解析形如函数y=x^4-x^2+1的图像示意图画法步骤C4

函数y=82x⁴-79x²+62的性质及其图像示意图本文主要内容：介绍函数y=82x⁴-79x²+62的定义域、值域、单调性、奇偶性、极限和凸凹性，并通过函数的导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间。函数的定义域：根据函数的特征，函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）。函数的值域：因为y=82x⁴-79x²+62，则：82x⁴-79x²+62-y=0,对x²的二次方程有解，则：判别式△=79²-4*82(-y)≥0，即：4*82y≥4*82*62-79²，解得y≥eq\f(14095,328)≈42.98故函数的值域为：[eq\f(14095,328),+∞)。函数的单调性：∵y=82x⁴-79x²+62,∴eq\f(dy,dx)=4*82x³-2*79x,令eq\f(dy,dx)=0,则：4*82x³-2*79x=0,x(164x²-79)=0,即x₁=0，或者x²=eq\f(79,164),进一步求出：x₁=-eq\f(1,82)eq\r(3239),x₂=0,x₃=eq\f(1,82)eq\r(3239)≈0.69,则：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,82)eq\r(3239)],(0,eq\f(1,82)eq\r(3239))时，eq\f(dy,dx)<0,则此时函数为减函数，该区间为减区间。(2)当x∈[-eq\f(1,82)eq\r(3239),0],[eq\f(1,82)eq\r(3239),+∞)时，eq\f(dy,dx)>0,则此时函数为增函数，该区间为增区间,当x0=±eq\f(1,82)eq\r(3239)时，y有最小值：ymin=f(±eq\f(1,82)eq\r(3239))=82*(±eq\f(1,82)eq\r(3239))⁴-79*(±eq\f(1,82)eq\r(3239))²+62=eq\f(14095,328).函数的奇偶性：∵f(x)=y=82x⁴-79x²+62,∴f(-x)=82*(-x)⁴-79*(-x)²+62=82x⁴-79x²+62=f(x).即函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称。函数的极限：eq\s(lim,x→0)82x⁴-79x²+62=62;eq\s(lim,x→-∞)82x⁴-79x²+62=+∞;eq\s(lim,x→+∞)82x⁴-79x²+62=+∞.函数的凸凹性∵eq\f(dy,dx)=328x³-158x,∴eq\f(d²y,dx²)=984x²-158,令eq\f(d²y,dx²)=0，则：x²=eq\f(79,492),即：x₁=-eq\f(1,246)eq\r(9717),x₂=eq\f(1,246)eq\r(9717)≈0.40;则：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,246)eq\r(9717)),(eq\f(1,246)eq\r(9717),+∞)时，eq\f(d²y,dx²)>0,则此时函数为凹函数，该区间为凹区间。(2)当x∈[-eq\f(1,246)eq\r(9717)，eq\f(1,246)eq\r(9717)]时，eq\f(d²y,dx²)<0,则此时函数为凸函数，该区间为凸区间。函数的五点图x00.400.550.690.8382x⁴02.107.5018.5938.9279x²012.6423.9037.6154.42y6251.4645.6042.9846.50x-0.83-0.69-0.55-0.40082x⁴38.9218.597.502.10079x²54.4237.6123.9012.640y46.5042.9845.6051.4662函数的示意图：y=82x⁴-79x²+62y(0,62)(-0.40,51.46)(0.40,51.46)(-0.83,46.50)