辽宁省沈阳市第一七零中学2026届高一数学第一学期期末综合测试试题含解析

辽宁省沈阳市第一七零中学2026届高一数学第一学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.2．设，，，则（）A. B.C. D.3．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：x1.02.04.08.0y0.010.992.023现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是（）A. B.C. D.4．某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，并作等边三角形ABC，然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，得到的螺线如图所示．当螺线与直线有6个交点（不含A点）时，则螺线长度最小值为（）A. B.C. D.5．已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（）A.（0，1） B.（-2，1）C.（0，） D.（0，2）6．已知幂函数的图象过点(2,)，则的值为（）A. B.C. D.7．圆的圆心和半径为（）A.(1，1)和11 B.(-1，-1)和11C.(-1，-1)和 D.(1，1)和8．如图，网格纸的各小格都是正方形（边长为1），粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体的表面积为（）A. B.C. D.9．函数部分图象大致为（）A. B.C. D.10．在中，“角为锐角”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则f（27）的值为____________12．在直角坐标系内，已知是圆上一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使，其中的坐标分别为，则实数的取值集合为__________13．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，则球O的半径为________14．计算的值为__________15．已知函数，则下列说法正确的有________.①的图象可由的图象向右平移个单位长度得到②在上单调递增③在内有2个零点④在上的最大值为16．定义A-B={x|x∈A且xB}，已知A={2，3}，B={1，3，4}，则A-B=______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（，均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.（1）求常数的值；（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：，，，，）18．如图,建造一个容积为，深为，宽为的长方体无盖水池，如果池底的造价为元/，池壁的造价为元/，求水池的总造价.19．已知函数（1）若为偶函数，求；（2）若命题“，”为假命题，求实数的取值范围20．已知集合，，，全集为实数集（）求和（）若，求实数的范围21．已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若，且，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】由以及，可得，即得，再根据基本不等式即可求的取值范围.【详解】解：，不妨设，若，由，得：，即与矛盾；同理，也可导出矛盾，故，，即，而，即，即，当且仅当，即时等号成立，又，故，即的取值范围是.故选：B.2、C【解析】根据指数函数和对数函数的单调性判断，，的范围即可比较的大小.【详解】因为，即，，即，，即，所以，故选：C.3、A【解析】由表中数据的增大趋势和函数的单调性判断可得选项.【详解】解：由表中的数据看出：y随x的增大而增大，且增大的幅度越来越小，而函数，在的增大幅度越来越大，函数呈线性增大，只有函数与已知数据的增大趋势接近，故选：A.4、A【解析】根据题意，找到螺线画法的规律，由此对选项逐一分析，从而得到答案【详解】第1次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；第2次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计1次；第3次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为3，交累计2次；第4次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；第5次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计3次；前5次累计画线；第6次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计4次，累计画线；第7次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；第8次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计5次；第9次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计6次，累计画线，故选项A正确故选：A另解：由前三次规律可发现，每画三次，与l产生两个交点，故要产生6个交点，需要画9次；每一次画的圆弧长度是以为首项，为公差的等差数列，所以前9项之和为：﹒故选：A﹒5、A【解析】根据函数的单调性进行求解即可.【详解】因为在定义域上是减函数，所以由，故选：A6、A【解析】令幂函数且过(2,)，即有，进而可求的值【详解】令，由图象过(2,)∴，可得故∴故选：A【点睛】本题考查了幂函数，由幂函数的形式及其所过的定点求解析式，进而求出对应函数值，属于简单题7、D【解析】根据圆的标准方程写出圆心和半径即可.【详解】因，所以圆心坐标为，半径为，故选：D8、B【解析】根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等；可得几何体如右图所示，这是一个三棱柱．表面积为：故答案为B.9、A【解析】根据函数的解析式可判断函数为奇函数，再根据函数的零点个数可得正确的选项.【详解】因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；令，即，解得，即只有一个零点，故排除C，D故选：A10、D【解析】分析条件与结论的关系，根据充分条件和必要条件的定义确定正确选项.【详解】若角为锐角，不妨取，则，所以“角为锐角”是“”的不充分条件，由，可得，所以角不一定为锐角，所以“角为锐角”是“”的不必要条件，所以“角为锐角”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解析】根据幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2）求出a的值，再求f（27）的值.【详解】幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则8α=2，∴α=，∴f（x）=，∴f（27）==3．故答案为3【点睛】本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12、【解析】由题意，∴A（3，2）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，∴圆上不相同的两点为B（1，4），D（5，4），∵A（3，2），BA⊥DA∴BD的中点为圆心C（3，4），半径为1，∴⊙C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=4过P，M，N的圆的方程为x2+y2=m2，∴两圆外切时，m的最大值为，两圆内切时，m的最小值为，故答案为[3，7]13、【解析】根据直角三角形的外接圆的直径是直角三角形的斜边，结合球的对称性、勾股定理、直三棱柱的几何性质进行求解即可.【详解】因为，所以三角形是以为斜边的直角三角形，因此三角形的外接圆的直径为，圆心为.因为，所以，在直三棱柱中，侧面是矩形且它的中心即为球心O，球的直径是的长，则，所以球的半径为故答案为：【点睛】本题考查了直三棱柱外接球问题，考查了直观想象能力和数学运算能力.14、【解析】.15、②③【解析】化简函数，结合三角函数的图象变换，可判定①不正确；根据正弦型函数的单调的方法，可判定②正确；令，求得，可判定③正确；由，得到，结合三角函数的性质，可判定④正确.【详解】由函数，对于①中，将函数的图象向右平移个单位长度，得到，所以①不正确；对于②中，令，解得，当时，可得，即函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，所以②正确；对于③中，令，可得，解得，当时，可得；当时，可得，所以内有2个零点，所以③正确；对于④中，由，可得，当时，即时，函数取得最大值，最大值为，所以④不正确.故答案为：②③.16、{2}【解析】∵A={2，3}，B={1，3，4}，又∵A-B={x|x∈A且xB}，∴A-B={2}故答案为{2}.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）42h【解析】（1）根据题意，得到，求解，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，得到，由题意得到，求解，即可得出结果.【详解】（1）由已知得，当时，；当时，.于是有，解得（或）.（2）由（1）知，当时，有，解得.故污染物减少到40%至少需要42h.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.18、2880元【解析】先求出水池的长，再求出底面积与侧面积，利用池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，即可求水池的总造价【详解】分别设长、宽、高为am，bm，hm；水池的总造价为y元，则V＝abh＝16，h＝2，b＝2，∴a＝4m，∴S底＝4×2＝8m2，S侧＝2×（2+4）×2＝24m2，∴y＝120×8+80×24＝2880元【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的转化能力，属于基础题19、（1）（2）【解析】（1）根据偶函数的定义直接求解即可；（2）由题知命题“，”为真命题，进而得对，且恒成立，再分离参数求解即可得的取值范围是【小问1详解】解：因为函数为偶函数，所以，即，所以，即，所以.【小问2详解】解：因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，所以，对，且恒成立，所以，对，且恒成立，由对勾函数性质知，函数在上单调递增，所以，且，即实数的取