30°45°60°角的三角函数值及同步练习

1.230°,45°,60°角的三角函数值

一.选择题：

1.在△48C中，NA,都是锐角，且sin4=L,cos8=*,则△A8C三个

22

角的大小关系是（）

A.ZC>ZA>ZBB.ZB>ZC>ZA

C.NA>/B>NCD.ZC>ZB>ZA

B=B,AC=273,则/0的

2.如图1—37所示,在△4%中，Z/l=30.°,tan

2

长是（）

A.3+V3B.2+2V3

9

C.5.D.-

2

3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为a,则其底边上的高

是（）.

A.—aB.aC.—aD.——a

2222

二、选择题

4.在RtZXACB中，ZC=90°,AC=6,AB=2,贝Utan^二s

2

5.若a为锐角，且.sinpjljcosa=.

2

6.在RtAACB中，若/。=90。,sin仁®"+c=6,则1.

2

7.（1）在△ABC'中，ZC-90°,sinA=g,贝ijcos8=；

⑵若JTtan。+10。）=1,则锐角a=.

三、计算与解答

8.计算（1）sin60°•cos30°——.

2

(2)2cos230'—2sin600,cos45°；

(3)2si.n30°-3tan45°+4cos60°；

9.如图1—38所示，在RtZU缪中，N8CN=90°,冲是斜边上的箴，/ACD

10.如图1—39所示，在相距100米的44两处观测工厂。，测得N的。=60°,

/力砥=45°,则4月两处到工厂。的距离分别是多少？

参考答案

1.D；

2.4提示：过点。乍血/火，垂足为反构造两个直角三角形，再根据三角函

数即可求出AE,EB,则AB=AE+EB.1

3.D［提示：考虑等边三角形和顶角为120°的等腰三角形.]

4.3［提示：・・・/作90°,AC=6,

AB=2,Acos,：.ZA=30a,・'・

32

Z^90°-30°=60°,.'.-=30°,/.tan—=tan30°=—.]

223

5.也［提示：:a为锐角，・・・sin45°

=cos45°=.]

22

23.1.230°,45°,60°角的三角函数值

知识点1特殊角的三角函数值

1.如图23—1一32在中，Z6^=90°,/力=30°,则sin30°=.若

AB=a,贝!jBC=,AC=,/.cos30°=.

图23-1-32

2.[2017-天津]cos60°的值等于（）

A.小B.1C.D.J

3.如图23—1—33,以。为圆心，任意长为半径画弧，与射线〃犷交于点儿再以力为

圆心，力。长为半径画弧，两弧交于点反画射线。反贝UtanN/1必的值等于.

图23-1-33

知识点2含特殊角的三角函数的实数运算

4.计算，^an45°的结果等于（）

A.乎B.1C.yf2D.鲜

乙乙

5.计算COS245°+sin245°的结果等于（）

11

c

2-4-

6.化简M（tan30。-1）?等于（）

A.1—B.1

C.坐-1D.镉-1

O

7.下列结论中正确的是（）

A.sin30°+sin40°=sin70°

B.cos30°+cos3D°=cos60°

C.2tan30°=tan600

D.tan30°,tan60°=1

8.计算：（l），5sin6O°—^2cos45°+诋;

（l-tan60。）？；

tan30°4-cos60°

⑶——

(4)2sin450-|-^21-(-2018)°+(1)­,+3tan30°.

知识点3已知三角函数值求特殊角

9.已知tan4=1,则锐角力的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

10.在RtZW。中，Zr=90°,如果cosQ：,那么/力等于（）

乙

A.15°B.30°C.45°I）.60°

11.在△仍7中，若sinJ-1+（乎-tan而2=0,且/一为锐角,则的度数

为（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

12.若a为锐角，当।「〃无意义时,sin（o+15°）+cos（。一15°）的值为

1—tana

13.若larvf的值是方程＞一（1+/）/+/=（）的一个根，求锐角力的度数.

14.点”（一sin60°,-cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）

15.[2016•宿州二模]已知a,尸均为锐角，且满足sina+，

乙(tan6-1)

0,则。+£=°.

16.[2016•临沂]一般地,当a,£为任意角时，sin(o+£)与sin(。一万)的值可

以用下面的公式求得：

sin(a+£)=sinacosB+cosasinP\

sin(a-B)=sincos—coscisinB.

例如：sin900=sin(60°+30")=sin600cos3004-cos600sin30°=^X

2

1

X-=l.

乙

类似地，可以求得sinl50的值是

17.等腰三角形的底边长为20cm,面积^3

cm2,求它的各内角的度数.

18.如图23—1—34,等边三角形力比'中，D,ZT分别为4。边上的点，且止隔

力£与CD交于点、F,力6LLC。于点G,求力9值.

图23-1-34

19.如图23—1-35,在△力欧中，a,b,c分别为/B,N。的对边.若/B=60°,

叱士+虐的值为（）

D.隹BaC

图23—1—35

20.如图23—1—36,在Rt△力以'中，NU90°,AC=8,力〃为N的C的平分线，AD=

曳善，求N8的度数及边8C,/仍的长.

O

A

CD5

图23-1-36

教师详解详析

1］小心八

1.~-a-r-a2.D

乙乙乙乙

3.小［解析］连接AB.由题意知，ZXABO是等边三角形，故NA0B=60°,，皿〃/

AOB=，i

4.C［解析］把为M5°=1代入原式进行计算，即原式=/xi=/.故选C

5.B［解析］cos45°=s/〃45°=平，代入原式，得cos45°+s/〃，45°=（¥），+

乙乙

（斗）2=3+5=1.故选B.

乙乙乙

6.A［解析］V^/?30°=¥<1，・・・伯〃30°-KO,Z.（^/?30°-1）2=1-

为〃30°=1一手•

7.D

8.解：（l）/s力£0，一小cos45。+赤

=小乂坐一啦X坐+2=］

乙乙乙

也

2J_________

⑵原式=国—q（1—小）2=1—小+1=2一小.

2

/〃30°+cos600_J31二理=2工正

(刃s力?60°—(3+?=2-3+3'

(4)原式=2义乎一蜕-1+3+3义声=/一/一1+3+#=2+:.

乙J

9.B［解析］•:加X=l,/A为锐角，taM5°=1,

AZA=45°.

10.B［解析］:在欣△ABC中，ZC=90°,cosB=1,AZB=60°,AZA=180°

-NC-NB=3（）°.故选我

11.D

12.小［解析］由已知得a=45°,再代入计算.

13.解：解方程x?—（l+/）x+$=0,

得X1=l,X2=,^3.

由题意，知tanA=1或tank=/，

AZA=45°或NA=60°.

14.C

［解析］关于x轴对称的两点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数.

15.75

［解析］*.*sin。+yj（tan^>—1）2=0,

/.sinatan^=1.Va,B均为锐角,

.•.=30。，0=45°.

・•・a+B=30°+45’=75".

故答案为75.

乖一乖

1b..

4

17.解：如图.

A

在aABC中，AB=AC,BC=20cm.

设等腰三角形底边上的高AD为xcm,底角为a,

则有5-2()="呼，解得x=2普.

10#

・.，n__3__理

•tana3'

a=30°,・•・顶角为180°-2X30°=120°.

，该等腰三角形的三个内角的度数分别为30°,30。，120。.

18.解：在ACAD与4ABE中,

AC=AB,

VZCAD=ZABE=63°,

、AD=BE,

・•・ACAD^AABE,

:.ZACD=ZBAE.

VZBAE+ZCAE=603,

AZACD+ZCAE=603,

/.ZAFG=ZACD+ZCAE=60°.

在应Z\AF