2025年高考教案数学第六章平面向量复数第3讲平面向量的数量积及应用

第3讲平面向量的数量积及应用

教师尊享•命题分析）

课标要求命题点五年考情命题分析预测

1理.解平面向量数量积2023全国卷乙T6；2022全

的概念及其物理意平面向量国卷乙T3：2022全国卷甲

义，会计算平面向量的数量积T13；2021新高考卷

的数量枳.运算IIT15；2020北京T13；

本讲每年必考，主要

2了.解平面向量投影的2019全国卷HT3

考查向量的数量积运

概念以及投影向量的2023新高考卷IT3：2023

算、向量的夹角、模

意义.新高考卷1IT13；2023全国

长、垂直问题，一般

3.会用数量枳判断两个卷甲T4：2022全国卷乙

以客观题形式出现，

平面向量的垂直关系.T3；2022新高考卷HT4；

难度不大.预计2025

4.能用坐标表示平面向平面向量2022天津T14：2021新高

年高考命题稳定，常

量的数量积.会表示数量积的考卷1T10：2021全国卷甲

规备考的同时要关注

两个平面向量的夹角.应用TI4；2021全国卷甲TI4；

向量与三角、解析几

5会.用向量方法解决简2021全国卷乙T14：2020

何等的综合以及坐标

单的平面几何问题、全国卷IT14：2020全国卷

法在解题中的应用.

力学问题以及其他实IIT13：2020新高考卷

际问题，体会向量在IT7：2019全国卷IT7

解决数学和实际问题平面向量2023全国卷乙T12：2020

中的应用.的应用天津T15

6学生用书P117

1.向量的夹角

定义图示范隹共线与垂直

已知两个非零向量40是平面设。是。与6的0=()或7t<=®_

上的任意一点.作OB=b,夹角，则方的取a//b,

则①/八。8叫做向量。与。的QT值范围是②—④〃=巳=

夹角，记作V”，b>.［0,-.aA.h.

注意确定向量的夹角时应注意“共起点”.

思维拓展

1.两个向量夹角的范围为［0,封，两条直线夹角的范围为［0,》

2.(1)两个向量a,6的夹角为锐角Q仍：＞0且向量a,。不共线；

(2)两个向量0,〃的夹角为钝角＜=«仍V。且向量。，力不共线.

2.平面向量的数量积

己知两个非零向量a与b的夹角为仇我们把数量⑤laiIblcosJ叫做向量。与力的

数量积，记作⑥a力.

注意零向量与任一向量的数量积为0.

3.投影与投影向量“

如图，过荏的起点A和终点8,分别作向量而所在直级的垂线，垂足分别为A/N

4,Bi，得到百瓦，我们称上述变换为向量。向向量b⑦31^,彳再叫做

向量。在向量力上的⑧.投影向量.次门

设与力方向相同的单位向量为e,。与6的夹角为仇则硒*=IaIcos&.

4.向量数量积的运算律

对于向量a，6,c和实数人有

(1)ab=ba；

(2)(；.a)h=A(ah)=a(；.5):

(3)(a+b)c=ac+bc.

注意(1)向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(06),c不一定等于。(be),这

是由于(“力)・c表示一个与c共线的向量，a-(be)表示一个与〃共线的向量，而c与a

不一定共线.

(2)ab=ac(a#))/b=c,等式两边不能约去同一个向量.

(3)平方差公式、完全平方公式仍适用.

5.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=(xi，yi)＞b=(X2»”)，a与力的夹角为，

几何表示坐标表示

数量积ab=1aI1bIcos0.ab=⑨-Xi+viF!.

模1a1=\[aJa.1a1=⑩.

ab尸

夹角CCS，—向cos8=2.

8"®i“Mi.网+资质+城

■力的充要条件ah=().⑫%1应+此嵬=0一

。〃〜的充要条件a=kb(A£R).⑬.由\'2一12¥1=0.

与

1ab11x\X2+y\yi1<

1a/>1<1a11bI(当且仅当

lai1力1的关

“〃方时等号成立).J(奸+比)(蜉+龙).

系

基础自测1

1.以下说法正确的是(A)

A.两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量

B.由ab=O可得a=0或~=0

C.(ab)c=a-(.be)

D.已知两个非零向量。与6的夹角为仇若ab>3则8为锐角

2,教材改编]已知向星:a=(1+],X—3)»b=<1—x,2),ab=~4,则。+2b与力的

夹角为(B)

A.-B.-C.—D.—

3434

解析因为。•力=-4,所以(1+x)(I—x)+2(x—3)=­4,得x=l.所以。=(2,—

2),b=(0,2),所以。+2b=(2,2),Ia+2bI=卜+22=2&,IbI=2,所

以cosVa+28,b>=J"?—>=—_=匹又v干+28,/>>G|0,n]所以a+2b与b的

Ia+2b\\bI2V2X22t

夹角为？.故选B.

4

3.[2022公国卷甲]已知向量a=(/??»3),b=(1,〃?+1).若a_L方，则/〃=一：.

解析Va±Z>,•.ab=m-\-3(/〃+1)=4〃?+3=0,解得/〃=一三.

4

4.己知点A(-1,I),B(I.2),C(-2,-I),D(3,4),则而在而方向上的投

影向量为4g.

解析依题意,得丽=(5,5),则与而同向的单位向量6=-^=(-,-),AB=

ICI44

(2,1),则荏在前方向上的投影向量为誓.6=瞿(立，叱)=越(W,立)=

ICDI5V222222

5.［易错题］已知平面内三个向量a,b,c两两夹角相等，且IaI=I力I=LIcI=3,

则Ia+b+cI=2或5.

解析当a,b,c共线时，Ia+b+c|=|a|+|Z>|+|c|=5;当a,b,c两两夹角

为g时，a，=-aac=bc=—^.Ia+b+cI=

JIaI2+IbI2+IcIZ+2ab+2ac+2bc=1+14-9-1-3-3=2.

<3学生用书Pl19

命题点1平面向量的数量积运算

例1(1)[2023全国卷乙]正方形ABC。的边长是2,E是A3的中点，则瓦•丽=

(B)

A.V5B.3C.2V5D.5

解析解法一由题意知，反=而+反：=；荏+而，FD=F4+AD=-1AS4-AD,所以

22

ECED=(-AB+AD)•(--AF+AD)=I而I--\AB\,由题意知I而I=

224

\AB\=2,所以瓦•丽=4-1=3,故选B.

解法二以点A为坐标原点，AB,标的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标

系，则E(I,0),C(2,2),。(0,2),则无=(1,2),ED=(-1,2),

ECED=-H-4=3,故选B.

(2)［2022全国卷甲］设向量a,b的夹角的余弦值为:，且IaI=1,I》I=3,则(2a+

b)b=11.

解析(2a+b)b=2ab+b2=2IaIIbIcos<a,b>+IbI2=2xjx3x|+32=11.

方法技巧

求非零向量。，。的数量积的方法

1.定义法：ab=IaII/>Icos0.

2.基底法：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表

示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解.

3.坐标法：已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立二面直角坐标系，利用。仍=

XIM+W求解.

训练1(1)［2022全国卷乙］已知向量a,》满足Ia|=1,Ib\=V3,Ia—2b|=3,则

ab=(C)

A.-2B.-lC.lD.2

解析由Ia—2bI=3,可得Ia—lbI2=。?-4a•力+4"=9.

又la1=1,IbI=V3,所以〃力=1,故选C.

(2)［全国卷H］已知而=(2,3),AC=(3,t),IBCI=1,则而而=(C)

A.-3B.-2C.2D.3

解析因为觉=前一前=(I,/-3),所以IBCI=J1+(t-3)2=1,解得1=3,

所以说=(1,0),所以荏阮=2x1+3x0=2,故选C.

命题点2平面向量数量积的应用

角度1向量的模问题

例2(I)［2022全国卷乙］已知向量。=(2,1),b=(-2,4),贝ljIa-bI=

D)

A.2B.3C.4D.5

解析由懑意知。一力=(2,I)-(-2,4)=(4,一3),所以Ia~bI=

(-3)2=5.故选D.

(2)[2023新高考卷H]已知向量a,。满足Ia-b\=百，Ia+b\=I2a-b|,则

Ib|=V3.

解析由Ia-bI=V3,得/—2〃6+力2=3,即2〃6=。2+62—3①.由|。+方|=

I2a-hI,得/+208+方2=4标-4a•/>+b\整理得，a2=2ab,结合①,得/=/+〃—

3,整理得，b2=3,所以IbI=V3.

方法技巧

求平面向量模的两种方法

利用如下公式转化求解.

0«2=aa=1a12或1a1

公式法②|a±b1=J(a±b)2=Ja2±2a出+炉；

③若a=(x,y),则1a1=Jx2+y2.

利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出

几何法

向量，再利用余弦定理等求解.

角度2向量的夹角问题

例3(1)[2023全国卷甲]已知向量a,b,c满足IaI=IM=1,IcI=\[2,月.a+b

+c=0,则cosVa-c,b-c>=(D)

A'-5-B"--5CJ5-D-

解析,.,a+b+c=0,.,.c=-a—b,等式两边同时平方得2=。2+52+2“山=1+1+206,

：.ab=0.

解法一a-c=a-(.-a-b)=2a+b,b-c=b-(-a-b)=a+2瓦:.(a—

c)•(〃-c)=(2a+力)«(a+2力)=2a2+5a-Z>+2Z>2=4,且Ia~cI=I2a+bI=

J(2a+b)2=V44-1=V5,Ib-cI=Ia+2/>I=J(a+2h)?=C1+4=V§,

•/f、<a-c)•(b-c)4c

・・8SVa—C,b-c>=—故达D.

解法二如图，令OB=b,则历=c,：,CA=a-c,CB=b-

c,而I48I=y[2,\AC\=\BC\=V5,在△ABC中，由余弦定

・・・・・2・・・・・・•E4.C—OA

理得COSVG-c,b—c>=cos<CA,CB>=cosNACB=7广小

2«5x、，55

故选D.

解法三如图，令向量ab的起点均为。，终点分别为A,B.以。无0片的方向分别为

x,y轴的正方向建立平面直角坐标系，则。=(1,0),h=(0,1),c=-a—h=

(―1,—1),所以a—c=(2,1),b~c=(1,2),5!'jcos<«—c,b-c>=

0°I[=、+2_=」,故选D.

Ia-cI-Ib—cIvSxVs5

(2)[2022新高考卷II]已知向量〃=(3,4),b=(1.0),c=a-\rtb,若Vmc>=

<b,c>,贝h=(C)

A.-6B.~5C.5D.6

解析解法一由题意，得。=。+法=(3+八4),所以。-c=3x(3+/)+4x4=25+

3/,Z>c=lx(3+f)+0x4=3+1.因为<*c>=<b,c>,所以cosVa,c>=cos</>,

c>,即一^一=言一,即胃=3+f,解得r=5.故选C.

Ia||cIIb\\cI5

解法二因为Va,c>=<b,c>,且c=a+/Z>,所以由向量加法的平行四边形法则

得IaI=rIZ>I,易知|a|=5,IAI=1,所以r=5.

方法技巧

求平面向量夹角问题的三种方法

定义法当。，〃是非坐标形式时，由cos。=不笠求解.

Ia\\oI

若4=(xi,ji),b=(M,)2)，则cosV"，产，,<服/>>

坐标法N+秃•收+*

e[0,n].

解三角可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.注意向量夹角与三角形内角的

形法关系.

角度3向量的垂直问题

例4(1)[2023新高考卷口已知向量a=(1,1),力=(1,-1).若(a+助)±(a+

,ub),则(D)

A.2+〃=1B.A+jU=—1

C.x//=1D.x/f=—1

解析因为a=(1,I),b=(1,—1),所以。+劝=(l+A,I—A),a+〃b=(1+

〃，1—〃)，因为(a+/b)_L(a+〃A),所以(。+动)•(a+曲)=0,所以(1+2)(I

+")+(1~A)(1—/z)=0,整理得4，=—1.故选D.

(2)[全国卷H]已知单位向量a.b的夹角为60。,则在下列向量中.与b垂直的是

(D)

A.a+26B.2a+6C.a-2bD.2a-b

解析解法一由题意，得。力=|。||8|8§60。=；.对于人，Q+2))6=a/+2/>2=；

+2=|#),故A不符合题意；对于B,(2〃+方)彷=2“巧+/=1+1=2用，故B不符合题

意：对于C,(a-2b)b=ab-2b2=^-2=-^,故C不符合题意：对于D,(2a-

b)b=2ab-b2=\-\=O,所以(2a-b)_L6,符合题意.故选D.

解法二根据条件，分别作出向量〃与A,B,C,D四个选项对应的向量的位置关系，如

图所示.

nncnn

ABCD

由图易知，只有选项D满足题意.故选D.

解法三不妨设a=(1,y),(1,0),则a+2g(1,号,2G+6=(2,

V3),a-2b=(­1,y),2a-b=(0,V3),易知，只有(20—6)6=0,即(2a-

b)_L6.故选D.

方法技巧

1.证明两个向量垂直的解题策略

先计算出这两个向量的坐标或表示出两个向量，然后根据数量枳的运算公式，计算出这两

个向量的数量积为0即可.

2.已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值

根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.

训练2⑴[2023广州市二检]已知两个非零向量a,b满足IaI=3I6I,(a+b)

_Lb,则cos〈。，方)=(D)

A.1BC.|D.-|

2233

解析因为(a+5)A,b,所以(a+))b=0,即〃•力=一力\所以Ia|•I6I・cos(a,

b}=—IbI\即3I力I•IbIcos(a,b)=—\b\2,则cos(a,h)=一1.故选D.

(2)[2021全国卷甲]若向量a,b满足IaI=3,Ia-bI=5,ab^\,则I6I=_

3V2.

解析由Ia-bI=5得Ca—b)2=25,Ppa2-2ab-\-b2=25,结合IaI=3,ab=1,得

32—2x1+|bI2=25,所以IbI=3A/2.

命题点3平面向量的应用

例5在口常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情况(如图).假

设行李包所受重力为G,所受的两个拉力分别为B，入.若IKI=

I民I，人与尸2的夹角为0,则下列结论不正确的是(D)

A.IF.I的最小值为:IGI

B.当。=m时，|FlI=IGI

C.当。=3时,IFjIIGI

D.当。=与时，人在尸2方向上的投影数量为"4—

解析由题意知，IGI=I用+尸2I,且IGI为定值，因为I尸J=I尸2I,所以

*2222

IGI=IF!I+IF2I+2IFlIIF2I-cos0=2IFiI(1+cos0),所以IFiI?=

IC/

2(l+cos0>'

当(0,Jt)时，y=cosO量调递减，

所以关于。的函数y=IF,I2=」J-单调递增，

2(1+COS0)

即。越大越费力，，越小越省力.

当6=0时，IF]Imin=|lGI;

当时,IFl|=yIGI：

当时，I尸II=IGI.故A,B,C正确.

对于D选项，当。=与时，尸1在尸2方向上的投影数量为1rlicOS亨=IGIcos^=

一号，故D不正确.故选D.

方法技巧

用向量方法解决实际问题的步骤

屋»也实际问题中的相关立用向量表

不出来

公、_」转化为向it问题的模型.通过为

XZ置的运算解决问题

训练3一条东西方向的河流两岸平行，河宽2506m,河水的速度为正东3km/h.一艘小货

船准备从河流南岸码头/)处出发，航行到河流对岸对应点Q(P。与河流的方向垂直)的正

西方向并且与。相距250m的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度

的大小为5km/h,则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为(C)

A.3V3km/hB.6km/h

C.7km/hD.3历km/h

解析连接尸M,由题意得，当小货船的航程最短时，其航线为线段PM.

设小货船航行的速度为V,水流的速度为V),水流的速度与小货船航行的速度M,

的合速度为咚，作出示意图，如图所示.

P(2=250V3ni,2M=250m.

在RtAP0M中，(根据"P0与河流的万向垂直''得到△PMQ的形状)

tanZ/W(2=^=^=V3,由题意NPMQ6(0,少，

QM2502

所以NPMQ=，NMPQ=「<vi,=：+?=?,

36263

易知V=V2-V|,IV|I=3,IV2I=5,

所以IyI=J(%一％)2=JI=2I2+I%I2-2%忆=J52+32-2x5x3cos曰=

7,

所以小货船航行速度的大小为7km/h,故选C.

f-----------------------MMMI----------------------------------------

△学生用书P120

极化恒等式

例6(I)[2022北京高考]在△48C中，AC=3,8c=4,NC=90。/为△48C所在平面内

的动点，且PC=1,则而•两的取值范围是(D)

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[—6,4]DJ-4,6]

解析解法一(极化恒等或)设A6的中点为M,而与不的夬角为伍由极化恒等式得

同•丽=丽2_1.前2=(CM-CP)2-—=CM2+CP2-2CMCPCOS/?--=—+1-5cos0

4444

一B=1-5cos仇国为cos8£[—l,1],所以药•丽£[-4,6;

解法二以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为.1•轴，y轴建立平面直角坐标系，则

A(3,0),B(0,4),设P(x,>'),则/+产=],可=(3—x,-y),PB=

(―x,4—y),所以可?•丽=>—Bx+y—dyn(A：—1)2+(j—2)2~~t又(X—1)2+

(厂2)2表示圆1+产=1上一点到点(|,2)距离的平方,回心(0,0)到点G，2)

的距离为国所以西•丽可(--1)2--,(-+I)2--],即万•丽£[-4,6],故选D.

22424

解法三以C为坐标原点，CA,C8所在直线分别为X轴，y轮建立平面直角坐标系，则

A(3,0),B(0,4),因为PC=1,所以尸在以(0,0)为圆心，1为半径的圆上，所

以设点P坐标为(cosa,sin«),则西丽=(3—cosa,—sina)•(—cosa,4—sina)

=1—3cos«—4sina—1—5sin(a+°)(其中tan3=[).因为sin(a+夕)£[—1,1J,所

以瓦?•丽£[-4,6].

(2)[全国卷II]已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面A8C内一点，则PX(PB

+PC)的最小值是(B)

A.-2B.-rD.-1

解析解法一如图，取4C的中点。，则Pg+Pe=2PD：则PM(PF+

PC)=2万•而.在△PAO中，取八。的中点O,则2万•而=21而产一

|IADI2=2I~P0I2-1.

BD

由于点。在平面内是任意的，因此当且仅当点P,。重合时，I而I取得最小值，即

2瓶而取得最小值一提故选B.

解法二如图，以等边三角形48c的底边8C的中点O为坐标原点，RC

所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则人为力〃

(0,V3),B(-1,0),C(I,0)./Y

R~C

设/'(x,y),则可=(.—X,近一y),而=(―1—X,—y),PC=

(1-x,-y),所以而•(PB+PC)=(-x,M-y)•(一2x,-2y)=2A2+2(>-

y)2-1,易知当x=0,尸争丸PA-(PB+PC)取得最小值，最小值为一点故选B.

方法技巧

22

极化恒等式：ab=-4[(a+b)—(a—b)].

几何意义：向量d力的数量积等于以这组向量所对应的线段为邻边的平行四边形的“和对

角线长”与“差对角线长''的平方差的;.

4

应用：(1)在Q48C。中，O为AC,8。的交点，贝I有而•而二；

4

A

(4I而I2-4I而I2)=\A0\2~\0B\2.

(2)如图，在△ABC中，若“是的中点，则而•前=而衣一；前2，//\

训练4[2023山东青岛二中5月模拟]如图，在四边形A3C。中，N8=60。，AB=3,BC=

6,且而=/近，ADAB=~l，则实数2的值为一,若M,N是线段3C上的动点，FL

\MN\=l,则丽・丽的最小值为T

解析依题意得AD〃BC,Z«AD=I2O°,^AD-AB=\AD\-\AB\cosN841)=

-1\AD\=-?,得I而1=1,因此2=粤；=士取MN的白点E,连接。E,则丽+

22IBCI6

'DN=2DE,DMD/V=-|(DM+D/V)2-(,DM-DN)?]=尻2―£丽2=尻2一±注意到线

444

段MN在线段8c上运动时，DE的最小值等于点。到直线8c的距离，即48sin8=苧，

因此屁2—三的最小值为(吗2-1=12,即丽.而的最小值为兰.

42422

(教师尊享•备考教案)

■思维帮提升思维快速解题

三角形“四心”的向量表示与运用

角度I垂心的向量表示与运用

例7［2023山西朔州模拟］已知〃为aABC的垂心，若而=；而+：元，则sin/3AC=_

•J3

\怎

-3

解析如图，连接3”.CH.因为通=［而+：觉.所以丽=瓦？+而=

一;而+|前，丽=方+而=：而一|尼.由〃为△A8C的里心，得丽•公

=0,即(一|通+看而)•冠=0,可知；I/I2=

-\AC\-\AB\cosNBAC,即cosZBAC=3①，同理有丽•荏=0,即(-AB-

35IABI3

AB=0,可知：I而I2=：|前IIABIcosZBAC,即cos/5AC=?^②，

5359IACI

①x②得cos^NBACqsin*I2ZBAC=1-cos2ZBAC=1又sinNBAOO,所以

=

sinNBAC—3.

方法技巧

1.垂心的定义：三角形三条高为交点称为该三角形的垂心.

2.垂心的性质：设。是△A8C的垂心，。为△48C所在平面内任意一点，则有(1)西•丽

=0B0C=0C0A；

(2)\OA\2+\BC\2=\OB\2-^\CA\2=\OC\2+\AB\2；

(3)动点P满足Q=/l(_八"--+一"-----)或而=函+2(——-----+

IABICOS/.ABCIACICOSAACBIABIcos^ABC

»“―-),时，动点P的轨迹经过△ABC的垂心.

IACIcosLACB

角度2重心的向量表示与运用

例8［2023广州一中诊断］如图，已知点G是△48C的重心，过G作直线与

AB，亿分别交于出N两点，AM=.AB,丽=函，则^^=」_・

解析由例，G,N三点共线潺，存在实数2使得尼=7宿+(1—2)~AN=x)M+y(1-

x)AC,且0V1V1.

因为G是△48。的重心，所以怒=三(而+衣)，所以131则

3y(1-A)=\

5

第=/

1故冷'=£7匕7,、+)'=舟万,则篇=£—(i-A)=1.

y=77717

方法技巧

1.重心的定义：三角形三条中线的交点称为该三角形的重心.

2.重心的性质：设。是AABC的重心，P为平面内任意一点，则有(I)0X+054-0C=

0；(2)PO=^(AX+而+卮)；(3)动点、P满定丽=入(AB-iAC)或而=画+

A(AB+AC),；e|0,4-oo)时，动点P的轨迹经过△ABC的重心.

角度3外心的向量表示与运用

例9[2023湖北荆门模拟]已知点O为△ABC所在平面内一点，在△ABC中，满足2而•而

=\AB\2,2ACA0=IACI则点。为该三角形的(B)

A.内心B.外心C.垂心D.重心

2

解析因为2ABAO=2IABIIAOIcosZOAB=\AB\t所以I彳5IcosZOAB=

1II,则向量方在向量霜上的投彩向量的长度为I4I的一半，所以点。在边的

中垂线上，同理，点。在边工。的中垂线上，所以点O为该三角形的外心，故选B.

方法技巧

1.外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点称为该三角形的外心.

2.外心的性质：若。是△回(?的外心，则有(I)IUXI=I而I=I沅I；

(2)(0AA-0B)AB=(07+0C)AC=(0S+0C)BC=i).

角度4内心的向量表示与运用

例10[2023四川南充阶段测试]已知。是aABC所在平面内一点，且点O满足耐•(fr

=0B-=0C-<-=T--=-)=0,则点。为。的

IACIIBAIIBCIICAIICBI

(C)

A.外心B.重心C.内心D.垂心

解析解法一Yy,襦分别是与荏，配方向相同的单位向量，可令糕？=而，

IAuIIACIIABI

~^r-=AE,连接EO,则为腰长是1的等腰三角形，-^r---^r-=ED,所以

IACII40IMCI

OAED=0,所以AO为NCA8的平分线，同理80为/ABC的平分线，CO为NAC8的平

分线，所以。为△A8C的内心.故选C.

解法二0A-(镖^一/7)=0,即函•镖7=函・7^7，即I西I•号~cos(7t-

IAB|IACIIAB|IACIIAB|

ZOA5)=\0A\--^T-COS(n-ZOAC),所以/OA6=/OAC,即AO是/SAC的干

IACI

分线，同理可得8。为NA8c的平分线，CO为NACB的平分线，所以。为△ABC的内心.

方法技巧

I.内心的定义：三角形三条内角平分线的交点称为该三角形的内心.

2.内心的性质：若。是AABC的内心，尸为平面内任意一点，则有（I）水源+力ON+c反

=0（a,b,c分别是△ABC的三边8C,AC,4B的长）；（2）动点P满足Q=Z

+/T）或诃=8?+a,AGIO,+oo）时，动点〃的轨迹经过△ABC的

IACII48II/ICI

内心.

训练5（1）［2023长春模拟］点O是平面a上一定点，点P是平面a上一动点，4,B,C

是平面a上的三个顶点（点。，P,A,B,C均不重合），以下命题正确的是—

①②③④.

①动点P满足0万=0才+广方+正，则4A8C的重心一定在满足条件的尸点的集合中；

②动点P满足加=就+2（寿7+力不）（2>0）,则△A8C的内心一定在满足条件的

产点的集合中：

③动点/满足加=6（+2（p+，）（2>0）,则△八8C的重心一定在满足

条件的P点的集合中：

④动点p满足丽=瓦?+2）

IABICOSBIACICOSC

（2GR）,则△48C的垂心一定在满足条件的。点的集合中.

解析对于①，OP=OA-1-PB-\-PC,移项得一次+而=而=而+无，即而+而+同=

0,则点。是△A8C的重心，技①正确.

对于②，因为动点P满足而=画+4Q>0）,移项得而=4（7■变一+

IADIIACIIAB

-4&-）Q>0）,所以Q与/84C的平分线对应的向量共线，所以P在N84C的平分线

II

上，所以△A8C的内心在满足条件的P点的集合中，②正确.

对于③，0P=04+A（7^—+,_5,）Q>0）,即而=7（彦.+

IABIS.nBIACIsineIABISinB

,—,C.）,过点A作AO_L5C,垂足为D,则I而IsinB=\AC\sinC=AD,而=《

IACISinCAD

（AB+AC）,设M为8。的中点，则通+冠=2而，则"=且宿，所以P在8C的中

AD

线上，所以△八8C的重心一定在满足条件的P点的集合中，③正确.

对于④，OP=OA+A——）QeR）,即而=2（^=4^—+

IABICOSFIACICOSCIABICOSB

J）,所以而由=2（呼而+芯就）=%（一|前|+|正|）=（）,所

IACIcaseIABIcasBIACIcosC

以而_L就，所以P在边BC上的高所在的直线上，所以△A8C的垂心一定在满足条件的P

点的集合中，④正确.故正确的命题是①②③④.

（2）［多选Z2O23安徽淮北师大附中模拟］数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》

一书中有这样一个定理：三角形的重心、垂心和外心共线.这条线就是三角形的欧拉线.在

△ABC中，O,H,G分别是外心、垂心和重心，力为8C边的中点，则卜列四个选项中止

确的是（ABD）

..•..♦・・・一・•

\.GH=2OGB.G4+GB+GC=0

C.AH=()DD.SARBG=S&BCG=S&ACG

解析根据题意画出图形，如图所示.

对于B,连接GO,由重心的性质可得G为A。的三等分点，JLGA=-2GD,

又。为8C的中点，所以旗+/=2否方，所以褊+至后+泥=-28力+2而=

0,故B正确.

对于A,C,因为。为AABC的外心，。为BC的中点，所以。O_LBC,所以AH〃OQ,所

以△4〃GsZXOOG,所以竺二"=丝=2,即G，=2OG,AH=2OD,故A正确，C不正

OGODDG

确.

对于D,延长A”交4c于N,过点G作GE_L3C,垂足为瓦则△OEGs/\ONA,所以竺

AN

=霏=（,所以SA8GCWXBCXGE=；X8CX；XAN=；5AABC,同理，5AAGC=5AARC,

U/y5ZZo*5S

所以S△ABG=S4BCG=S4&CG,故D正确.故选ABD.

1」命题点2/多选］己知e”62是单位向量，且e/e2=5若向量。满足e「a=2,则下列选项

正确的是（ABD）

A.Ie\—e2I=I

B.ei在e2上的投影向量的模用

C.ei与约一02的夹角为工

D.”在以上的投影向量为2ei

解析Ie1-e2I2=ej—2eig+或=1,故|ei—e2l=l,故A正确.

因为约在62上的投影向量为所以约在02上的投影向量的模为;，故B正确.

I62I22

错误.

设ei与Q的夹角为仇因为e/a=2=IaIcos仇所以a在e1上的投影向量为

（laicos8）e\=2e\,故D正确.

2.［命题点2/2022天津高考］在A48C中，CA=a,CB=b,'AC=2DC,CB=2BE,用a,b

表示向量力？，则方=；若而反，则/ACB的最大值为二

解析由题意知而=：巳?=%，又而=2雇，所以屈=|而=］,则反=在一丽=/一

产

因为及AB=CB-CA=b-a,

所以而•屁=（b-a）•（，一%）=0,化简整理，得3#+“2-4〃仍=o,则3lbI?+

IaI2-4IaI|bIcos