吉林省吉林市外五县各高中2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试卷（图片版含解析）

高二数学(试卷满分：150分，考试时间：120分钟)注意事项：2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改题目要求的.A.—30°B.120°C.150°A.33.已知空间向量a=(1,-1,y)A.(x—2)²+(y-2)²=5B.(x+C.(x-2)²+(y-2)²=25D.(x-2)²+(y+2)²=10A.2DBB.2D₁B C.2BD6.已知椭圆E:)的上、下顶点与左、右焦点分别为A,B,F₁,F₂,且四边形【高二数学第1页(共4页)】6183B7.已知数列{an}的通项公式为,前n项和为S,8.已知椭圆C₁)和双曲线C₂:(a₂>0,b₂>0)有公共的焦点，其中F₁为左焦点，P是Ci与C₂在第一象限的公共点.线段PF₁的垂直平分线经过坐标原CDC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数列2,0,2,0,…的一个可能的通项公式是10.过点P(0,2)且与抛物线y²=12x恰有一个公共点的直线方程可能为A.y=211.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E,F分别为棱B₁C₁,CC₁的中点，点A.三棱锥E-APF的体积为定值B.存在点P,使得PB₁⊥PCD.直线PC₁与平面ADD₁A₁所成角的正弦值的最大值为14.已知椭圆的左、右焦点分别为F₁,F₂,P,Q是椭圆C上关于坐标原点对称的【高二数学第2页(共4页6183B四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.(本小题满分13分)已知抛物线C:y²=2px(p>0)过点M(1,2).(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A,B两点，求线段AB的长度.16.(本小题满分15分)已知点A(1,2),B(5,6),线段AB是圆C的直径.(1)求圆C的标准方程；(2)若过圆心C的直线l在x轴，y轴上的截距相等17.(本小题满分15分)面ABCD,点E为棱AD的中点.(2)若,求平面PCD与平面PBE的夹角的余弦值.【高二数学第3页(共，4页)】6183B18.(本小题满分17分)bn+1)在函数y=x+2的图象上.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)将数列{bn}和的所有公共项从小到大排列得到数列{cn},求数列{cn}的前n项19.(本小题满分17分)若椭圆C的两个焦点分别为F₁(-1,0),F₂(1,0),且椭圆C过点,若直线l经过点F₂且交椭圆C于A,B两点，交直线x=4于点M,直线PA,PB,PM的斜率分别为k,(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线PA,PB关于直线PF₂对称，求k₃;(3)探究k₁,kz,k₃的数量关系.【高二数学第4页(共4.页)】高二数学12345678DCACCDAB9一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【解析】直线√3x-y+4=0的斜率k=√3,设直线的倾斜角为a,则tana=√3,因为0°≤a<180°,所以α=60°,【解析】因为空间向量a=(1,-1,y)与b=(-2,x,4)共线，所,解得x=2,y=-2,所以y【解析】|CB|=√(2-6)²+(2+1)²=5,所以圆的半径r=5,又以C(2,2)为圆心，所以圆的标准方程为：(x—2)²+(y-2)²=25,故选C.【解析】因为在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以BA,BC,BB₁为基底，则BD=BA+BC,BA₁=BA+BB₁,BC₁【解析】根据题意可得，椭圆的短轴长和焦距相等，即2c=2b,则离心率故选D.【解析】令,解得n≤4或,所以当n≤49.故选A.【解析】记e₁,e₂分别为C₁,C₂的离心率，设F₂为右焦点，半焦距为c,|PF₁I=x,|PF₂I=y,由题意PF₁IPF₂,所以x²+y²=4c²,x+y=2a₁,x-y=2a₂,所以(2a1)²+(2az)²=2·4c²,即,所以=2,解得,所以C₂的渐近线方程为.故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【解析】分别检验前4项的值，易知选项AB正确，故选AB.【高二数学参考答案第1页(共5页)】6183B【高二数学参考答案第2页(共5页)】6183B【解析】显然直线y=2与抛物线y²=12x恰有一个公共点，故A正确；当直线的斜率不存在时，过点P(0,2)的直线方程为x=0,符合题意，故B正确；当直线的斜率存在且不为0时，设过点P(0,2)的直线方程为y=kx+2,由得0,所以,所以直线方程为,即3x-2y+4=0,故D正确.故【解析】连接B₁C,则EF//B₁C,又B₁C//A₁D,平面AEF,又P是线段A₁D上的一个动点，所以点P到平面AEF的距离为定值，又△AEF的面积为定值，所以三棱锥A-PEF的体积为定值，故A正确；,贝,则PD²-2√2PD+4=0,因为△=(-2√2)²-4×4=-8<0,所以方程无解，故B错误；交A₁D于点P,此时PE+PF取得最小值，最小值为线段EF′的长度，又,所以周长的最小值为2√5+√2,故C正确；连接PD₁,又C₁D₁⊥平面ADD₁A₁,所以∠C₁PD是直线PC,又因为△C₁A₁D是边长为2√2的等边三角形，所以C₁P的最小值即该等边三角形的高，即(C₁,所以,故D正确.故选ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【解析】因为an=a₁q“⁻¹且a₁=1,q=2,所以32=2⁵=1×2”-¹,所以n=6.【解析】因为b,c不共线，且向量a,b,c共面，所以存在λ,μ使得a=λb+μc,则有,解得x=λ=μ=1.【解析】由已知及对称性得：四边形PF₁QF₂为矩形，所以PF₁⊥PF₂,所以【高二数学参考答案第3页(共5页)】6183B四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.(教材原题)【解析】(1)∵y²=2px(p>0)过点M(1,2),∴2p=4,解得p=2,4分∴抛物线C:y²=4x,准线方程为x=-1;5分(2)由(1)知，抛物线焦点为(1,0),………设直线AB:y=x-1,A(x₁,y1),B(x₂,y₂),8由得x²—6x+1=0,则|AB|=|x₁+x₂+pl=|6+2|=8.…………16.【答案】(1)(x-3)²+(y-4)所以圆C的标准方程为(x-3)²+(y-4)²=8;7分(2)显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y-4=k(x-3),令x=0,解得y=4-3k,令y=0,解得x=3,又过圆心C的直线l在x轴，y轴上的截距相等，所以…………12分解得k=-1或,所以直线l的方程为x+y-7=0或4x-3y=0.………………117.【答案】(1)详见解析②【解析】(1)取AB中点O,连接PO,OE,BD,如图所示，又△PAB是等边三角形，所以PO⊥AB,又平面PAB上平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,POC平面PAB,所以PO⊥平面ABCD,2又ACC平面ABCD,所以PO⊥AC,3又底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以AC⊥OE,4分(2),所以△ABC为正三角形，又O是AB的中点，所以AB⊥OC,由(1)知PO⊥平面ABC,以O为坐标原点，OB,OC,OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不防设AB=2,所以A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,√3,0),D(-2,√3,0),P(0,0,√3),),设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),又PC=(0,3,一√3),CD=(-2,0,=0,z=1,所以平面PCD的法向量n=(0,1,1),9分c=1,所以平面PBE的法向量为m=(√3,5,1)12分设平面PCD与平面PBE的夹角为θ,即平面PCD与平面PBE的夹角的余弦值……………………15分……………………………2分,所以2an=nan+1-2(n-1)an,所以an+1=2an(n≥2),又a₁=2,az=2a₁,所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列，所以aₙ=2”,5分因为点P(bπ,bn+1)在函数y=x+2的图象上，所以bπ+1=bₙ+2,即bπ+1-b=2,又b₁=2,所以{ba}是首项为2,公差为2的等差数列，所以bn=b₁+2(n-1)=2n;8分………所以b²=a²—c²=3,