浙江省绍兴市柯桥区2025年高一数学月考试卷

浙江省绍兴市柯桥区2025年高一数学月考试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩B=（）A.{x|x<2}B.{x|1≤x<2}C.{x|x≥-1}D.{x|x≤2}2.“x=1”是“x²-3x+2=0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数f(x)=|x-1|的定义域是（）A.(0,2)B.[-1,3]C.RD.{0,1,2}4.函数g(x)=(½)ˣ是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数5.函数h(x)=sin(x+π/3)的最小正周期是（）A.2πB.πC.2π/3D.π/36.若f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x²-1，则当x<0时，f(x)等于（）A.x²+1B.-x²-1C.x²-1D.-x²+17.已知点P(a,b)在直线y=-2x+4上，则|a|+|b|的最小值是（）A.2B.3C.4D.58.“m>1”是“方程x²-mx+1=0有两个负根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知等差数列{aₙ}中，a₁=5,公差d=-2,则a₅等于（）A.-3B.-1C.1D.310.下列函数中，在其定义域内单调递减的是（）A.y=(½)ˣB.y=log₂(x)C.y=sin(x)D.y=(x-1)²二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）11.已知集合A={1,2,3},B={2,4,6},则A∪B=_______.12.若函数f(x)=ax+1在R上是减函数，则实数a的取值范围是_______.13.计算：sin(π/6)+cos(π/3)=_______.14.已知等比数列{bₙ}中，b₁=2,b₃=8,则b₂=_______.15.不等式|x-1|<2的解集是_______.三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x²-4x+3.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间[1,4]上的最大值和最小值。17.(本小题满分12分)已知函数g(x)=cos(2x-π/4).(1)求函数g(x)的最小正周期和图像的对称轴方程（用含k的整数表示）；(2)若x∈[0,π/2]，求函数g(x)的值域。18.(本小题满分12分)已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₁=1,Sₙ=n(aₙ-1)。(1)求数列{aₙ}的通项公式；(2)设bₙ=aₙ*2ⁿ⁻¹，求证：数列{bₙ}是等比数列。19.(本小题满分13分)已知函数f(x)=x³-3x²+2。(1)求函数f(x)的导函数f'(x)；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数根，求实数k的取值范围。20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,2)。(1)求以AB为直径的圆的方程；(2)若直线l过点P(1,1)，且与圆相切，求直线l的方程。21.(本小题满分14分)已知函数F(x)=f(x)+f(1-x)，其中f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=ln(x+√(x²+1))。(1)求函数F(x)的解析式；(2)判断函数F(x)在区间(0,1)上的单调性，并给出证明；(3)若F(a)=1，求a的值。试卷答案一、选择题1.B2.B3.C4.C5.A6.D7.C8.A9.D10.A二、填空题11.{1,2,3,4,6}12.a<013.114.415.(-1,3)三、解答题16.解：(1)函数f(x)=x²-4x+3可化为f(x)=(x-2)²-1。抛物线开口向上，对称轴为x=2。故函数f(x)在(-∞,2]上单调递减。(2)由(1)知，对称轴x=2在区间[1,4]内。f(1)=0,f(2)=-1,f(4)=3。故函数f(x)在区间[1,4]上的最大值为3，最小值为-1。17.解：(1)函数g(x)=cos(2x-π/4)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。令2x-π/4=kπ+π/2(k∈Z)，解得x=kπ/2+3π/8(k∈Z)。故图像的对称轴方程为x=kπ/2+3π/8(k∈Z)。(2)当x∈[0,π/2]时，2x-π/4∈[-π/4,3π/4]。此时cos(2x-π/4)的取值范围为[-√2/2,1]。故函数g(x)的值域为[-√2/2,1]。18.解：(1)当n=1时，S₁=a₁=1。由Sₙ=n(aₙ-1)得S₁=1(a₁-1)，即1=1(1-1)，等式成立。当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=n(aₙ-1)-(n-1)(aₙ₋₁-1)。整理得(n-1)aₙ=naₙ₋₁-1，即(n-1)aₙ+1=naₙ₋₁。因为a₁=1，所以a₁+1=2。上式变为(n-1)aₙ+1=naₙ₋₁+1，即(n-1)aₙ=naₙ₋₁。故aₙ/aₙ₋₁=n/(n-1)(n≥2)。所以aₙ=a₁*[1*2*...*n]/[1*2*...*(n-1)]=n。即数列{aₙ}的通项公式为aₙ=n(n∈N*)。(2)证明：由(1)得bₙ=aₙ*2ⁿ⁻¹=n*2ⁿ⁻¹。bₙ₊₁=(n+1)*2ⁿ。bₙ₊₁/bₙ=[(n+1)*2ⁿ]/[n*2ⁿ⁻¹]=(n+1)/n*2=2*(n+1)/n。此比值与n有关，故数列{bₙ}不是等比数列。（此处根据原题意，若题目要求证明b_n为等比数列，则需检查推导过程或题意是否有误。若按标准解析，b_n非等比数列。若必须证等比，则原题设或解答有误。以下按标准解析给出“不是等比数列”的结论）。*修正思路说明：根据b_n=n*2^(n-1)，b_(n+1)/b_n=((n+1)*2^n)/(n*2^(n-1))=2*(n+1)/n。该比值不恒定，故{b_n}不是等比数列。若题目期望证明其为等比，则题目本身或解答过程存在问题。*19.解：(1)函数f(x)=x³-3x²+2的导函数f'(x)=3x²-6x。(2)令f'(x)=0，得3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。将R分为(-∞,0],(0,2],(2,+∞)。当x∈(-∞,0)时，f'(x)>0，函数f(x)在(-∞,0)上单调递增。当x∈(0,2)时，f'(x)<0，函数f(x)在(0,2)上单调递减。当x∈(2,+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)在(2,+∞)上单调递增。故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。(3)由(2)知，函数f(x)在x=0处取得局部极大值f(0)=2，在x=2处取得局部极小值f(2)=-2。又当x→-∞时，f(x)→-∞；当x→+∞时，f(x)→+∞。要使方程f(x)=k有三个不同的实数根，直线y=k必须与函数f(x)的图像在(-∞,0)和(2,+∞)这两个区间各相交一次，且在(0,2)区间内相交一次。这意味着k的值必须在局部极大值和局部极小值之间，即-2<k<2。20.解：(1)线段AB的中点坐标为((2+0)/2,(0+2)/2)=(1,1)。AB的长度为√[(2-0)²+(0-2)²]=√(4+4)=2√2。故以AB为直径的圆的圆心为(1,1)，半径为√2。圆的标准方程为(x-1)²+(y-1)²=(√2)²，即(x-1)²+(y-1)²=2。(2)设直线l的方程为y-1=k(x-1)，即kx-y+1-k=0。圆心(1,1)到直线l的距离d=|k*1-1*1+1-k|/√(k²+1)=|1-k|/√(k²+1)。由于直线l与圆相切，故d=√2。即|1-k|/√(k²+1)=√2。两边平方得(1-k)²/(k²+1)=2。整理得1-2k+k²=2k²+2。即k²+2k+1=0。解得(k+1)²=0，故k=-1。此时直线l的方程为y-1=-1(x-1)，即x+y-2=0。另一方面，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1。圆心(1,1)到直线x=1的距离为0，不满足相切条件。综上，直线l的方程为x+y-2=0。21.解：(1)当x>0时，F(x)=f(x)+f(1-x)=ln(x+√(x²+1))+ln((1-x)+√((1-x)²+1))。由于f(x)是奇函数，则f(1-x)=-f(x-1)。当x>0时，x-1<1，故f(x-1)=ln((x-1)+√((x-1)²+1))。所以f(1-x)=-ln((x-1)+√((x-1)²+1))。注意：√((x-1)²+1)=√(x²-2x+2)。F(x)=ln(x+√(x²+1))-ln((x-1)+√(x²-2x+2))=ln[(x+√(x²+1))/((x-1)+√(x²-2x+2))]。需要化简分母：(x-1)+√(x²-2x+2)=x-1+√(x²-2x+1+1)=x-1+√((x-1)²+1)。分子分母同时乘以conjugate：(x+√(x²+1))*[(x-1)-√(x²-2x+2)]/[(x-1)+√(x²-2x+2)]*[(x-1)-√(x²-2x+2)]=[(x+√(x²+1))*(x²-2x+1-(x²-2x+2))]/[(x-1)²-(x²-2x+2)]=[(x+√(x²+1))*(-1)]/[x²-2x+1-x²+2x-2]=-(x+√(x²+1))/[-1]=x+√(x²+1)。故F(x)=ln(1)=0(当x>0)。当x=0时，F(0)=f(0)+f(1)=0+f(1)。由于f(x)是奇函数，f(1)=-f(-1)。f(x)=ln(x+√(x²+1))，故f(-1)=ln(-1+√(1+1))=ln(√2-1)。所以f(1)=-ln(√2-1)=ln(√2+1)。F(0)=ln(√2+1)。当x<0时，令t=-x>0。则1-x=1+t>1。F(x)=f(x)+f(1-x)=f(-t)+f(1+t)。由于f(x)是奇函数，f(-t)=-f(t)=-ln(t+√(t²+1))。f(1+t)=ln((1+t)+√((1+t)²+1))。F(x)=-ln(t+√(t²+1))+ln((1+t)+√(1+2t+t²+1))=-ln(t+√(t²+1))+ln((1+t)+√(t²+2t+2))。分母化简：(1+t)+√(t²+2t+2)=1+t+√((t+1)²+1)。分子分母同乘conjugate：(t+√(t²+1))*[(1+t)-√(t²+2t+2)]/[(1+t)+√(t²+2t+2)]*[(1+t)-√(t²+2t+2)]=[(t+√(t²+1))*(1+2t+t²-(t²+2t+1)