2025年精算师易错真题及答案

2025年精算师易错练习题及答案一、单项选择题1.已知随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，则\(P(X=4)\)的值为（）A.\(\frac{2}{3}e^{2}\)B.\(\frac{4}{3}e^{2}\)C.\(\frac{2}{3}e^{4}\)D.\(\frac{4}{3}e^{4}\)答案：B详细解答：对于泊松分布，其概率质量函数为\(P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{\lambda}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)。已知\(P(X=1)=P(X=2)\)，则\(\frac{\lambda^{1}e^{\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{\lambda}}{2!}\)。因为\(e^{\lambda}\neq0\)（指数函数恒大于0），两边同时约去\(e^{\lambda}\)，得到\(\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}\)。移项可得\(\lambda^{2}2\lambda=0\)，即\(\lambda(\lambda2)=0\)，解得\(\lambda=0\)或\(\lambda=2\)。由于泊松分布参数\(\lambda>0\)，所以\(\lambda=2\)。那么\(P(X=4)=\frac{2^{4}e^{2}}{4!}=\frac{16e^{2}}{24}=\frac{2}{3}e^{2}\times2=\frac{4}{3}e^{2}\)。2.设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自正态总体\(N(\mu,\sigma^{2})\)的简单随机样本，\(\overline{X}\)是样本均值，\(S^{2}=\frac{1}{n1}\sum_{i=1}^{n}(X_i\overline{X})^{2}\)，则统计量\(\frac{(n1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)服从的分布是（）A.\(N(0,1)\)B.\(\chi^{2}(n1)\)C.\(t(n1)\)D.\(F(n1,n)\)答案：B详细解答：根据正态总体样本方差的性质：设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自正态总体\(N(\mu,\sigma^{2})\)的简单随机样本，\(S^{2}=\frac{1}{n1}\sum_{i=1}^{n}(X_i\overline{X})^{2}\)，则\(\frac{(n1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)服从自由度为\(n1\)的\(\chi^{2}\)分布，即\(\frac{(n1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n1)\)。二、多项选择题1.以下关于风险度量指标的说法，正确的有（）A.方差可以衡量风险的大小，方差越大，风险越大B.标准差是方差的算术平方根，标准差越大，风险越大C.风险价值（VaR）是指在一定的置信水平下，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失D.条件风险价值（CVaR）是在给定损失超过VaR的条件下，该损失的期望值答案：ABCD详细解答：A选项：方差是用来衡量随机变量取值的离散程度的指标。在风险分析中，随机变量通常表示资产的收益率等。方差越大，说明资产收益率的波动越大，也就是不确定性越大，风险也就越大。B选项：标准差\(\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}\)，它与方差一样，也是衡量数据离散程度的指标。标准差越大，意味着数据偏离均值的程度越大，同样反映了风险越大。C选项：风险价值（VaR）是一种常用的风险度量方法。例如，在95%的置信水平下，1天的VaR表示在未来1天内，该金融资产或证券组合有95%的可能性损失不会超过这个VaR值，也就是最大可能损失。D选项：条件风险价值（CVaR）是对VaR的一种改进。它考虑了超过VaR部分的损失情况，是在给定损失超过VaR的条件下，该损失的期望值。它提供了比VaR更全面的风险信息。2.关于寿险精算中的生命表，下列说法正确的是（）A.生命表反映了不同年龄人群的死亡规律B.完全生命表包含所有年龄的死亡信息，简略生命表通常是按5岁或10岁年龄组编制的C.寿险公司在制定费率时，通常会采用经验生命表而非国民生命表D.生命表中的死亡率是一个确定的值，不具有随机性答案：ABC详细解答：A选项：生命表是根据一定时期内各种年龄人口的死亡统计资料编制的，它清晰地展现了不同年龄人群的死亡概率和生存概率等信息，反映了不同年龄人群的死亡规律。B选项：完全生命表按照每一岁年龄编制，包含了所有年龄的详细死亡信息；而简略生命表为了简化计算和使用，通常是按5岁或10岁年龄组来编制的。C选项：国民生命表反映的是全体国民的一般死亡情况，经验生命表是根据寿险公司实际承保人群的经验数据编制的。寿险公司在制定费率时，为了更准确地反映自身业务的风险状况，通常会采用经验生命表。D选项：生命表中的死亡率是基于过去的统计数据计算得到的估计值，虽然在精算中会基于一定的假设和统计方法来确定，但由于未来人口死亡情况受到多种不确定因素的影响，如疾病流行、自然灾害等，所以实际上死亡率是具有随机性的。三、解答题1.某保险公司承保了1000份同类型的保险单，每份保险单的保险金额为5000元，在保险期间内每份保险单发生损失的概率为0.02，且各保险单的损失情况相互独立。设\(X\)表示这1000份保险单在保险期间内发生损失的份数，求：（1）\(X\)服从的分布。（2）这1000份保险单在保险期间内的期望损失金额。答案：（1）\(X\simB(1000,0.02)\)（2）100000元详细解答：（1）根据二项分布的定义：若一次试验中某事件发生的概率为\(p\)，独立重复进行\(n\)次这样的试验，设事件发生的次数为\(X\)，则\(X\)服从参数为\(n\)和\(p\)的二项分布，记为\(X\simB(n,p)\)。在本题中，\(n=1000\)（保险单的份数），\(p=0.02\)（每份保险单发生损失的概率），且各保险单的损失情况相互独立，所以\(X\)服从参数为\(n=1000\)和\(p=0.02\)的二项分布，即\(X\simB(1000,0.02)\)。（2）首先求\(X\)的期望，对于二项分布\(X\simB(n,p)\)，其期望\(E(X)=np\)。已知\(n=1000\)，\(p=0.02\)，则\(E(X)=1000\times0.02=20\)。每份保险单的保险金额为5000元，设\(Y\)表示这1000份保险单在保险期间内的损失金额，则\(Y=5000X\)。根据期望的性质：若\(Y=aX\)（\(a\)为常数），则\(E(Y)=aE(X)\)。所以\(E(Y)=5000\timesE(X)=5000\times20=100000\)（元）。2.已知某险种的索赔次数\(N\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，每次索赔的金额\(X_i\)相互独立且都服从均值为\(\mu\)的指数分布，\(N\)与\(X_i\)相互独立。设\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)为总索赔金额，求\(S\)的期望\(E(S)\)。答案：\(E(S)=\lambda\mu\)详细解答：根据全期望公式\(E(S)=E[E(S|N)]\)。首先求\(E(S|N)\)，已知\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)，当\(N=n\)给定（视为常数）时，\(S|N=n=\sum_{i=1}^{n}X_i\)。因为\(X_i\)相互独立且都服从均值为\(\mu\)的指数分布，根据期望的性质：若\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)相互独立，则\(E(\sum_{i=1}^{n}X_i)=\sum_{i=1}^{n}E(X_i)\)。所以\(E(S|N=n)=\sum_{i=1}^{n}E(X_i)=n\mu\)，即\(E(S|N)=N\mu\)。然后求\(E[E(S|N)]\)，因为\(E(S|N)=N\mu\)，所以\(E[E(S|N)]=E(N\mu)\)。又