2025年高三数学期末永载史册卷二

2025年高三数学期末永载史册卷二2025年高三数学期末永载史册卷二

姓名：______班级：______学号：______得分：______

（考试时间：90分钟，满分：100分）

1.选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

题目数量：5

分值：5分/题

2.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

题目数量：5

分值：4分/题

3.解答题（本大题共3小题，共15分）

题目数量：3

分值：5分/题

4.解答题（本大题共4小题，共25分）

题目数量：4

分值：6.25分/题

5.解答题（本大题共2小题，共20分）

题目数量：2

分值：10分/题

6.解答题（本大题共1小题，共10分）

题目数量：1

分值：10分

7.解答题（本大题共1小题，共10分）

题目数量：1

分值：10分

---

**1.选择题（每小题5分，共25分）**

（1）若集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）

A．{x|1＜x＜2}B．{x|2≤x＜3}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜3}

（2）函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期为（）

A．πB．2πC．3π/2D．π/2

（3）若复数z满足z^2=1，则z的模为（）

A．1B．2C．√2D．-1

（4）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=4，则cosA的值为（）

A．1/2B．√3/2C．3/4D．5/4

（5）执行下列算法流程图，若输入n=5，则输出S的值为（）

①S=1

②i=1

③若i≤n，则S=S+i，i=i+1，否则转⑤

④输出S

⑤结束

A．15B．10C．8D．6

**2.填空题（每小题4分，共20分）**

（6）方程|2x-1|=3的解集为__________。

（7）已知向量a=(3,4)，b=(-1,2)，则a·b=__________。

（8）抛物线y^2=8x的焦点坐标为__________。

（9）在等比数列{a_n}中，a_1=2，a_3=16，则公比q=__________。

（10）执行以下程序段：

s=0

fori=1to4

s=s+i^2

end

则s的值为__________。

**3.解答题（共15分）**

（11）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2。

（1）求f(x)的极值点；

（2）若f(x)在区间[a,b]上单调递减，求[a,b]的范围。

**4.解答题（共25分）**

（12）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=√3，b=2，C=π/3。

（1）求sinB的值；

（2）若△ABC的面积为√3，求边c的长度。

（13）已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）。

（1）求{a_n}的通项公式；

（2）令S_n=a_1+a_2+...+a_n，求S_n的最大值。

（14）已知函数f(x)=x^2+px+q。若f(x)在x=1处取得极小值，且f(0)=3。

（1）求p、q的值；

（2）判断f(x)在x=-2时的符号。

**5.解答题（共20分）**

（15）在直角坐标系中，曲线C的方程为x^2+4y^2=16，直线L的方程为y=kx+1。

（1）求曲线C的焦点坐标和准线方程；

（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=√10，求k的值。

**6.解答题（共10分）**

（16）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=2c^2。若cosC=1/2，求sinA·sinB的值。

**7.解答题（共10分）**

（17）某校高三年级有1000名学生参加数学竞赛，随机抽取100名学生，统计其成绩如下表：

成绩（分）|60|70|80|90|100

---|---|---|---|---|---

频数|10|20|30|30|10

（1）求样本的众数和中位数；

（2）若成绩在90分以上（含90分）为优秀，估计该校高三年级数学竞赛成绩优秀的概率。

8.选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

题目数量：5

分值：5分/题

9.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

题目数量：5

分值：4分/题

10.解答题（本大题共3小题，共15分）

题目数量：3

分值：5分/题

11.解答题（本大题共4小题，共25分）

题目数量：4

分值：6.25分/题

12.解答题（本大题共2小题，共20分）

题目数量：2

分值：10分/题

13.解答题（本大题共1小题，共10分）

题目数量：1

分值：10分

14.解答题（本大题共1小题，共10分）

题目数量：1

分值：10分

15.解答题（本大题共1小题，共10分）

题目数量：1

分值：10分

---

**8.选择题（每小题5分，共25分）**

（6）若函数f(x)在区间[a,b]上连续且单调递增，且f(a)<0，f(b)>0，则方程f(x)=0在(a,b)内（）

A．无实根B．有且只有一个实根C．至少有两个实根D．无实根或有无数个实根

（7）若向量a=(1,2)，b=(m,1)，且a//b，则m的值为（）

A．1/2B．2C．-1/2D．-2

（8）若圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则圆心到直线x-y=1的距离为（）

A．√2B．2C．1D．√5

（9）执行以下程序段：

sum=0

i=1

whilei<=10

sum=sum+i^2

i=i+2

endwhile

则sum的值为（）

A．55B．110C．220D．330

（10）若z为复数，且|z|=2，arg(z)=π/4，则z的代数形式为（）

A．√2+√2iB．√2-√2iC．-√2+√2iD．-√2-√2i

**9.填空题（每小题4分，共20分）**

（11）不等式|x-1|>2的解集为__________。

（12）已知cosθ=-1/2，且θ在第三象限，则sinθ的值为__________。

（13）在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为__________。

（14）若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a_1=2，d=3，则S_10=__________。

（15）函数f(x)=e^x在点(0,1)处的切线方程为__________。

**10.解答题（共15分）**

（16）已知函数f(x)=x^2-4x+3。

（1）求f(x)的顶点坐标；

（2）若f(x)在区间[1,m]上单调递减，求m的取值范围。

**11.解答题（共25分）**

（17）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a=2，b=√7，c=3。

（1）求cosB的值；

（2）若△ABC的面积为√3，求sinC的值。

（18）已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2（n∈N*）。

（1）求{a_n}的通项公式；

（2）令T_n=a_1+a_2+...+a_n，求T_n的最小值。

（19）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1。

（1）求f(x)的极值点；

（2）判断f(x)在区间[-1,2]上的单调性。

**12.解答题（共20分）**

（20）在直角坐标系中，曲线C的方程为x^2/9+y^2/4=1，直线L的方程为y=mx-1。

（1）求曲线C的焦点坐标和准线方程；

（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=5，求m的值。

**13.解答题（共10分）**

（21）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=2c^2。若cosC=1/2，求sinA·sinB的值。

**14.解答题（共10分）**

（22）某校高三年级有1000名学生参加数学竞赛，随机抽取100名学生，统计其成绩如下表：

成绩（分）|60|70|80|90|100

---|---|---|---|---|---

频数|10|20|30|30|10

（1）求样本的众数和中位数；

（2）若成绩在80分以上（含80分）为良好，估计该校高三年级数学竞赛成绩良好的概率。

**15.解答题（共10分）**

（23）已知函数f(x)=x^2+px+q。若f(x)在x=-1处取得极大值，且f(0)=5。

（1）求p、q的值；

（2）判断f(x)在x=2时的符号。

**一试卷题型答案**

**1.选择题（每小题5分，共25分）**

（1）C

（2）A

（3）A

（4）C

（5）A

**2.填空题（每小题4分，共20分）**

（6）{-1,2}

（7）10

（8）(2,0)

（9）4

（10）30

**3.解答题（共15分）**

（11）

（1）f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2。当x<0或x>2时，f'(x)>0；当0<x<2时，f'(x)<0。故f(x)在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值。

（2）f'(x)<0⇒0<x<2。故[a,b]的范围为[0,2]。

**4.解答题（共25分）**

（12）

（1）由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2abcosC=3+4-2×√3×2×(1/2)=1，故c=1。由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC⇒√3/sinA=2/sinB=1/sin(π/3)⇒sinB=2sinA。又sinB=√1-(√3/2)^2=1/2，故sinA=1/4。

（2）S=1/2×ab×sinC=1/2×√3×2×(√3/2)=3/2。又S=1/2×c×b×sinA⇒3/2=1/2×1×2×sinA⇒sinA=3/2，矛盾。故无解。

**5.解答题（共20分）**

（15）

（1）曲线C为椭圆，a=4，b=2，c=√(16-4)=2√3。焦点坐标为(-2√3,0)和(2√3,0)。准线方程为x=±4√3/3。

（2）联立{x^2+4y^2=16,y=kx+1}⇒x^2+4(kx+1)^2=16⇒(1+4k^2)x^2+8kx-12=0。设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=-8k/(1+4k^2)，x1x2=-12/(1+4k^2)。|AB|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(1+k^2)|x1-x2|^2=(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]=10⇒(1+k^2)[64k^2/(1+4k^2)^2+48/(1+4k^2)]=10⇒(1+k^2)(64k^2+48(1+4k^2))/(1+4k^2)^2=10⇒16k^4+8k^2-3=0⇒(4k^2-1)(4k^2+3)=0⇒k=±1/2。

**6.解答题（共10分）**

（16）由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2abcosC=2c^2-2ab(1/2)=c^2+ab⇒a^2+b^2=c^2+2ab⇒(a+b)^2=c^2+2ab=2c^2⇒a+b=c。由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC⇒sinA/sinB=1⇒sinA=sinB。又A≠B，故A+B=π。故sinA·sinB=sinA·sin(π-A)=sin^2A=1/4。

**7.解答题（共10分）**

（17）

（1）众数为80，中位数为80。

（2）10/100=0.1。

**二知识点分类和总结**

1.集合与逻辑用语：集合的运算（交集、并集、补集），绝对值不等式的解法，充分条件与必要条件。

2.函数与导数：函数的奇偶性、单调性、周期性，函数的极值与最值，导数的几何意义（切线方程），指数函数与对数函数的性质。

3.向量：向量的线性运算，向量的数量积，平面向量的基本定理。

4.解三角形：正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，解三角形的应用。

5.数列：等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，数列的递推关系。

6.直线与圆：直线的方程与性质，圆的方程与性质，直线与圆的位置关系。

7.概率与统计：古典概型，频率分布表与频率分布直方图，样本的众数与中位数。

8.复数：复数的代数形式与几何意义，复数的运算。

**三各题型所考察学生的知识点详解及示例**

**1.选择题**

考察学生对基础概念和性质的理解与运用能力。例如，第（1）题考察集合的运算，第（2）题考察函数的周期性，第（3）题考察复数的模，第（4）题考察解三角形中的余弦定理，第（5）题考察算法流程图的执行。

**示例：**已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值为（）

A．2B．3C．5D．6

**解：**f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值为3。选B。

**2.填空题**

考察学生对基础知识和基本运算的掌握程度。例如，第（6）题考察绝对值方程的解法，第（7）题考察向量的数量积，第（8）题考察抛物线的标准方程，第（9）题考察等比数列的通项公式，第（10）题考察算法流程图的执行。

**示例：**若向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a+b的模为__________。

**解：**a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)，|a+b|=√(4^2+(-2)^2)=√20=2√5。

**3.解答题（3小题，共15分）**

考察学生对函数性质（单调性、极值）的综合运用能力。例如，第（11）题要求求函数的极值点和单调区间。

**示例：**已知函数f(x)=x^3-3x^2+2。求f(x)的极值点。

**解：**f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。故极值点为x=0和x=2。

**4.解答题（4小题，共25分）**

考察学生对解三角形、数列、函数性质的综合运用能力。例如，第（12）题考察解三角形中的正弦定理和余弦定理，第（13）题考察数列的递推关系和通项公式，第（14）题考察函数的极值和符号判断。

**示例：**已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）。求{a_n}的通项公式。

**解：**a_n+1+1=2(a_n+1)⇒a_n+1=2a_n+2=2(a_n+1)⇒a_n+1=2^n(a_1+1)=2^n×2=2^(n+1)。故a_n=2^n。

**5.解答题（2小题，共20分）**

考察学生对直线与圆的位置关系、椭圆的性质的综合运用能力。例如，第（15）题考察直线与椭圆的相交弦长和斜率。

**示例：**在直角坐标系中，曲线C的方程为x^2/9+y^2/4=1，直线L的方程为y=kx+1