吉林省吉林市外五县各高中2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试卷(图片版含解析)

高一数学

(试卷满分：150分，考试时间：120分钟)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指

定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将

答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，请将答题卡上交。

4.本卷主要命题范围：必修第一册。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的，

1.方程x²=x的所有实数根组成的集合用列举法表示为

A.{0,1}B.{0}C.{1}D.{0,1,-1}

2.“x=√2”是“x²=2”的

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数的定义域为

A.(1,十∞)B.[一∞,4]

C.(1,4)D.(一∞,1)U[1,4]

4.函数在[0,1]上的最大值为

A.2BCD.3

5.若a=33,b=32,c=logo.54,则

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

6.若关于x的不等式对Vx∈R恒成立，则实数a的取值范围为

AB

C.0<a<2

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7.已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为

A.[1,2]BC

8.已知函数上单调递减，则实数w的取值范围是

A.B.

D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知θ∈(0,π),且,则下列说法正确的是

AB

CD

10.已知正实数x,y满足x+y=2,则下列结论正确的是

A.x²+y²≥2B.xy≤1

C.x³+y³≤2D.√x+√y≤2

11.对于函数(x∈R),下列判断正确的是

A.f(一x)+f(x)=0

B.当m∈(0,1)时，方程f(x)=m总有实数解

C.函数f(x)的值域为

D.函数f(x)的单调递增区间为(一∞,0)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若xlog₃4=1,则4ˣ+4⁻=

13.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(4-x)=0,f(一x)=-f(x),当x∈[0,2]时，

f(x)=-x²+2x+n,则f(2023)=

14.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2)=3,且函数g(x)=f(x)—2x在(0,+∞)上单调递

减，则不等式f(x—1)>2x—1的解集为·

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，

15.(本小题满分13分)

已知全集U=R.A={x|-4<.x<3},B={.x|m<x<6}.

(1)若m=2,求(CuA)∩B;

(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围，

16.(本小题满分15分)

已知函数f(x)=3-²+2x.

(1)若f(x)≥1,求实数x的取值范围；

(2)求f(x)的值域.

17.(本小题满分15分)

已知函数f(x)=cos²x-sin²x+√3sin2x.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)图象的对称中心坐标和对称轴方程.

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18.(本小题满分17分)

某大学科研小组自2025年元旦开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测

得最初绿球藻的生长面积为n(单位：m²),此后每隔一个月(每月月底)测量一次，一月底测

得绿球藻的生长面积比最初多了4m²,二月底测得绿球藻的生长面积为(4√2+2)m²,科研

小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积y(单位：m²)与时

间x(单位：月)的关系有两个函数模型可供选择，一个是y=na²(n>0,a>1);另一个是y=

px÷+n(p>0,n>0),记2025年元旦最初测量时间x的值为0.

(1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；

(2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积n的7倍?

19.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=log₂(4ˣ+1)+ax是定义在R上的偶函数.

(1)求a的值；

(2)判断函数f(x)在(0,十∞)上的单调性，并证明；

(3)若对任意的x∈[t,t+1],都有f(x-t+1)≥f(3x-2)恒成立，求t的值.

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高一数学

参考答案、提示及评分细则

题号12345678

答案ABDCDCCA

题号91011

答案BCABDAC

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.(教材原题)

【答案】A

【解析】由题意，x²-x=0,解得x=0或x=1,故选A.

2.【答案】B

【解析】x=√2→x²=2,反之不成立，故选B.

3.(教材原题)

【答案】D

【解析】要使函数有意义，必须解得x≤4且x≠1,则函数f(x)的定义域为(一∞,1)U[1,4],故

选D.

4.【答案】C

【解析】在[0,1]上单调递减，所以当x=0时取最大值为,故选C.

5.【答案】D

【解析】∵0<3t<3³,logo.54<0,∴c<b<a.故选D.

6.【答案】C

【解析】因为不等式对Vx∈R恒成立，所以△=a²—2a<0,解得0<a<2.故选C.

7.【答案】C

【解析】由反比例函数及二次函数的单调性可知，若函数f(x)在R上单调递增，有

可得故选C.

8.【答案】A

【解析】函数的最小正周期,即—2≤

)(a<0),w<0.

当)时，.依题意：,k∈Z,解得

,∴当k=0时成立，.故选A.

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得

6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.【答案】BC

【解析】由题意知,所以,故A错

误，B正确；

又θ∈(0,π),所以sinθ>0,cosθ>0,所以,所以cos2θ=

,故C正确，D错误.故选BC.

10.【答案】ABD

【解析】由题目可知,当且仅当x=y=1时，等号

成立，故A对.

当且仅当x=y=1时，等号成立，故B对；

当时C错；

因为(√x+√y)²=x+y+2√xy≤2(x+y)=4,则√x+√y≤2,当且仅当x=y=1时，等号成立，故D对；

故选ABD.

11.【答案】AC

【解析】对于A,因为,所以所

(x∈R)R),

以A正确；

对于B,当时，,2x²-2x+1=0,△=(-2)²-4×2×1=-4<0,无解，所以B错误；

当x>0时，,根据奇函数，可知C正确；

,∴f(x)在(一∞,0)上不可能单调递增，所以D错误，故选AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(教材原题)

【答案】

【解析】∵xlog₃4=1,∴3=4,4==3,

13.【答案】-1

【解析】∵f(-x)=-f(x),∴f(0)=n=0,f(x)=-x²+2x,∵f(x)=—f(4—x)=f(x-4),∴T=4,

f(2023)=f(一1)=-f(1)=-1.

14.【答案】(一∞,-1)

【解析】g(x)=f(x)—2x,则g(一x)=f(一x)+2x=-f(x)+2x=-g(x),即g(x)也为奇函数，

又函数g(x)在(0,+∞)上单调递减，由对称性可知，g(x)在R上递减，

【高一数学参考答案第2页(共4页)】6183A

又因为f(2)=3,所以g(2)=3-4=-1,

所以f(x-1)>2x-1→f(x-1)-2(x-1)>1,

即g(x-1)>-g(2)→g(x-1)>g(-2),

所以x-1<-2→x<-1,即解集为(一∞,-1).

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.【答案】(1)(3,6)(2)(-∞,-4]

【解析】(1)CvA=(-∞,-4)U[3,+∞),2分

若m=2,B={x|2<x<6},4分

所以(CuA)∩B=(3,6);……………………6分

(2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以AB,………8分

所以m≤-4,11分

即实数m的取值范围是(-∞,-4).………………………13分

16.【答案】(1)[0,2](2)[0,3]

【解析】(1)若f(x)≥1,即3-²+z²≥3°,所以—x²+2x≥0,………………4分

解得0≤x≤2,所以实数x的取值范围是[0,2];……………7分

(2)令u=-x²+2x,u∈(-∞,1),11分

所以f(x)=3”,u∈[-∞,1],所以f(x)∈[0,3],即f(x)的值域是(0,3).……………15分

17.【答案】(1)函数f(x)的增区间为,k∈Z,减区间,k∈Z

(2)),k∈Z,,k∈Z

【解析】由

(1)令,k∈Z,解得,k∈Z,…………4分

,k∈Z,解得,k∈Z,………………6分

故函数f(x)的增区间,k∈Z,

减区间,k∈Z;…………8分

(2)令,k∈Z,解得,k∈Z,………10分

可得函数f(x)图象的对称中心的坐标为,k∈Z,…………11分

令,k∈Z,解得,k∈Z,……………………13分

可得函数f(x)图象的对称轴方程为,k∈Z.……15分

18.【答案】(1)第二个模型y=pxż+n(p>0,n>0)满足需求，其解析式为y=4√x+2(2)该水域中绿球藻生

长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍

【解析】(1)函数模型y=na²(n>0,a>1),y=pxż+n在(0,+∞)上都是增函数，……3分

【高一数学参考答案第3页(共4页)】6183A

y=na²(n>0,a>1)的函数值增加得越来越快，而y=px+n(p>0,n>0)的函数值增加得越来越慢，…

……………………………6分

因为该水域中绿球藻生长面积的增长速度越来越慢，

所以第二个函数模型y=pxż+n(p>0,n>0)满足要求，…………………8分

由题意………………12分

解得所以y=4√x+2;……………13分

(2)由4√x+2=14,15分

解得x=9,16分

∴该水域中绿球藻生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍.………………17分

19.【答案】(1)-1(2)函数f(x)在[0,+∞]上单调递增，证明见解析(3)

【解析】(1)因为f(x)=log₂(4*+1)+ax是定义在R上的偶函数，所以f(一x)-f(x)=log₂(4⁻+1)-ax

一[log₂(4²+1)+ax]=-2x-2ax=-2z(a+1)=0对任意的x∈R恒成立，…………3分

所以a+1=0,