【暑假专项培优】专题21 牛吃草问题-小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义

小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版）专题21牛吃草问题【第一部分：学问归纳】一、基本概念1、牛吃草问题（又称消长问题）是争辩草量变化与牛吃草速度关系的经典应用题，由牛顿提出，因此得名。这类问题需要考虑草的生长速度和牛的消耗速度。2、核心要素：初始草量：草地原有的草量（固定值）草的生长速度：每天/每周新长出的草量牛的吃草速度：每头牛单位时间的吃草量二、基本公式1.草量平衡公式总消耗=初始草量+生长量

即：牛数×时间×单位消耗=初始草量+生长速度×时间2.解题公式设：草地初始草量为G草的生长速度为每天x份每头牛每天吃1份草对于m头牛吃n天：

G+x×n=m×n三、四大经典题型题型1：基础牛吃草例题：一片草地，10头牛20天吃完，15头牛10天吃完。问25头牛几天吃完？解答：设初始草量G，每天长x①G+20x=10×20=200②G+10x=15×10=150①-②得：10x=50→x=5代入①：G=10025头牛时：100+5t=25t→t=5天题型2：草量削减例题：由于干旱，草地每天均匀削减。20头牛5天吃完，15头牛6天吃完。问11头牛几天吃完？解答：设初始草量G，每天削减x①G-5x=20×5=100②G-6x=15×6=90①-②得：x=10代入①：G=15011头牛时：150-10t=11t→t≈7.14天题型3：多块草地例题：三块相同草地，第一块10头牛20天吃完，其次块15头牛10天吃完，第三块25头牛多少天吃完？解答：

（解法同题型1，答案为5天）题型4：变化吃草量例题：草地每天匀速生长。若放25头牛，6天吃完；若放20头牛，10天吃完。假如放15头牛，其中有5头每天吃草量是其他的2倍，几天吃完？解答：先求常规解：①G+6x=25×6=150②G+10x=20×10=200解得：x=12.5，G=7515头牛中：10头正常，5头吃双倍→相当于10+5×2=20头75+12.5t=20t→t=10天四、解题四步法步骤1：设定变量设初始草量G和草的生长/消耗速度x步骤2：建立方程依据不同牛数天数组合建立方程步骤3：解方程组求出G和x的值步骤4：求解问题代入目标牛数计算时间五、易错点与技巧1、常见错误忽视草的生长：遗忘考虑草量变化单位不统一：时间单位不全都变量设定错误：混淆生长与消耗速度简单条件处理不当：如牛吃草效率不同2、解题技巧表格法：牛数天数总消耗方程1020200G+20x=2001510150G+10x=150标准化假设：设每头牛每天吃1份草特殊值法：当草不生长时x=0验证法：计算后代入验证【其次部分：力量提升】1．某车站在检票前若干分钟就开头排队，设每分钟来的旅客人数一样多，从开头检票到等候检票的队伍消逝，若同时开8个检票口需60分钟；同时开10个检票口需30分钟。为了使15分钟检票队伍消逝，需要开多少个检票口？2．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。假如男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？3．有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷，草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，其次块草地可供28头牛吃45天，那么第三块草地可供多少头牛吃80天？4．某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟可以进入10个游客，假如开放4个人口20分钟就没有人排队，现在开放6个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队？5．画展8时开门，但早有人来等候。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众数一样多。假如开3个入场口，8时9分就不再有人排队；假如开5个入场口，8时5分就不再有人排队。那么，第一个观众到时是几时几分？6．一片牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供21头牛吃8天，或者供18头牛吃12天。为防止沙漠化，要让草永久不被吃完最多可以放养多少头牛？7．某市一家银行每天印为正9：00~17：00营业。正常状况下，每天9：00预备现金50万元，假设每小时的提款量都一样，每小时的存款量也都一样，到17：00下班时有现金60万元；假如每小时提款量是正常状况的4倍，每小时存款量不变，14：00银行就没现金了。假如每小时提款量是正常状况的10倍，而存款量削减到正常状况的一半，要使17：00下班时银行还有现金50万元，那么9：00开头营业时需要预备现金多少万元？8．2006年夏天，我国某地区患病了严峻干旱，政府为了解决村名饮水问题，在山下的一眼泉水旁修了一个蓄水池，每小时有40立方米泉水注入池中。第一周开动5台抽水机2.5小时就把一池水抽完，接着其次周开动8台抽水机1.5小时就把一池水抽完。后来由于旱情严峻，开动13台抽水机同时供水，请问几小时可以把这池水抽完？9．有一口水井．在无渗水的状况下，甲抽水机用20小时可将水抽完，乙抽水机用12小时可将水抽完．现在甲、乙两台抽水机同时抽，由于有渗水，结果用9小时才将水抽完．在有渗水的状况下，用甲抽水机单独抽需多少小时抽完？10．(牛吃草问题)一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙。若同时开放甲、丙两管，3小时可将满池水排空；若同时开乙、丙两管，6小时可将水池排空；若单独开丙管，12小时可将空池注满。若同时打开甲、乙、丙三管，要排空满池水，需要多少小时？11．（牛吃草问题）某足球赛检票前几分钟就有观众排队，每分钟来的观众人数一样多，从开头检票到等候入场的队伍消逝，若同时开4个入场口需50分钟，若同时从我做开6个入场口需30分钟。假如要使队伍25分钟消逝，需要同印为正时开几个入场口?12．在车站开头检票时，有aa13．有一牧场，牧草每天匀速生长，可供9头牛吃12天；可供8头牛吃16天。现在开头只有4头牛吃，从第7天开头又增加了若干头牛，再用6天吃光了全部的草，问增加了多少头牛？14．有一片牧场，草每天都在均匀地生长，假如放养24头牛，那么6天就把草吃完了；假如放养21头牛，那么8天就把草吃完了。请问：（1）要使得草永久吃不完，那么最多放养多少头牛？（2）放养多少头牛，12天才能把草吃完？15．有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在从我做匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天。另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都印为正与第一块牧场相同，这片牧场可供75头牛吃多少天？16．两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底．白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的．结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底．那么，井深多少米？17．画展9时开门，但早有人来排队等候入场了，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，假如开3个入场口，9：09就不再有人排队，假如开5个入场口，9：05就没有人排队，那么第一个观众到达的时间是8点多少分？18．甲、乙、丙三个仓库各存放着数量相同的面粉，甲仓库用1台皮带输送机和12个工人，5小时可将仓库早的面粉搬运完．乙仓库用1台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内的面粉搬运完，丙合库现有2台皮带输送机。假如每个工人每小时的工效相同，每台皮带输送机每小时的工效也相同、皮带输送机与工人一起往外搬运面粉，那么假如需要在2小时内把丙仓库内的面粉搬运完，至少还需要多少个工人?19．一堆草，可以供3头牛和4只羊吃14天，或者供4头牛和15只羊吃7天，将这堆草供应6头牛和7只羊吃，可以吃多少天？20．有三块草地，面积分别为5公顷、6公顷、8公顷，草地上的草一样厚，而且生长速度一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，其次块草地可供2头牛吃14天，问第三块草地可供19头牛吃多少天?21．(牛吃草问题)火车站的检票口，在检票开头前已经有一些人排队，检票开头后，每分钟有15人前来排队检票，一个检票口每分钟能让30人检票进站。假如只有一个检票口，检票开头后6分钟就没有人排队了，假如有两个检票口，那么检票开头后，多少分钟就没有人排队了？22．有三个牧场，大小分别是3亩、6亩、15亩，每个牧场的草都匀速生长。若在第一个牧场中放入20头牛，10天能把牧草吃完若在其次个牧场中放入30头牛，20天能把牧草吃完。现在第三个牧场的草被50天吃完，问放了几头牛？23．某车站在检票前若干分钟就开头排队，每分钟来的旅客人数一样多。假犹如时开放3个检票口，那么40分钟检票口队伍恰好消逝；假犹如时开放4个检帮口，那么25分钟队伍恰好消逝；假如开设8个票口，那么队伍多少分种恰好消逝？24．一牧场，草地上的青草每天都匀速生长这片背草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天.现有一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完，这群牛原有多少头?25．某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入场口每分钟可以进来10个游客.假如开放4个入场口，20分钟就没有人排队。现在开放6个入口，那么开门后多少分钟后就没有人排队？26．第1、2、3号牧场的面积依次为3、5、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，而且长得一样快。有两群牛，第一群牛2天将1号牧场的草吃完，又用5天将2号牧场的草吃完。在这7天内，其次群牛刚好将3号牧场的草吃完。假如第一群牛有15头，那么其次群牛有多少头？27．小明家有20个鸡蛋，还养了一只一天能下1个鸡蛋的老母鸡。假如他家每天吃3个鸡蛋，小明家的鸡蛋能连续吃多少天？28．08年5月12日我国四川汶川发生里氏8.0级大地震，唐家山堰塞湖边一凹地受山体滑坡影响，湖水不断涌出，假定每分钟涌出的水量相等，假如用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；假如用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，假如要在10分钟内抽完水，那么至少需要几台抽水机?29．一片牧场，每天草生长的速度相同，这片牧场可供15头牛吃30天，或者可供80只羊吃15天，假如4只羊的吃草量相当于1头牛的吃草量。那么10头牛和30只羊一起吃这片牧场上的草，可以吃多少天？30．有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，其次块草地可供28头牛吃45天，第三块草地可供多少头牛吃80天?31．（牛吃草问题）有一池泉水，泉底不断涌出泉水，且每小时涌出的泉水一样多，假如用8部大抽水机10小时能把全池泉水抽干，假如用36部小抽水机6小时也能把水抽干。假如1部大抽水机的抽水量等于3部小抽水机的抽水量，那么用8部大抽水机和18部小抽水机多少小时能把全池水抽干?32．(牛吃草问题)春运高峰，售票窗口早早地排好了队，间续还有人均匀地来购票。假如开设5个售票窗口，30分钟可缓解排队现象，假如开设6个售票窗口，那么20分钟就能缓解排队现象。现在要求10分钟缓解排队现象。问：应当开设几个售票窗口？33．牧场上一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周．假如牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？34．王东和王松家各有一块草地，草长得一样密一样快，王东家草地面积是王松家草地面积的3倍。王松家草地可供10头牛吃10天，王东家草地可供20头牛吃18天。假如两家一起放养16头牛这两块草地可供吃多少天？35．春运高峰，售票窗口早早地排好了队，间续还有人均匀的来购票，假如开设5个售票窗口，30分钟可缓解排队现象，假如开设6个售票窗口，那么20分钟才能缓解排队现象。现在要求10分钟缓解排队现象。问：应当开设几个售票窗口？36．一片牧场上长满牧草。牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供21头牛吃8天，或者供18头牛吃12天。为防止沙漠化，要让草永久不被吃完最多可以放养多少头牛？37．有一片牧场，草每天都在均匀地生长，假如放养24头牛，那么6天就把草吃完了；假如放养21头牛，那么8天就把草吃完了。（1）要使得草永久吃不完，那么最多放养多少头牛？（2）放养多少头牛，12天才能把草吃完？38．（牛吃草问题）某火车站的检票口，在检票开头前已经有一些人排队，检票开头后每分钟有10人前来排队，一个检票口每分钟能让25人检票进站，假如只有一个检票口，检票开头8分钟后就没有人排队；假如有两个检票口，那么检票开头后多少分钟就没有人开头排队?39．(牛吃草问题)如下图，有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高的三等分点处分别有两个排水孔A和B，它们排水时的速度相同且保持不变。现在以肯定的速度从上面往水箱注水。假如打开A孔、关闭B孔，经过20分钟可将水箱注满；假如关闭A孔；打开B孔，经过22分钟可将水箱注满，假如两个孔都打开，那么注满水箱的时间是多少分钟？40．某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的.一个入口每分钟可以进入10个游客，假如开放4个入口，20分钟就没有人排队，现在开放6个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队？41．某游乐场在开门前有540人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的，假如开放2个入场口，1小时就没有人排队了，假如开放5个入场口，20分钟就没有人排队了，若要5分钟后就没有排队的人，至少需要开放多少个入场口？42．(牛吃草问题)科学家发觉地球每年都会新生成肯定数量的资源，且这些新生资源的数量每年：都是恒定的，若人口数量过大，每年消耗的资源过多，资源终有耗尽的一天。经测算，当世界人口数量为90亿时，地球上的资源可供人类生活300年。当址界人口数量为100亿时，地球上的资源可供人类生活100年，若要使人类在地球上能够持缚不断地生活和进展下去，地球人口最多为多少亿人？43．画展9点开门，但早有人排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，假如开3个入场口，9点9分就不再有人排队；假如开5个检票口，9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达时间是8点多少分？44．草地里的木桩上拴着一头牛，绳子的长度是5米．这头牛最多能吃到多少平方米的草？当这头牛最大限度走出一圈时，它走了多少米？45．商场的自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，兄妹两人乘自动扶梯上楼，哥哥每分钟走20级，妹妹每分钟走15级，结果哥哥5分钟到达楼上，妹妹6分钟到达楼上，问该自动扶梯有多少级可见扶梯？46．甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，假如要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉）47．(牛吃草问题)有一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管，开头进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水，池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水全部排光，假如把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光，而若仅打开3根出水管，则需要18小时，假如想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？48．画展8：30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，假如开3个入场口，9点就不再有人排队；假如开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。49．一片草地每天长的新草一样多，羊和兔子的吃草量之和正好是牛的吃草量。假如草地放牧牛和羊，可吃45天；假如放牧牛和兔子，可吃60天；假如放牧羊和兔子，可吃90天。若草地同时放牧牛、羊、兔子，可吃多少天?50．一牧场，草地上的青草每天都匀速生长.这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。现有一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完，这群牛原有多少头?

参考答案及试题解析1．解：假设每分钟每个检票口检票人数为1份。(8×60-30×10)÷(60-30)

=（480-300）÷30

=180÷30

=6开头检票前排队的人数：

8×60-60×6

=480-360

=120检票口：

(15×6+120)÷15

=（90+120）÷15

=210÷15

=14(个)

答：需要开14个检票口。【解析】设1个检票口1分钟检票的人数为1份，依据题目信息，8个检票口60分钟和10个检票口30分钟能够清空队伍，在60-30=30分钟内，新增的旅客量为860-1030=480-300=180份，因此每分钟新来的旅客数量为180÷30=6份。由于每分钟有6份新旅客加入队伍，而8个检票口在60分钟内总共处理了480份旅客，所以原有旅客数量为(860-660)=480-360=120份。假如要在15分钟内消退队伍，那么在15分钟内需要处理的旅客总量为原有旅客加上新增旅客，即120+15×6=210份，然后再除以15分钟，即可求出需要开多少个检票口。2．解：当电梯静止时，无论是由下往上，还是由上往下，两个孩子走的阶数都是电梯的可见阶数．当电梯运行时，女孩所走的阶数与电梯同时间内所走的阶数之和等于电梯可见阶数，男孩所走的阶数与电梯同时间内所走的阶数之差也等于电梯可见阶数。由于男孩的速度是女孩速度的2倍，所以男孩走80阶到达楼下与女孩走40阶到达楼上所用时间相同，则在这段时间内，电梯所走的阶数也相同。有：40+电梯走的阶数=80-电梯走的阶数，可得电梯走的阶数为（80-40）÷2=20（阶），所以电梯可见阶数为40+20=60（阶）。

答：假如男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有60级。【解析】下楼的电梯可见阶数=人走的阶数+电梯运行速度×下楼时间

上楼的电梯可见阶数=人走的阶数-电梯运行速度×上楼时间

依据上下楼的阶数和上下楼的速度求出上下楼的时间比，即可列方程求解3．解：设每头牛每天的吃草量为1份。

由于第一块草地5公顷可供10头牛吃30天，因此1公顷草地30天供应：10×30÷5＝60（份）；

其次块草地15公顷可供28头牛吃45天，因此1公顷草地45天供应：28×45÷15＝84（份）；

所以1公顷草地每天新生长草量：（84－60）÷（45－30）＝1.6（份）；

1公顷草地原有草量：60－1.6×30＝12（份）；

24公顷草地每天新生长草量：1.6×24＝38.4（份）；

24公顷草地原有草量：12×24＝288（份）；

24公顷草地80天可供应草量为：288＋38.4×80＝3360（份）；

所以共需要牛的头数是：3360÷80＝42（头）

答：第三块24公顷的草地可供42头牛吃80天。【解析】把每头牛每天吃的草看作1份，由于第一块草地5亩面积原有草量+5亩面积30天长的草=10×30=300份，所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5=60份；

由于其次块草地15亩面积原有草量+15亩面积45天长的草=28×45=1260（份），所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15=84（份），所以45-30=15天，每亩面积长84-60=24（份）；则每亩面积每天长24÷15=1.6（份）。所以，每亩原有草量60-30×1.6=12（份），第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24=38.4（份），原有草就有24×12=288（份），新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80=3.6（头）牛所以，一共需要38.4+3.6=42（头）牛来吃。4．解：计算四个入口20分钟共进入的人数：

10×4×20=800

计算每分钟来的人数：

800−40020=20人

设开6个口x分钟后没人排队，

10×6×x=400+20x

解这个方程x=10【解析】首先，需要计算出四个入口20分钟内共进入的人数，这可以通过将入口数量、每分钟进入的人数以准时间相乘得到。接着，可以通过减去开门前已排队的人数，再除以时间，来计算出每分钟来的人数。最终，设开6个口x分钟后没人排队，然后依据这个假设建立方程，并求解x的值，从而得出开门后多少分钟就没有人排队的答案。5．解：设一个入场口每分钟进的人数为1份。(9×3-5×5)÷(9-5)=2÷4=0.59×3-0.5×9=27-4.5=22.522.5÷0.5=45(分)8时-45分=7时15分答：第一个观众到时是7时15分。【解析】首先，假设每个入场口每分钟进入的观众为1份。然后，通过比较开不同数量入场口所需时间，可以算出每分钟来排队的观众人数和最开头未开门之前排队的观众人数。最终，通过计算第一个观众到达的时间，可以得出答案。6．解：假设每头牛每天吃1份草。

21×8＝168（份）

18×12＝216（份）

每天新增草量：（216－168）÷（12－8）＝12（份）

原有草量：21×8－12×8＝72（份）

原有草量÷每天牛吃草量＝可供给牛数量：72÷12＝6（头）

答：为防止沙漠化，要让草永久不被吃完，最多可以放养12头牛。【解析】假设每头牛每天吃1份草。21头牛8天吃完，需要21×8＝168份草；18头牛12天吃完，需要18×12＝216份草；两种状况每天新增的草量：（216－168）÷（12－8）＝12份；原有草量为：21×8－12×8＝72份；要让草永久不被吃完，每天不能吃掉比新生长的草多，所以最多可以放养12头牛。7．解：9：00~17：00是8个小时，9：00~14：00是5个小时。(60-50)÷8=1.25(万元/时)50÷5=10(万元/时)提款速度为：(10+1.25)÷(4-1)=11.25÷3=3.75(万元/时)存款速度为：3.75+1.25=5(万元/时)(3.75×10-5÷2)×8+50=(37.5-2.5)×8+50=35×8+50=280+50=330(万元)

答：9：00开头营业时需要预备现金330万元【解析】找出正常状况下每小时的存款和提款量，然后依据这些量在不同的提款倍数和存款倍数状况下，计算出银行开头营业时需要预备的现金量。8．解：40×(2.5-1.5)÷(5×2.5-8×1.5)=80（立方米）

2.5×(80×5-40)=900（立方米）

900÷(80×13-40)=0.9（小时）

答：0.9小时可以把这池水抽完。【解析】设一台抽水机一小时抽一份水，可以求出两次水量，依据水量之差和时间之差，求出每台抽水机每小时抽水量；然后求出蓄水池的容积，这个很好求，利用某一次的水量去掉新增加的水量乘所用时间即可，然后求出13台抽水机需要几小时抽完9．解：井9小时的渗水量为：（120=215=151小时的渗水量为：15=145用甲抽水机单独抽：1÷（120=1÷1=36（小时）；答：用甲抽水机单独抽需36小时抽完．【解析】把原来的水量看作单位“1”，甲抽水机每小时抽水120，乙抽水机每小时抽112；井9小时的渗水量为：（1；1小时的渗水量为：15÷9=145；假如用甲抽水机单独抽，每小时相当于抽水：12010．解：设水池中的水量为1，那么甲、乙、丙的排水速度分别为：13、16、112

则甲、乙、丙三管齐开的排水速度为：13+16+【解析】依据题意分析，首先设水池中的水量为1，分别求出甲、乙、丙的排水速度、排水和注水速度，再计算出三管齐开时的排水速度，用水量除以排水速度即为排完水的时间．11．解：设每个入场口每分钟进的观众人数为1份。

每分钟来的观众人数为：

（4×50-6×30）÷（50-30）

=（200-180）÷20

=20÷20

=1（份）

原来排队的观众人数为：

4×50-50×1=150（份）

假如要使队伍25分钟消逝，需要同时开几个入场口：

（150+25×1）÷25

=175÷25

=7（个）

答：假如要使队伍25分钟消逝，需要同时开7个入场口。【解析】先设每个入场口每分钟进的观众人数为1份，这样可以依据题目的已知条件求出每分钟来的观众人数，再求出原来排队的观众人数。最终即可求出假如要在25分钟消退队伍需要同时开的入场口数。12．解：设每分钟新增加的旅客为x人，检票的速度为每个检票口每分钟检y人，5分钟内检票完毕需同时开放n个检票口，则a+30x=30①a+10x=2×10y②×3-①得2a=30y,y=把④代入①，得x=a把④，⑤代入③得a+a答：至少需同时开放4个检票口。【解析】设旅客增加速度为𝑥人/分，检票的速度为𝑦人/分，至少要同时开放𝑛个检票口，依据题目描述，我们可以得到两个方程：

若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕，得到方程：𝑎+30𝑥=30𝑦

若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕，得到方程：𝑎+10𝑥=2×10𝑦

解方程，求出x和y的值，假如要在5分钟内将排队等候检票的乘客全部检票完毕，则需要满足𝑎+5𝑥≤5𝑛𝑦，将𝑥、𝑦的值代入，得到：

a+a13．解：设每头牛每天吃一份的草，

草的生长速度为：

（16×8-12×9）÷（16-12）

=（128-108）÷4

=20÷4

=5份

原有草的份数为：

12×9-5×12

=108-60

=48份

4头牛前6天一共吃了：4×6=24份

还剩下48+5×6-24=54份

增加牛的头数是：

（54+5×6）÷6-4

=84÷6-4

=14-4

=10（头）

答：增加了10头牛。【解析】设每头牛每天吃一份的草，依据“可供9头牛吃12天，可供8头牛吃16天”，草的生长速度为：（16×8-12×9）÷（16-12）=5份，原有草的份数为：12×9-5×12=48份，4头牛前6天一共吃了：4×6=24份，还剩下48+5×6-24=54份，后六天一共吃的草的份数为：54+5×6=84份，6天吃完全部草需要牛的头数是：84÷6=14（头），所以增加了14-4=10头牛．14．（1）解：设每头牛每天吃x，草每天长y，

624x−y=1821x−y=1

解得x=（2）解：16+112=【解析】设原有草为1，每头牛每天吃x，草每天长y，依据题意，（24头牛每天吃的草-每天长的草）×6天=原有草，（21头牛每天吃的草-每天长的草）×8天=原有草，据此列出方程求解，要使得草永久吃不完，只需每天长草数=牛吃草数即可，用每天长草数÷每头牛吃草数；12天把草吃完，则每天吃草量为1615．解：设每头牛每天吃草1份，依据分析可得，

草每天生长的份数：

（20×10-15×10）÷（20-10）

=50÷10

=5（份）

牧场原有的草的份数：

（10-5）×20

=5×20

=100（份）

3600平方米的牧场每天生长的草的份数：

5×（3600÷1200）=15（份）

3600平方米的牧场原有草的份数：

100×（3600÷1200）=300（份）

75头牛吃草的天数：

300÷（75-15）

=300÷60

=5（天）

答：3600平方米的牧场可供75头牛吃5天。【解析】设每头牛每天吃草1份，依据“10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天”可以求出草每天生长的份数：（20×10-15×10）÷（20-10）=5（份）；再依据“10头牛吃20天”，可以求出牧场原有的草的份数：（10-5）×20=100（份），由于另一块牧场的面积是第一块牧场的3倍，草也是一样每天匀速生长，所以，另一块牧场每天生长的草的份数是：5×3=15（份），原有草的份数是：100×3=300（份），75头牛每天吃草的份数是：75份，将这75头牛分成两组，一组的15头牛吃每天生长的草，另一组的60头牛吃原有的草，可以求出：300÷60=5（天）；据此解答。16．解：（20×5﹣15×6+20）×5，=30×5，=150（分米）=15（米）．答：井深15米．【解析】一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，白天爬；20×5=100（分米）；另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底，白天爬：15×6=90（分米）．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的．说明，每夜下滑：100﹣90=10（分米）．那么井深就是：（10+20）×5=150（分米）=15（米），或：（15+10）×6=150（分米）=15（米）．17．解：(9x3-5x5)÷(9-5)

=(27-25)÷4

=2：4

全

3x9-12x9=27-412=2212

2212÷12【解析】这是“牛吃草”问题，关键利用前两次开口不同过人的差除以时间得到来人的速度，然后利用速度解决问题.18．解：28个工人3小时工作量：28×3=84（份），

12个工人5小时工作量：12×5=60（份），

1台皮带输送机5小时比3小时多做的工作量：84-60=24（份），

1台皮带输送机1小时工作量：24÷（5-3）=12（份），

仓库面粉总量：28×3+12×3=120（份），

2台皮带输送机2小时工作量：12×2×2=48（份），

剩余面粉：120-48=72（份），

72÷2=36（个）

答：至少还需要36个工人.【解析】由于面粉总量相同，且机器效率相同，所以28个工人3小时工作量减去12个工人5小时工作量即为1台皮带输送机5小时比3小时多做的工作量，求出1台皮带输送机1小时工作量，再求出仓库面粉总量，减去2台皮带输送机2小时工作量，再除以2小时即为至少需要的工人。19．解：由于，1头牛与3.5只羊吃的一样多，

所以这堆草可以供4头牛和15只羊吃7天，

就是说它可以供几只羊吃7天：

3.5×4+15

=14+15

=29（只），

而6头牛和7只羊相当于羊的只数：

3.5×6+7

=21+7

=28（只），

那么这堆草可供它们吃：

29×7÷28

=203÷28

=7.25（天），

答：这堆草供应6头牛和7只羊吃，可以吃7.25天。【解析】依据这堆草可以供4头牛和15只羊吃7天，说明可以供2头牛和7.5只羊吃14天，就是说“2头牛和7.5只羊“与“3头牛和4只羊“吃的一样多，说明1头牛与3.5只羊吃的一样多，这堆草可以供4头牛和15只羊吃7天，就是说它可以供（3.5×4+15）只羊吃7天，而6头牛和7只羊相当于（3.5×6+7）只羊，那么这堆草可供它们吃的天数即可求出。20．解：由于5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5=24，

所以120公顷草地可供11×24=264（头）牛吃10天，

由于6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6=20，

所以120公顷草地可供12×20=240（头）牛吃14天．

又由于120÷8=15，

问题变为：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？

由于草地面积相同，可忽视具体公顷数，所以原题可变为：

“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？”

设1头牛1天吃的草为1份，每天新长出的草有：

（240×14-264×10）÷（14-10）=180（份），

草地原有草（264-180）×10=840（份），可供285头牛吃；

由于1头牛1天吃的草为1份，

所以840÷（285-180）=8（天）

答：第三块草地可供19头牛吃8天。【解析】依据题意先将三块草地的面积统一起来，变为典型的牛吃草的基本类型的题目，只要求出每天新长出的草以及草地原有草，就可以求出答案．21．解：原有人数：

30×6-15×6

=180-90

=90（人）

90（30×2-15）

=90-45

=2（分钟）

答：假犹如时开放2个检票口，那么检票开头后2分钟就没有人排队。【解析】在开头检票前排队等候的人数为：30×6-15×6=90（人），2个检票口每分钟能让30×2=60（人）入内，由于检票开头后每分钟有15人前来排队检票，所以就相当于2个检票口每分钟能让60-15人入内，那么没有人排队的时间为：90+（60-15）=2（分钟）。22．解：先把条件里的亩看为一：20÷3=203（头），30÷6=5（头）；

设每头牛每天吃“1”份草；

每亩每天的长草量：（5×20-203×10）÷（20-10）

=1003÷10

=103（份）；

每亩的原有草量为：203×10-103×10

=2003-1003

=1003（份）；

15亩的原有草量：15×1003=500（份）；

15亩每日长草量为：15×【解析】先把条件里的亩看为一：20÷3=203头，30÷6=5头；设每头牛每天吃“1”份草，每亩每天的长草量（5×20-203×10）÷（20-10）=103份；每亩的原有草量为203×10-103×10=10023．解：设1个检票口1分钟检票的人数为1份。

每分钟新来旅客：

（3×40－4×25）÷（40－25）

＝（120－100）÷15

＝20÷15

＝43（份）

40分钟前原有旅客：

3×40－43×40

＝120－1603

＝2003（份）

开设8个检票口，需要的时间是：

2003÷（8－43）

＝200【解析】设1个检票口1分钟检票的人数为1份。由于3个检票口40分钟通过（3×40）份，4个检票口25分钟通过了（4×25）份，说明在（40－25）分钟内新来旅客（3×40－4×25）份，所以每分钟新来旅客是：（3×40－4×25）÷（40－25）＝43（份）。40分钟前原有旅客是：3×40－43×40＝2003（份）。同时开放8个检票口，那么队伍消逝的时间是：2003÷（8－4324．解：设一头牛一天吃一份草。(17×30-19×24)÷(30-24)

=(510-456)÷6

=54÷6

=9(份)

17-9=8(份)8×30=240(份)240+(6+2)×9+4×2

=240+72+8

=320(份)320÷(6+2)=40(头)答：这群牛原有40头。【解析】设一头牛一天吃一份草，则草每天长(17×30-19×24)÷(30-24)=9(份)；17头牛吃草时，草地上的草每天削减17-9=8(份)，30天吃完，则草地上原有草8×30=240(份)；假如不卖4头牛，这些牛8天一共可以吃240+(6+2)×9+4×2=320(份)，再用这些牛吃的总份数除以吃的天数接即可求出原有的牛的头数。25．解：4个入场口20分钟进入的人数是：10×4×20=800（人），800-400=400（人），400÷20=20（人），设开6个入场x分钟后没有人排队，由题意列方程得10×6×x=400+20x解得x=10答：开放6个入场口10分钟后就没有人排队。【解析】依据“开放4个入场口，20分钟就没有人排队”，可以求出4个入场口20分钟进入的人数，用4个入场口20分钟进入的人数-400人=20分钟来的人数，用20分钟来的人数除以20即可求出每分钟来的人数；然后设开6个入场x分钟后没有人排队，依据总入场人数=排队人数+x分钟来的人数列方程求解即可。26．解：设一头牛一天吃的草量为1份，

25×2=50（份），这50份中包括原有的草和2天生长的草，

15×5=75（份），这75份中包括原有的草和7天生长的草，

5公顷草地上草的生长速度为每天(75-50)÷(7-2)=5（份），

5公顷草地上原有草总量为50-5×2=40（份），

于是第三片牧场上草的生长速度为每天5÷5×7=7（份），

原有草总量为40÷5×7=56（份），

那么要7天把第三片草地吃完，共需要吃

56+7×7=105（份），

因此其次群牛共有105÷7=15（头）；

答：因此其次群牛共有15头。【解析】设一头牛一天吃的草量为1份，依题意，第一片牧场3公顷草地可供15头牛吃2天，因此1公顷的草地可供5头牛吃2天，那么5公顷的草地可供25头牛吃2天，共吃了25×2=50份，这50份中包括原有的草和2天生长的草，另一方面，由题目条件，其次片牧场5公顷草地生长2天后可供15头牛吃5天，共吃了15×5=75份，这75份中包括原有的草和7天生长的草，因此，5公顷草地上草的生长速度为每天(75-50)÷(7-2)=5份，据此求出5公顷草地上原有草总量和第三片牧场上草的生长速度，即可得到原有草总量为多少，那么要7天把第三片草地吃完，用除法即可。27．解：20÷(3-1)

=20÷2

=10(天)

答：小明家的鸡蛋能连续吃10天。【解析】小明家每天吃3个鸡蛋，每天下的1个鸡蛋不够，需要从原来的20个鸡蛋里头补2个，所以小明家鸡蛋能吃的天数就=小明家里有鸡蛋的个数÷（3-1）。28．解：设需要x台抽水机，每分涌出的水量为a，每台抽水机每分抽水为b，未抽水以前有水c。c+40a=40×2b,c+16a=16×4b

解得：∴1603答：至少需要6台抽水机。【解析】等量关系为：原有水量＋后来增加的水量＝若干抽水机在肯定时间抽的水量；不等关系式为：原有水量＋后来10分增加的水量≤10分抽水机抽的水量．29．解：设每只羊每天的吃草量为1份，则15头牛（相当于60只羊）30天的吃草量为60×30=1800（份），

80×15=1200（份）．

(1800−1200)÷(30−15)=40（份），

1800−40×30=600（份）．

110×4+30=70（份）

70-40=30（份），

600÷30=20（天）．

答：可以吃20天.【解析】依据已知条件将每只羊每天的吃草量设为1份，那么15头牛（相当于60只羊）30天的吃草量为60×30=1800（份），80只羊15天的吃草量为80×15=1200（份），所以牧场每天新生草量为(1800−1200)÷(30−15)=40（份），牧场原有草量为1800−40×30=600（份）.10头牛和30只羊每天共吃掉10×4+30=70（份）草，每天新长出40份，实际消耗原有草量70-40=30（份），因此可以吃的天数为600÷30=20（天）30．解：设每头牛每天的吃草量为1份，则每亩30天的总草量为：10×30÷5=60（份）；

每亩45天的总草量为：28×45÷15=84（份）；

那么每亩每天的新生长草量为（84-60)÷(45-30)=1.6（份）；

每亩原有草量为：60-1.6×30=12（份）；

那么20亩原有草量为：12×20=240（份）；

20亩80天新长草量为20×1.6×80=2560（份）；

20亩80天共有草量240+2560=2800（份）；

所以有2800÷80=35（头）.

答：第三块地可供35头牛吃80天．【解析】这是一道比较简单的牛吃草问题．把每头牛每天吃的草看作1份，由于第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30=300份，所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5=60份；由于其次块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45=1260份，所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15=84份，所以45-30=15天，每亩面积长84-60=24份；则每亩面积每天长24÷15=1.6份．所以

每亩原有草量60-30×1.6=12份，第三块地面积是20亩，所以每天要长1.6×20=32份，原有草就有20×12=240份，新生长的每天就要用32头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此240÷80=3头牛所以，一共需要32+3=35头牛来吃，31．解：设1部大抽水机1小时的抽水量为“1”，

则1小时泉水涌出量为：（8×10-36÷3×6）÷（10-6）=2。原有泉水量为：8×10-2×10=608部大抽水机和18部小抽水机要抽：（相当于6部大抽水机）60÷（8+18÷3-2）=60÷12=5（小时）

答：用8部大抽水机和18部小抽水机5小时能把全池水抽干【解析】设每部抽水机每小时能抽水1份，假如1部大抽水机的抽水量等于3部小抽水机的抽水量，所以36部小抽水机相当于36÷3=12部大抽水机，每小时涌出的泉水量为：（8×10-36÷3×6）÷（10-6）=2；泉中原有的水量为：8×10-2×10=60，18部小抽水机相当于18÷3=6部大抽水机，所以8部大抽水机和18部小抽水机相当于6+8=14部大抽水机，14部大抽水机拿出2部抽每小时涌出的2份的泉水，剩下的12台抽井中原有的水量，所需时间：60÷（8+18÷3-2）=60÷12=5（小时）32．解：设每道门每分钟来参观的人数为一份；

每道门每分钟增加的人数为：

（30×4-20×5）÷（30-20）

=20÷10

=2（份）

每道门原有参观的人数：

30×4-2×30

=120-60

=60（份）

现在需要同时打开的门数：

（60+2×6）÷6

=72÷6

=12（道）

答：假如要在6分钟不再有排队的现象，则需要同时打开12道门．【解析】设每道门每分钟来参观的人数为一份；先依据“打开4道门让人们进馆参观，30分钟就不再有排队的现象．打开5道门时，20分钟就不再有排队的现象．”利用：份数差÷时间差求出每道门每分钟增加的人数；然后再求出每道门原有参观的人数，列式为30×4-2×30=60（份）；进而依据（每道门原有参观的人数+6分钟增加的人数）÷时间，可以求消灭在需要同时打开的门数：（60+2×6）÷6，解答即可．33．解：假设1头牛吃草量为1份．每周长出新草：（23×9﹣27×6）÷（9﹣6），=（207﹣162）÷3，=15（份），原有草：27×6﹣15×6，=162﹣90，=72（份），假设有15头牛专吃新长出的草．原有的草被吃完周数为：72÷（21﹣15），=72÷6，=12（周）；答：可供21头牛吃12周．【解析】假设每头牛每周吃1份草，27头牛6周吃27×6=162份，23头牛9周吃23×9=207份，多吃了207﹣162=45份，恰好是9﹣6=3周长的；每周就长45÷3=15份，原来牧场有27×6﹣15×6=72份，假设15头专吃新长出的草，那只要求出原先的草被剩下的牛几周吃完就可以了．34．解：设1头牛1天吃1份草

（203×18-10×10）×（18-10）

=20÷8

=2.5（份/天）

10×10-10×2.5

=100-25

=75（份）

75×3=225（份）

225+75=300（份）

2.5×3=7.5（份/每天）

7.5+2.5=10（份/天）

300÷（16-10）

=300÷6

=50（天）

【解析】王东家草地面积是王松家草地面积的3倍，可以看成是3块王松家草地，王东家草地可供20头牛吃18天，也就是20335．解：设每个窗口每分钟来参观的人数为一份

每个窗口每分钟增加的人数为：

（30×4-20×5）÷（30-20）

=（120-100）÷10

=20÷10

=2（份）

每个窗口原有参观的人数：

30×4-2×30

=120-60

=60（份）

现在需要同时打开的窗口数：

（60+2×6）÷6

=72÷6

=12（个）

答：应当开设12个售票窗口。【解析】设每个窗口每分钟来参观的人数为一份；先依据“打开4个窗口让人们进馆参观，30分钟就不再有排队的现象，打开5个窗口时，20分钟就不再有排队的现象，”利用：份数差÷时间差求出每个窗口每分钟增加的人数；然后再求出每个窗口原有参观的人数，列式为30×4-2×30=60（份）；进而依据（每个窗口原有参观的人数+6分钟增加的人数）÷时间，可以求消灭在需要同时打开的窗口数：（60+2×6）÷6，解答即可。36．解：先设每头牛每天吃1份的草

青草生长的速度：(12×18－21×8)÷(12－8)＝12(份)．要让草永久不被吃完，让牛吃的草的份数和草生长的速度全都即可

所以12÷1=12（头）

答：要让草永久不被吃完最多可以放养12头牛。【解析】牛吃草的难点在于吃的草总量随着吃的天数的增加而增加．但是，不论总草量如何增加，总草量都是由牧场上原有的草量和每天新生长出来的草量相加得来的．

要让草永久不被吃完，让牛吃的草的份数和草生长的速度全都即可。37．（1）解：设每头牛每天可吃草1份，

草每天生长：

(21×8-24×6)÷(8-6)

=(168-144)-2

=24÷2

=12

牧场原来有草：

24×6-12×6

=144-72

=72

(72+12×12)÷12

=(72+144)÷12

=216÷12

=18(头)

答：最多放养18头牛。（2）解：12÷1=12（头）

答：放养12头牛，12天才能把草吃完。【解析】.设每头牛每天吃1份草，24头牛6天吃144份，21头牛8天吃168份：相差了168-144=24份，是由于多长了8-6-2天的草，所以草每天的生长量是24÷2=12份6天后是144份：6天长了72份新草，所以原草量是144-72=72份.72份草要12天吃完，需要6头牛，其中还需要12头牛吃每天的新草，一共需要6+12=18头牛；

（2）要使得草永久吃不完，放养的牛数又要最多，就-定是长多少吃多少，所以需要放养12头牛38．解：10×8=80（人）

25×8=200（人）（200-80）÷（25×2-10）=120÷40=3（分钟）

答：检票开头后3分钟就没有人开头排队。【解析】由题意可知，8分钟一共会增加10×8=80(人)排队，而8分钟一共削减了25×8=200(人)，也就是一开头有200-80=120(人)在排队；假如有两个检票口，那么每分钟就有25×2=50(人)检票进站，用每分钟检票人数减去每分钟前来排队的人数求出每分钟实际削减的人数，再用一开头排队的人数除以每分钟实际削减的人数即可解答。39．解：设立方体的边长为1，设单开进水管注满水箱的13所需进水时间为x分钟，同时开一个进水管与一个出水孔注满水箱的13所需的进水时间为y分钟，依据题意得：

2x=20y−x+y=22

解得x=10y=18

故：同时开一个进水管与一个出水孔注满水箱的13【解析】设立方体的边长为1，设单开进水管注满水箱的13所需进水时间为x分钟，同时开一个进水管与一个出水孔注满水箱的140．解：四个入口20分钟共进入的人数：

四个入口每分钟可以进入的游客数为10×4=40人。

所以，四个入口20分钟共进入的人数为40×20=800人。

每分钟来的人数：

由于开门前已经有400人排队等待，而在20分钟内，总共有800人进入游乐场。

所以，这20分钟内新来的人数为800-400=400人。

因此，每分钟来的人数为400÷20=20人。

设开放6个入口x分钟后没有人排队，则有

10×6x=400+20x，

即60x=400+20x，

解得x=10分钟。

答：开门10分钟后就没有人排队。【解析】首先，依据题目中给出的信息，需要计算出在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟可以进入10个游客，假如开放4个入口，20分钟就没有人排队的状况下，四个入口20分钟共进入的人数。然后，依据这个数据计算出每分钟来的人数。接着，设立一个方程，求解在开放6个入口的状况下，多少分钟后就没有人排队。最终，依据求解出的结果进行作答。41．解：设开门后每分钟来的人数是x人540+60x解得：x=3（人）每个入口每分钟进：540+20×3(540+3×5)÷6÷5=18.5（个）答：至少需要开放19个入场口。【解析】此题里有两个不变的量：一是开门前排队人数是固定数，即400人；二是开门后每分钟来的人数是固定的。设开门后每分钟来的人数是x人，按开2个入场口和5个入场口的已知条件，可分别求出开门后每分钟来的人数。依据这个等量关系即可列出方程，即可进一步求得每个入口每分钟进的人数，再用总人数÷1个入口5分钟进的人数即可得到入场口开放数量，假如不是整数，就近取大即可。42．解：假设1亿人1年消耗1份资源。90亿人300年的资源消耗为90亿×300年＝27000亿份；100亿人100年的资源消耗为100亿×100年＝10000亿份；每年新生资源的数量为：（27000－10000）÷（300－100）＝17000÷200＝85（亿份）所以，地球人口最多为：85÷1＝85（亿）答：地球人口最多为85亿。【解析】我们可以假设1亿人1年消耗1份资源。那么，90亿人300年的资源消耗为90亿×300年＝27000亿份；100亿人100年的资源消耗为100亿×100年＝10000亿份。使人类在地球上能够维持不断地生活和进展下去，我们只能享用每年新生资源的数量。43．解：设每个入口每分钟检票人数为1份

每分钟来的人数：(3×9-5×5)