【暑假专项培优】专题18 方阵问题-小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义

小升初奥数思维之典型应用题精讲精练讲义（通用版）专题18方阵问题【第一部分：学问归纳】一、基本概念1、方阵问题争辩正方形排列的物体（犹如学、棋子等）的数量关系，主要分为实心方阵和空心方阵两类。2、核心要素：每边数量：方阵每条边上的物体数（n）层数：从外到内的层数相邻两层关系：每向内一层，每边数量削减2二、基本公式1.实心方阵项目公式总数量N=n²最外层数量4(n-1)相邻两层数量差8（外层比内层多8个）2.空心方阵项目公式总数量N=n²-(n-2k)²（k为层数）最外层数量4(n-1)层数计算k=(n+1)/2三、五大经典题型题型1：基础实心方阵例题：一个实心方阵，最外层每边20人，共有多少人？解答：总人数=20²=400人题型2：空心方阵总数例题：一个三层空心方阵，最外层每边10人，共有多少人？解答：总人数=10²-(10-2×3)²=100-16=84人或：外层36人+中层28人+内层20人=84人（每层递减8人）题型3：方阵层数问题例题：用棋子排成空心方阵，最外层44个棋子，最内层28个棋子，共有几层？解答：相邻层差8个棋子层数=[(44-28)÷8]+1=3层题型4：方阵变换问题例题：同学排成方阵多12人，若增加一行一列少9人，有多少同学？解答：设原方阵每边n人总人数=n²+12=(n+1)²-9解得：n=10∴同学数=10²+12=112人题型5：复合方阵问题例题：用黑白棋子排成三层空心方阵，最外层每边10颗白子，向内依次为黑白相间排列。共有多少黑子？解答：外层(白)：4×(10-1)=36颗中层(黑)：4×(8-1)=28颗内层(白)：4×(6-1)=20颗黑子总数=28颗四、解题技巧1.画图帮助绘制方阵示意图，标出每边数量2.公式选择依据题目要求选择合适的公式3.层数分析空心方阵留意层间数量递减规律4.验证计算通过不同方法验证结果全都性五、易错点警示1、混淆每边数与总数：遗忘平方计算2、层数计算错误：空心方阵层数公式记错3、端点重复计算：计算外层数量时遗忘减14、方向推断错误：增加/削减行列时计算错误【其次部分：力量提升】1．设计一个团体操表演队形，想排成6层的中空方阵，已知参与表演的有360人，求最外层每边应支配多少人？2．涧小进行艺体节队列表演，共4个方队，每个方队排成8行，每行8人，最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿绿色运动服．一共要预备两种颜色的运动服各多少套？（提示：画一个方队点子图挂念理解）3．同学们站成方阵做体操，小明站在排尾，他的前面有4人，左边有1人，右边有3人，这个方阵共有多少人？4．同学们在操场上做玩耍，大家围成了一个正方形，每条边上都站了11个同学（四个角各站一个同学）。一共有多少个同学在做玩耍？5．国庆节到了，园丁叔叔把一盆盆的菊花摆成了3个“7×7”的方阵来布置人民广场。最外圈用红色的菊花，其余用黄色的菊花。一共要预备两种颜色的菊花各多少盆？（先画图表示1个菊花方阵的队列，再解答）6．同学们排成队列做早操，小丽站在左起第8列，右起第12列，从前面数是第9个，从后面数是第15个，已知每列人数相等，每行的人数也相等。做早操的同学一共有多少人？7．为庆祝元旦，学校进行团体操表演。五班级同学排成一个实心方阵，最外层每边站了20名同学，最外层一共有多少名同学？整个方阵一共有多少名同学？8．在英才学校运动会上的团体操表演中，高班级的参演同学排成了一个方阵，方阵最外面一层共有28名同学，整个方阵一共有多少名同学？9．做广播体操时，某班级的同学站成一个实心方阵时（正方形队列）还多10人，假如站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人，求原来有多少人？10．同学们在正方形池塘的四周栽上树苗，每边栽9棵(四个角上都栽)。预备32棵树苗够吗？11．同学们在操场上排成一个阵列做操，乐乐和童童都在方阵里。这个阵列一共有多少人？12．学校教学楼前摆放了一个方阵花坛。这个花坛的最外层每边各摆放10盆花，最外层共摆放了多少盆花？这个方阵一共摆放了多少盆花？13．在下面的方格中，每行、每列都有1~4这四个数，并且每个数在每行、每列都只消灭一次。B、C各是几?14．校三班级同学排成一个方阵，最外一层的人数为36人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三班级同学多少人？15．共有960名男生站成一个三层的空心方阵，问：中间一层每边有多少人？16．我们学校在庆六一活动中，开展了大型的文艺汇演，为了把会场装扮得更加美观，预备在正方形会场的四周插上56面彩旗，每边彩旗相等．四个顶点都有彩旗，请你计算一下每边各需要有多少彩旗？17．有一队士兵，排成了一个实心方阵，最外层一周共有240人，这个方阵最外层每边有多少人？18．同学们表演团体操表演，排成一个方阵，每行20人，一共排了20行，最外层有多少人，整个方阵一共多少人？19．明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了40个棋子，求最外层每边有多少棋子？假如他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子？20．一群人排成n×n的方阵，最外3层共有120人，求n的数值．21．一个正方形鱼塘，在它的四周插上红旗(四个角都插)，每边插8面。现在有30面红旗，够用吗？(可以画一画，再计算)22．洛阳牡丹花会期间，洛阳火车站广场摆放了一个花坛方阵。这个花坛的最外层每边各摆放16盆花，最外层一共有多少盆花？整个花坛方阵一共有多少盆花？23．学校楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？24．下围棋可以开发智力、陶冶性情、培育礼仪。假如围棋棋盘(正方形)的最外层每条边上有19颗棋子(算上顶端的棋子)，那么最外层一共有多少颗棋子呢?请先在下图中圈一圈，并列出相应的算式解答。(留意：圈的图要和你的算式相对应)25．2008年北京奥运会“击缶而歌”迎宾方阵队，每边都是100人，最外一层一共有多少人？整个方阵队一共有多少人？26．全校同学排成5个方阵做操，每个方阵有8行，每行有10人，5个方阵一共有多少人？27．公园菊花展期间，工作人员将菊花摆成了一个实心方阵，最外层放了124盆菊花，最外层每边放多少盆菊花？这个实心方阵一共有多少盆菊花？28．(空间观念)学校运动会开幕式上，小龙班上的同学组成了一个方阵。在方阵中，小龙的东、西、南、北四个方向各有3人。你知道这个方阵一共有多少人吗？29．同学们排成一个方阵表演团体操，最外一层人数是44人，整个方阵有多少人？30．在学校会操表演上，四班级同学共组成了4个方阵，每个方阵的同学排成了6行，每行6人。每个方阵最外面的同学戴红色的太阳帽，其余的同学戴黄色的太阳帽。需要预备红色和黄色的太阳帽各多少顶？31．教室里有很多桌子，都整齐地排列着，每列桌子数相等，每排的桌子数相等，小秋的桌从前面数第3张，从后面数第4张，他的左边有3张，右边有1张，小秋的教室一共有多少张？32．48名同学在操场上做玩耍，大家围成一个正方形，每边人数相等。四个顶点处都有一名同学，每边各有多少名同学？33．公园在水池四周用鲜花围成了一个每边四层的方阵，最外面一层每边有14盆鲜花。一共摆了多少盆鲜花？34．战成方队军训最外边站了12人，最外层一共有多少人？参与军训的一共有多少同学？35．如下图，4个同样的杯子叠起来高20厘米，6个这样的杯子叠起来高26厘米，10个杯子叠起来高多少厘米?36．同学们排成方阵进行团体操竞赛，最外层每边站10名同学，最外层一共有多少名同学？整个方阵一共有多少名同学？37．如下图，这是一些棋子摆成的等边三角形点阵，和“空心方阵”类似，也可以叫“空心三角阵”。假如有一个5层的空心三角阵，最外层每边有20枚棋子，那么这个等边三角形点阵一共有多少枚棋子？38．同学们用小红花排成了一个四层空心方阵，最外层每边12朵，共有红花多少朵？39．要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有5盆花，最少需要几盆花？40．2009年10月1日，为庆祝新中国60华诞，天安门广场进行了盛大的阅兵仪式，共有56个方队通过天安门广场接受祖国和人民的检阅．其中徒步方队12个，每个方队有14行，每行25人．徒步方队一共有多少人？41．有49人参与开幕式表演，进场时，7人一行排成队列。这个队列四周站了多少人？42．同学们排成方队做早操，丽丽站在左起第5列，右起第11列，从前数第14排，从后数第8排，做早操的同学一共有多少名?43．同学们进行衰弱操队列表演，共有4个方阵，每个方阵最终一行最终一列的那位同学用数对表示是（6，6）。方阵最外面的同学穿红色运动服，其余都穿绿色运动服。共要预备红色、绿色运动服各多少套？44．在右面的方格中，每行、每列都有1~4这四个数，并且每个数在每行、每列都只消灭一次。A、B应当是几?45．有一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵的表演队形。已知参与表演的有360人，最外层每边应支配多少人?46．据中国载人航天工程办消息，北京时间2026年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星放射中心点火放射。某科技试验学校的同学们排成一个方阵观看直播，最外层每边有15名同学，最外层一共有同学多少名？整个方阵一共有多少名同学观看？47．求下图中“最外圈有多少个小正方形”时，我们可以用72-52=24来计算。请你用学过的学问解释一下，为什么可以这样算？48．在右面的方格中，每行、每列都有1~4这四个数，并且每个数在每行、每列都只消灭一次。B、C应当是几?49．为庆祝建国70周年，我校组织一个表演方阵进行文艺演出，该表演方阵共有8行，小王同学排在其中一行里。从左边数他排在第18位，从右边数他排在第13位，问这个表演方阵一共有多少人？50．把2、3、6、7、8、9、11和15这八个数填在下面的方框里，使它们正好组成四个算式。

参考答案及试题解析1．解：设最外层的每边人数是x人，则：（x﹣6）×6×4=360，24x﹣144=360，24x=504，x=21，答：最外层每边人数是21人．【解析】由于中空方阵中，总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，假如设最外层每边人数是x人，由此依据参与表演的总人数是360，层数是6，由此即可列出方程，求出x的值，即可得最外层每边人数．2．解：如下图：8×4﹣4=32﹣4=28（人）28×4=112（套）8×8﹣28=64﹣28=36（人）36×4=144（套）答：一共要预备红色运动服112套，绿色运动服144套．【解析】每个方阵的最外层一共有4个边，每边有8人，一共是8×4=32人，由于顶点的人数都被重复计算了一次，所以需要减去4个顶点的人数一次，最外层有32﹣4=28人，也就是每个方阵穿红色运动服的人数，再乘上4，就是红色运动服需要预备的套数；每个方阵一共有8×8=64人，再减去最外层的28人，就是需要穿绿色运动服的人数，然后乘上4即可求解．3．解：每排人数：1+4=5（人）

排数：1+3+1=5（排）

5×5=25（人）

答：这个方阵共有25人。【解析】小明站在排尾，他的前面有4人，说明每排人数为（5+1）；左边有1人，右边有3人，说明排数为（1+3+1）；排数×每排的人数=总人数。4．解：11×4-4

=44-4

=40（个）

答：一共有40个同学在做玩耍。【解析】方阵最外层每边人数×4-4人=最外层的总人数。5．解：

红色：7×4-4

=28-4

=24（盆）

24×3=72（盆）

黄色：5×5×3

=25×3

=75（盆）

答：一共要预备红色菊花72盆，黄色菊花75盆。【解析】红色菊花的盆数=（平均每行的盆数×4-4）×方阵数；黄色菊花的盆数=平均每行的盆数×行数×方阵数。6．解：(12+8-1)×(15+9-1)=437(人)

答：做早操的同学一共437人。【解析】本题是方阵问题中的求实心方阵总人数问题，公式为“列数×行数”，依据题意得，行数=12+8-1=19行，列数为15＋9-1=23列，19×23算出结果相乘即可求出总人数437人。7．解：(20-1)×4=76(名)

20×20=400(名)

答：最外层一共有76名同学，整个方阵一共有400名同学【解析】最外层的同学数为(20-1)×4=76(名)，由于是实心方阵，所以总人数为20×20=400(名)。8．解：28÷4+1=7+1=8（名）

8×8=64（名）

答：整个方阵一共有64名同学。【解析】方阵最外面一层的同学数÷4+1=每层的同学数，每层的同学数×层数=整个方阵同学数。9．解：扩大的方阵每边上有：（10+15+1）÷2，=26÷2，=13（人）；原来人数：13×13﹣15，=169﹣15，=154（人）；答：原来有154人．【解析】当扩大方阵时，需补充10+15=25（人），这25人应站在扩充的方阵的两邻边处，形成一层人构成的直角拐角．补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）÷2=13（人）．因此，扩大的方阵共有13×13=169（人），去掉15人，就是原来人数．10．解：9×4-4=32(棵)

32=32

答：预备32棵树苗够。【解析】需要树苗的总棵数=平均每边栽树苗的棵数×边数-四个角的4棵，然后比较大小。11．解：4+7-1=10（人）18+5+1=24（行）10×24=240（人）答：这个阵列一共有240人。【解析】依据已知“从左往右数，我排在第4个，从右往左数，我排在第7个”可知乐乐左边加乐乐一共有4人，右边加乐乐一共有7人，因此，乐乐被重复计算了两次，则一行就有：4+7-1=10人；

依据已知“我前面有5人，后面有18人”可知阵列一共有5+18+1=24行；因此，每一行的人数×行数=阵列总人数。12．解：10×4-4＝36(盆)10×10＝100(盆)

答：最外层共摆放了36盆花，这个方阵一共摆放了100盆花。【解析】最外层四个角上的花是重复计数的，因此用每边摆放花的盆数乘4，再减去4即可求出最外层的总盆数；方阵共10行，每行10盆花，用每行的盆数乘行数即可求出总盆数。13．解：B是3，C是1。【解析】A所在的行中有1和3，那么A只能是2和4其中的一个，而A所在的列中已经有4，那么A只能是2，由此得出B是3；C所在的行中有2和4，那么C只能是1和3其中的一个，而C所在的列中已经有3，那么C只能是1。14．解：依据题意，可得

（36+4）÷4

=40÷4

=10（人）

10×10=100（人）

答：方阵外层每边有10人，这个方阵共有100名三班级同学。【解析】最外一层人数：36人，方阵外层每边人数：(36+4)÷4=10（人），方阵总人数：10×10=100（人）15．解：最外层每边人数是：960÷4÷3+3，=80+3，=83（人），83﹣2=81（人），答：中间一层每边人数是81人．【解析】依据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出最外层每边人数=空心方阵总人数÷4÷空心方阵的层数+空心方阵的层数，据此求出最外层每边人数，则再减去2人，就是中间一层的每边人数，据此解答即可．16．解：56÷4+1=14+1=15（面）答：每边各需要有15面彩旗．【解析】此题可以看做是空心方阵问题；最外围每边点数=四周点数之和÷4+1，由此代入数据即可解答．17．解：240÷4=60（人），60+1=61（人）．答：这个方阵最外层每边有61人．【解析】方阵问题中，最外层四周点数=（每边点数﹣1）×4，则最外层每边点数=最外层四周点数÷4﹣1，由此代入数据即可解答．18．解：20×4﹣4=80﹣4=76（人）20×20=400（人）答：最外层有76人，整个方阵一共400人．【解析】排成一个方阵，每行20人，一共排了20行，即最外层每边20人，依据“最外层人数=每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数=每边人数×每边人数”，代入数据即可解答．19．解：依据题意，可得

40÷4+1=11（个）

11-2=9（个）

9×9=81（个）

答：最外层每边有11个棋子，把整个棋盘摆满，还需要81个棋子【解析】依据“每边的个数＝总数÷4+1”求出每边的棋子数：40÷4+1=11（个），依据＂每向里一层每边棋子数削减2＂，求出最外面数其次层中每边各有：11-2=9（个）棋子，利用求实心方阵总个数的方法就可以求出还需：9×9=81（个）棋子．20．解：120÷4÷3+3=10+3=13（人）这个方阵的最外层每边13人，也就是n=13．答：n的数值是13．【解析】由题意知，可以先看成一个三层空心方阵，已知共有同学120人，要求最外层每边有多少名同学，据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出：最外层每边人数=总人数÷4÷层数+层数，据此解答即可．21．解：

8×4-4=28（面）

28＜30

答：够用。【解析】共需要插红旗的面数=平均每边插的面数×4-4个角各插的1面=28面，然后再比较大小。22．解：（16-1）×4=60(盆)16×16=256(盆)

答：最外层一共有60盆花花坛方阵一共有256盆花。【解析】本题为方阵问题，所以最外层一共摆了的盆数=（一边的盆数-1）×4，即（16-1）×4=60盆。一共摆放了盆数=每行行数×每列数，即16×16=256盆。23．解：8×4﹣4，=32﹣4，=28（盆），答：最外层一共摆了28盆【解析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆8盆，可以看做每边点数为8的方阵问题，依据最外层四周的总点数=每边点数×4﹣4，即可解决问题．24．解：

（19-1）×4

=18×4

=72(颗)答：最外层一共有72颗棋子。【解析】最外层一共有棋子的颗数=（最外层每条边上有棋子的颗数-1颗）×4。25．解：100×4﹣4=396（人），100×100=10000（人），答：最外层一共有396人，这个方阵队一共有10000人．【解析】最外层人数=每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数=每边人数×每边人数；代入数据即可解答．26．解：10×8×5=400（人）；答：5个方阵一共有400人．【解析】由题意知，先求得一个方阵的人数，依据一行的人数×行数=方队人数，再乘5即得5个方阵一共有多少人．27．解：124÷4+1

=31+1

=32（盆）

32×32=1024（盆）

答：最外层每边放32盆菊花，这个实心方阵一共有1024盆菊花。【解析】最外层放的菊花盆数÷4+1=每边放的盆数，每边放的盆数×每边放的盆数=这个实心方阵一共放的盆数。28．解：3+3+1=7(人)

7×7=49(人)

答：这个方阵一共有49人。【解析】小龙的东面3人，西面3人，说明东西排列每行7人，那么南北排列每列也是7人，所以这是一个7行7列的方阵。29．解：44÷4+1=12（人）12×12=144（人）

答：整个方阵有144人。【解析】依据“每边点数=一周的总点数÷4+1”先求出每边人数，实心方阵人数=每边人数×每边人数。30．解：

红色：6×4-4

=24-4

=20（顶）

20×4=80（顶）

黄色：4×4×4

=16×4

=64（顶）答：需要预备红色的太阳帽80顶，黄色的太阳帽64顶。【解析】需要预备红色的太阳帽的顶数=（平均每行的顶数×4-4）×方阵数；需要预备黄色的太阳帽的顶数=平均每行的顶数×行数×方阵数。31．解：（3+4﹣1）×（3+1+1），=6×5，=30（张）；答：小秋的教室一共有30张桌子．【解析】依据“小秋的桌从前面数第3张，从后面数第4张，”可知，每一列有：3+4﹣1=6（张）；又依据“他的左边有3张，右边有1张，”可知，每一行有：3+1+1=5（张）；那么求总张数列式为：6×5=30（张），问题得解．32．解：48÷4+1=13(名)

答：每边各有13名同学。【解析】本题属于空心方阵问题，由于四个点都有人，依据公式“每边的人数=四周的人数÷4＋1”可以求得各边有48÷4＋1即12名同学。33．解：（14-4）×4×4

=10×4×4

=160（盆）

答：一共摆了160盆鲜花。【解析】空心方阵的总人数=（最外层每边的人数-空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4。34．解：12×4﹣4，=48﹣4，=44（人），12×12=144（人），答：最外层一共有44名同学，参与军训的一共有144名同学．【解析】最外层人数=每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数=每边人数×每边人数；代入数据即可解答．35．解：（26-20）÷（6-4）

=6÷2

=3（厘米）（10-4）×3+20=38（厘米）答：10个杯子叠起来高38厘米。【解析】以4个杯子的高度为基数，先计算每多一个杯子增加的高度：（6个杯子的高度－4个杯子的高度）÷（6-4）=每多一个杯子增加的高度，再计算多（10-4）个杯子增加的高度：（10-4）×每多一个杯子增加的高度，最终再加上4个杯子的高度即为10个杯子叠起来的高度。36．解：（10-1）×4

=9×4

=36（名）

10×10=100（名）

答：最外层一共有36名；整个方阵一共有100名。【解析】方阵最外层每边人数×4-4=最外层的总人数；方阵最外层每边人数×最外层每边人数=这个方阵的总人数。37．解：由外向内：20×3-3=57（枚）57-9=48（枚）48-9=39（枚）39-9=30（枚）30-9=21（枚）57+48+39+30+21=195（枚）【解析】依据空心三角阵的特点可知，每相邻两层的点数相差9，再依据“每层的点的个数=每边的个数×3-3”代入数据求出最外层的棋子数，然后用最外层棋子数依次减9，算出每层棋子数，最终将每层棋子数相加，即是棋子总数。38．解：（12﹣4）×4×4=8×16=128（朵）答：共有红花128朵．【解析】由题意知，要求这个四层空心方阵共有红花多少朵，就是求这个方阵的总点数；依据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4解答即可．39．解：依据题意可得：（5﹣1）×5=4×5=20（盆）答：最少需要20盆花．【解析】在五边形的水池边上摆花盆，五个顶点各摆上一盆，这样摆花盆最少，然后用每一边摆的5盆花减去1，再乘上边数5就可以求出结果．40．解：25×14×12=4200（人），答：徒步方队一共有4200人．【解析】依据题干，先求出一个方队的人数是：25×14=350人，再乘12即可解答．41．49÷7=7（行）

7×4=28（人）

28-4=24（人）

答：这个队列四周站了24人。【解析】用总人数除以一行的人数求出行数。每行是人数就是四周上每边的人数，由于四个角上的人数重复计数，所以用每边的人数乘4再减去重复计数的人数即可求出四周站的人数。42．解：5+11-1=15(列)14+8-1=21(排)15×21=315(名)答：做早操的同学一共有315名。【解析】此题主要考查了方阵问题的应用，解题的关键是求出列数和排数，求列数和排数时，把数重的人数减去，才能精确     求出结果；丽丽站在左起第5列，右起第11列，这样就把丽丽多数了一次，再减去1就是列数，同样可以求出共有的排数；然后列数与排数相乘即可得出总人数，据此列式解答。43．解：（6×4-4）×4=80（套）6×6×4-80=64（套）答：一共要预备红色运动服80套，绿色运动服64套。【解析】（6，6）表示每个方阵都是6列6行；每个方阵最外面的人数=每边的人数×4-4人，4个方阵最外面的人数=（每边的人数×4-4人）×4；每个方阵的列数×每列的人数=每个方阵的人数，每个方阵的人数×4=4个方阵的人数，4个方阵的人数-4个方阵最外面的人数=其余的人数。44．解：