解析形如函数y=x^4-x^2+1的图像示意图画法步骤C6

函数y=19x⁴-53x²+37的性质及其图像示意图本文主要内容：介绍函数y=19x⁴-53x²+37的定义域、值域、单调性、奇偶性、极限和凸凹性，并通过函数的导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间。函数的定义域：根据函数的特征，函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）。函数的值域：因为y=19x⁴-53x²+37，则：19x⁴-53x²+37-y=0,对x²的二次方程有解，则：判别式△=53²-4*19(-y)≥0，即：4*19y≥4*19*37-53²，解得y≥eq\f(3,76)≈0.04故函数的值域为：[eq\f(3,76),+∞)。函数的单调性：∵y=19x⁴-53x²+37,∴eq\f(dy,dx)=4*19x³-2*53x,令eq\f(dy,dx)=0,则：4*19x³-2*53x=0,x(38x²-53)=0,即x₁=0，或者x²=eq\f(53,38),进一步求出：x₁=-eq\f(1,38)eq\r(2014),x₂=0,x₃=eq\f(1,38)eq\r(2014)≈1.18,则：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,38)eq\r(2014)],(0,eq\f(1,38)eq\r(2014))时，eq\f(dy,dx)<0,则此时函数为减函数，该区间为减区间。(2)当x∈[-eq\f(1,38)eq\r(2014),0],[eq\f(1,38)eq\r(2014),+∞)时，eq\f(dy,dx)>0,则此时函数为增函数，该区间为增区间,当x0=±eq\f(1,38)eq\r(2014)时，y有最小值：ymin=f(±eq\f(1,38)eq\r(2014))=19*(±eq\f(1,38)eq\r(2014))⁴-53*(±eq\f(1,38)eq\r(2014))²+37=eq\f(3,76).函数的奇偶性：∵f(x)=y=19x⁴-53x²+37,∴f(-x)=19*(-x)⁴-53*(-x)²+37=19x⁴-53x²+37=f(x).即函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称。函数的极限：eq\s(lim,x→0)19x⁴-53x²+37=37;eq\s(lim,x→-∞)19x⁴-53x²+37=+∞;eq\s(lim,x→+∞)19x⁴-53x²+37=+∞.函数的凸凹性∵eq\f(dy,dx)=76x³-106x,∴eq\f(d²y,dx²)=228x²-106,令eq\f(d²y,dx²)=0，则：x²=eq\f(53,114),即：x₁=-eq\f(1,114)eq\r(6042),x₂=eq\f(1,114)eq\r(6042)≈0.68;则：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,114)eq\r(6042)),(eq\f(1,114)eq\r(6042),+∞)时，eq\f(d²y,dx²)>0,则此时函数为凹函数，该区间为凹区间。(2)当x∈[-eq\f(1,114)eq\r(6042)，eq\f(1,114)eq\r(6042)]时，eq\f(d²y,dx²)<0,则此时函数为凸函数，该区间为凸区间。函数的五点图x00.680.931.181.4319x⁴04.0614.2136.8479.4553x²024.5145.8473.80108.38y3716.555.370.048.07x-1.43-1.18-0.93-0.68019x⁴79.4536.8414.214.06053x²108.3873.8045.8424.510y8.070.045.3716.5537函数的示意图：y=19x⁴-53x²+37y(0,37)(-0.68,16.55)(0.68,16.55)(-1.43,8.07)