⅱ）求过点的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求的面积.20．（12分）已知函数，求（1）（2）（3）曲线在处的切线方程21．（12分）等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前项和.22．（10分）{}是公差为1的等差数列，.正项数列{}的前n项和为，且.（1）求数列{}和数列}的通项公式；（2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，…，在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.①记，求{}的通项公式；②求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】先证明点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离，再建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】因为平面平面，所以A1C1//平面ACD1，则点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离.建立如图所示的空间直角坐标系，易知＝(0,0,1)，由题得平面,所以平面,所以,同理,因为平面，所以平面，所以是平面一个法向量，所以平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)，故所求的距离为.故选：B【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）几何法（找作证指求）；（2）向量法；（3）等体积法.要根据已知条件灵活选择方法求解.2、D【解析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2000元，设张华第个月的还款金额为元，则，故选：D3、D【解析】利用等差数列的前n项和公式得到，进而得到，利用裂项相消法求和.【详解】依题意得：，，，故选：D4、D【解析】焦点三角形问题，可结合为三角形的中位线，判断：焦点三角形为直角三角形，并且有，，可由勾股定理得出关系，从而得到关系，从而求得渐近线方程.【详解】由题意知，，且点是线段的中点，点是线段的中点，为三角形的中位线故，故，由双曲线定义有由勾股定理有故则则，故故渐近线方程为：故选：D【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系5、D【解析】由题意，化简即可得出双曲线的离心率【详解】解：由题意，.故选：D6、D【解析】设等比数列的首项为，公比，根据题意，由求解.【详解】设等比数列的首项为，公比，由题意得：，即，解得，所以，故选：D7、C【解析】先求斜率，再求倾斜角即可【详解】解：直线的斜截式方程为，∴直线的斜率，∴倾斜角，故选：C【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题8、A【解析】求出两圆的圆心及半径，求出圆心距，从而可得出结论.【详解】解：圆的圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，则两圆圆心距，因为，所以两圆相交.故选：A.9、C【解析】根据题意，为等比数列，用基本量求解即可.【详解】因为，故是首项为2，公比为2的等比数列，故.故选：C10、D【解析】求得阴影部分的面积，结合几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】设正六边形的边长为，则其面积为.阴影部分面积为，故所求概率为.故选：D11、B【解析】设，，则由题意可得，代入圆方程中化简可得曲线C的方程，从而可求出离心率【详解】设，，则，得，所以，因为点在圆上，所以，即，所以点的轨迹方程为，所以，则所以离心率为，故选：B12、A【解析】根据直线垂直求出的范围即可得出.【详解】由直线垂直可得，解得或1，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求出导函数得到函数在时的导数，由导数值为0求得a的值【详解】由，得，则，∵曲线在点处的切线平行于x轴，∴，即.故答案为：14、【解析】设出点，，，的坐标，表示出直线，的斜率，作和后利用基本不等式求最值，利用离心率求得与的关系，则答案可求详解】解：设，，，，，，，，，，，当且仅当，即时等号成立，是椭圆长轴的两个端点，，是椭圆上关于轴对称的两点，，，即，的最小值为，椭圆的离心率为，，即，得，的最小值为故答案为：15、【解析】根据给定条件设出所求直线方程，利用待定系数法求解即得.【详解】设与直线平行的直线的方程为，而点在直线上，于是得，解得，所以所求的直线的方程为.故答案为：16、【解析】先由和或都是假命题，求出x的范围，取交集即可.【详解】若为假命题，则有或若或是假命题，则所以的范围是即的范围是胡答案：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）依题意可得，即可求出、，即可求出椭圆方程；（2）首先求出直线斜率不存在时弦显然可得直线的斜率存在，设直线方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再根据弦长公式得到方程，求出，即可得解；【小问1详解】解：依题意，解得，所以椭圆方程为；【小问2详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不符合题意；所以直线的斜率存在，设直线方程为，则，消元整理得，设，，则，，所以，即，解得，所以直线的方程为；18、（1）（2）证明见解析【解析】（1）先求得，猜想，然后利用数学归纳法进行证明.（2）利用放缩法证得结论成立.【小问1详解】依题意，，，，猜想，下面用数学归纳法进行证明：当时，结论成立，假设当时结论成立，即，由，，所以当时，有，结论成立，所以当时，.【小问2详解】由（1）得，且为单调递增数列，所以.所以.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据题意可以求出椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式，求出的值，然后结合椭圆的关系求出，最后写出椭圆的标准方程；（Ⅱ）根据平面向量共线定理可以得出A，B两点横坐标和纵坐标之间的关系，再设出直线AB方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出直线AB的斜率，最后根据三角形面积结合根与系数关系求出的面积.【详解】（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为，由题意可得，又，，所以椭圆的标准方程为（Ⅱ）设，，由得：，验证易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为联立椭圆方程，得：，整理得：，得：，将代入得，所以的面积.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用一元二次方程根与系数关系求直线斜率和三角形面积问题，考查了数学运算能力.20、（1）（2）（3）y=【解析】（1）由导数的运算法则求解即可；（2）利用导函数计算即可；（3）由导数的几何意义得出切线方程.【小问1详解】【小问2详解】【小问3详解】当时，f(x)=0，则切点为所以切线方程是，即y=21、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意求出首项和公比即可得出通项公式；（2）可得是等差数列，利用等差数列前n项和公式即可求出.【详解】解：（1）设等比数列的公比为，则，由题意得，解得，因此，；（2），则，所以，数列是等差数列，首项，记数列前