《信号与系统》-第2章

2.1

LTI系统的数学模型与传输算子2.1.1建立LTI系统的数学模型有两类建立系统模型的方法，

一是输入输出描述法，

二是状态变量描述法。上式是一个微、积分方程，对方程两边求导，并代入系数，整理为这是二阶系统的数学模型——二阶线性微分方程。例2.1-1如图2.1-1所示的RLC

串联电路，

e(t)为激励信号，响应为i(t),

试写出其微分方程。解这是有两个独立动态元件的二阶系统，利用KVL定理列回路方程，可得图2.1-1-RLC串联电路一般有n个独立动态元件组成的系统是n阶系统，可以由n

阶微分方程描述(或n

个一阶微分方程组描述)。还可以从另一个角度判断一般电路系统的阶数：系统的阶数等于独

立的电容电压vc(t)与独立的电感电流i(t)的个数之和。其中

独立vc(t)是不能用其他vc(t)(可含电源)表示的；独立i(t)是不

能用其他i(t)(可含电源)表示的。例2.1-2如图2.1-2所示电路，判断系统阶数。解

(1)列电路(a)的KVL

方程：R₁i₁(t)+Vc₁(t)+vc₂(t)=e(t),c₂(t)=VR₂(t),

有两个独立的vc(t),

所以该系统是二阶系统。(2)列电路(b)

的KVL方

程：Vc₁(t)=vc₂(t)+Vc₃(t),是

通

过

其他vc(t)表示的，是非独立的vc(t);但

vc₂(t)≠Vvc₃(t),

有

两

个

独立的vc(t),所以该系统也是二阶系统。图2.1-2-例2.1-2电路(2.1-1)式(2.1-1)的一般形式书写起来不方便，为了形式上简洁，

可以将微、积分方程中的微、积分运算用算子符号p

与1/p表示，由此得到的方程称为算子方程。2.1.2用算子符号表示微分方程n阶

LTI

系统的数学模型是n阶线性常系数微分方程，一般表示为(2.1-2)(2.1-3)(2.1-4)这样，例2.1-1电路的微分方程可以表示为p²i(t)+5pi(t)+6i(t)=pe(t)微分算子积分算子式(2.1-1)的n

阶线性微分方程可以用算子表示为p"y(t)+an-1p"⁻¹y(t)+…+a₁py(t)+aoy(t)=bmp"f(t)+bm-1P"⁻¹f(t)+…+b₁pf(t)+b₀f(t)

(2.1-5)式(2.1-5)是算子方程。算子方程中的每一项表示的是运算关系，而不是代数运算。不过模仿代数运算，可以将式(2.1-5)

写为(p"+a-1p"⁻¹+…+a₁p+a₀)y(t)=(bm2"+b-1p"⁻¹+…+b₁p+b₀)f(t)(2.1-6)式(2.1-6)是n

阶线性微分方程的算子方程。在这里，利用了提取公因子的代数运算规则。若再令D(p)=p”+am-1p”⁻¹+…+a₁p+an(2.1-7a)N(p)=bp”+bn-1p"-¹+…+b₁p+b₀

(2.1-7b)称D(p)、N(p)分别为分母、分子算子多项式，则式(2.1-6)可简化为D(p)y(t)=N(p)f(t)

(2.1-8)式中，分母多项式D(p)

表示对输出y(t)的运算关系，分子多项式N(p)

表示对输入f(t)的运算关系，而不是两个多项式相

除的简单代数关系。式(2.1-8)还可以进一步改写为(2.1-9)=[p²+(a+b)p+ab]x这样例2.

1-1的算子方程(p²+5p+6)i(t)=pe(t)

还可以表示为

(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)(p+a)(p+b)x=[p²+(a+b)p+ab]x证(1)可进行类似代数运算的因式分解或因式相乘展开。(2.1-10)(2)算子方程左、右两端的算子符号p

不能随便消去。由

解出x=y+C

而不是x=y,

两者相差一个任意常数

C,

所以不能由px=py得到x=y,

即px=py,

但x≠y。这一结论可推广到一般的算子方程：D(p)x=D(p)y,

但

x≠y(3)p、1/p

位置不能互换。因为所以

(2.1-11)而因此(2.1-12)2.1.3用算子电路建立系统数学模型利用算子电路建立系统数学模型比较方便，这种方法简

称算子法。它是先将电路中所有动态元件用算子符号表示，

得到算子电路；再利用广义的电路定律，建立系统的算子方

程；最后将算子方程转换为微分方程。电感的算子表示可由

其电压电流关系得到，因为式中，Lp

是电感算子符号，若理解为广义的电感感抗，则式(2.

1-13)满足广义欧姆定律。(2.1-13)同理，由电容上的电压电流关系得到(2.1-14)例2.1-3如图2.1-1所示RLC

串联电路，输入为e(t),输出为电流i(t),用算子法列出算子方程与微分方程。图2.1-3-例2.1-3的算子电路两边同时作微分运算(“前乘”p),

得算子方程(p²+5p+6)i(t)=pe(t)由上面的算子方程写出微分方程为解将图2.1-1中的电感、电容用算子符号表示，得到算子电路如图2.1-3所示，利用广义的KVL,列出算子方程式结果与例2.1-1相同。例2.

1-4

如图2.

1-4(a)电路

，f(t)为

激

励

信

号

，

响

应

为i₂(t),试用算子法求其算子方程与微分方程。1Ω

2Hi₁(1)

1H3(a)图2.1-4-例2.1-4电路与算子电路1Ωi₂(t)十

f(t)20(b)由式(2.

1-7)与式(2.

1-8),可写成(p²+5p+3/2)i₂(t)=0.5pf(t)列出两个算子方程利用克莱姆法则，解出解将图2

.

1

-

4(a)

中的电感用算子符号表示，如图2.

1-4(b)所示，利用广义网孔法微分方程为也可以写成例2.1-5

如图2.1-5(a)所示电路输入为e(t),

输出为i₁

(t)、i₂

(t),

用算子法求其算子方程与微分方程。已知L₁=1H,L₂=2H,R₁=2Ω,R₂=1Ω,C=1F。图2.1-5-例2.1-5电路与算子电路为避免在运算过程中出现p/p因子，可先在上面的方程组两边同时作微分运算，即“前乘”p(当分子分母同时出现p

时可

约),得到解将图2.1-5(a)中的电感、电容分别用算子符号表示如图2.1-5(b)所示，利用广义网孔法，列算子方程组由式(2

.

1-

7)与式(2

.

1-8),可得(2p³+5p²+5p+3)i₁(t)=(2p²+p+1)e(t)微分方程为利用克莱姆法则，解出(2p³+5p²+5p+3)i₂(t)=e(t)微分方程为用相同的方法，可以得到这样，系统的输出可以表示为y(t)=H(p)f(t)(2.1-15)(2.1-16)我们定义传输(转移)算子H(p)

为2.1.4传输(转移)算子H(p)由式(2.1-9)有例2.1-6求例2.1-1激励为e(t),响应为i(t)的系统传输算子

H(p)。解

例2.1-1的算子方程为(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)则由得到例2.1-7

求例2.1-4激励为f(t),响应为i₂

(t)的系统传输算子

H(p)。解

例2.1-2的算子方程为则由得到例2.1-8求例2.1-5激励为e(t),响应为i₁(t)

时的系统传输算子H₁(p);激励为f(t),响应为i₂(t)

时的系统传输算子

H₂(p)。解

由可得2.2

LTI因果系统的零输入响应2.2.1零输入响应零输入响应与激励无关，其数学模型是齐次微分方程。

将f(t)=0

代入式(2.1-8)的算子方程，得到式(2.2-1)中D(p)是系统的特征多项式，D(p)=0是系统的特征方程，使D(p)=0的值是特征方程的根，称为系统的特征根。D(p)y(t)=0

(2.2-1)一般n

阶齐次微分方程所给的初始条件是零输入响应的标准初始条件y;(0),

(0)。该标准初始条件可简记为

(0)(k=0,1,2,…,n-1)或。为强调零输入响应是由系统换路前储能引起的换路后系统响应，初始条件中的0可加下标用

0+表示为yzi

。为了减少符号，书写简便，零输入响应的初始条件还可记为{yk(0)}或

,且

(k=0,1,2,…,n—1)

(2.2-2)式(2.2-2)表明，除非特别说明，本书所给初始条件是零输入初始条件。下面，先讨论一阶系统零输入响应求解的一般方法，再讨论二阶系统零输入响应求解的一般方法，最后是n

阶系统零输入响应求解的一般方法。一阶齐次微分方程为y(t)=y(0)et>0

(2.2-4)由式(2.2-4)可知，此时解的一般模式取决于特征根λ,而解的系数由初始条件确定。

二阶齐次微分方程的一般算子形式为得特征根p=λ,

其解(零输入响应)的一般形式为由系统的特征方程p-λ=0,(2.2-3)(2.2-5)由

p²+a₁p+a

。=(p一λ₁)(p一

λ2)=0,得到二阶系统的两个特征根λ₁

、λ2。与一阶齐次微分方程相同，二阶齐次微分方程解的模式取决于两个特征根λ₁

、λ2,其表达式为y(t)=C₁e¹ᵗ+C₂e^2t>0(2.2-6)式中，系数C₁

、C₂

由两个初始条件y(0)

、y'(O)确定。

(2.2-7)解此方程组，求出C₁

、C₂,从而确定了二阶系统的零输入响应。以上是二阶系统特征根不同的情况，如果p²+a₁p+ao=(p一λ)²=0,特征根相同，则是二阶重根，此时二阶齐次微分方程解的形式为y(t)=C₁e+C₂te

t>0

(2.2-8)系数C₁

、C₂

仍由两个初始条件y(0),y'(0)

确定n

阶齐次微分方程的算子形式为(2.2-9)由特征方程D(p)=p”+an-1p”⁻¹+…+a₁p+ao=(p

一

λ₁)(p—λ2)…(p一

λn)=0(2.2-10)可以得到n

个特征根λ₁、λ2、…、λn,n阶齐次方程解的模式取决于这n个各不相同的特征

根，表达式为 t>0

(2.2-11)

n

个系数C₁

、C₂

、

…

、C,由

n个初始条件y(0)

、y'(O)

、y"(0)

、

…

、y”-1)(0)确定。(2.2-12)常数C₁

、.

…

.

、Cn

可用克莱姆法则解得，或用逆矩阵表示为式(2.2-12)可用矩阵形式表示为(2.2-

14)(2.2-13)若n阶系统的特征方程为D(p)=(p—λ₁)*(p—λ+1)…(p—λ)=0(2.2-15)则此时λ₁为k

重根，其余均为单根。重根λ1_对应齐次解的一般形式为(C₁+C₂t+…+C.t-

¹)e¹ᵗ

(2.2-16)当只有一个特征根λ1为k

重根时，齐次通解y₂;(t)的一般形式为(2.2-17)例2.2-1

已知系统的传输算子

初始条件y;(0)=1,,试求系统的零输入响应。解

特征根λ₁=-3,λ₂=-4由式(2.2-6),零输入响应形式为y;(t)=C₁e⁻³+C₂e⁻“t>0将特征根及初始条件y(0)=1,y'(0)=2代入式(2.2-7)

解出

最后

y,;(t)=6e⁻³-5e⁻

t>0例2.2-2已知电路如图2.2-1所示，开关K在t=0时闭合，初始条件i₂(O)=0,i'₂(O)=-1A/s。求零输入响应i₂(t)。1Ht=0X

Ke(t)

i₁(t)

12

i₂(t)

1F图2.2-1-例2.2-2电路解先

求e(t)→i₂(t)

时的H(p)解出则代初始条件t>02.2.2初始条件标准化n

阶电路系统的储能情况，通常由n

个独立储能元件的

初始状态{x(0)}

表示。在求零输入响应时，需要把这样的

初始状态，即非标准初始条件转变为所需要的零输入响应标

准初始条件y₂(i)(0+)(k=0,1,2,..,n-1),

这个过程就叫

做零输入响应初始条件标准化，简称初始条件标准化。例2.2-3

已知电路如图2.2-2,且i(0)=1A,vc(0)=10V,求

i(t)。R=5Ω

L=1H

i(0_)十f(t)

i(t)

6F

vc(0_)图2.2-2-例2.2-3电路D(p)=(p+2)(p+3),λ1=-2,λ2=-3i;(t)=C₁e⁻²+C₂e-³t>0解先

求f(t)→i(t)

的H(p)。(p²+5p+6)i(t)=pf(t)标准初始条件应为i(0+)与,这就需要将两个已知的非标准初始条件i(0_)

、vc(0_)

转变为标准初始条件i;(0+)

、。此电路中的电感电流及电容电压不会突变，即有vc(0_)=vc(0+)=10V

、i(0_)=i(0+)

。又因为

i(t)=i₁(t),所以可得到i₁(0+)=i₂(0+)=1A(标准初始条件之一);而

就需要由0+电路及非标准初始

条件解出。列电路方程为将i;(0+)=1、vc(0+)=10代入上式，有5+i;(0+)+10=0由上式解得i;(0+)=-15A/s(标准初始条件之二)。由标准初始条件得到方程组将t=0+

及

f(t)=0代入上式，得5i₂(0+)+i:(0+)+vc(0+)=0代入i;(t)

得到iz;(t)=-12e⁻²+13e⁻³

t>0解出例2.2-4

电路如图2.2-3所示，已知i(0)=1A,vc(0)=1V,求

i₂;(0+),i'2z;(0+),i2zi(t)。i(1)

L=1Ht=0X

KR₂1Ω

i2(t)图2.2-3-例2.2-4电路C=1Fvc(t)i₁(t)e(t)将e(t)=

0、t=0+、i₁=i

以及R、L、C

参数值代入，得到

(A)-i₁(0+)+i₂(0+)+vc(0+)=0

(B)

由式(B),i₂(0+)=i₁(0+)-vc(0+)=0,代入式(A)i(0+)+i₁(0+)=0→i(0+)=-i₁(0+)=-1

A/s对式(B)求导-i₁(0+)+i₂(0+)+v.(0+)=0因为

,代入上式得到标准化初始条件：,与例2.2-2的标准化初始条件相同，解得结果相同，

不再重复。解

此题也有非标准化初始条件转化为标准化初始条件的问题。由网孔KVL

方程组：2.3

LTI因果系统的零状态响应2.3.1单位冲激响应h(t)输入为单位冲激信号δ(t)时，系统的零状态响应定义为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t),如图2.3-1所示。δ(t)

H(p)

h(t)图2.3-1-单位冲激响应h(t)=H(p)δ(t)δ(t)→h(t)n

阶线性系统的传输算子为h(t)由传输算子表示为(2.3-1a)(2.3-1b)或记为(2.3-2)为分析简便，更突出求解单位冲激响应的基本方法，假设H(p)的分母多项式D(p)

均为单根，将分母多项式D(p)分解，并代入式(2.3-1a),

得到(2.3-3a)(2.3-3b)(2.3-3c)将其展开为部分分式之和式中式(2.3-3a)中的系数A₁~A,由待定系数法确定，上式表明一个n

阶系统可以分解为n

个一阶子系统之和。首先讨论一阶系统的单位冲激响应的一般表示，再将结果推广至高

阶系统。式(2.3-3c)是一阶子系统的单位冲激响应的算子表示。由式(2.3-3c)分别得到一

阶系统的算子方程及微分方程为(p一λ;)h;(t)=A;δ(t)

(2.3-4a)

(2.3-4b)对式(2.3-4b)的微分方程求解，先在式(2.3-4b)的等式两边同时乘以e⁻i,即e⁻ith;(z)I_=A;u(t)e⁻i'h;(t)—h;(0_)=A;u(t)上式左边正是h;(t)e⁻i

的全微分，即对上式两边同时积分代入式(2.3-3b),

得

到n

阶系统的单位冲激响应为由于因果系统的hi(O)=0,

因此一阶子系统冲激响应的一般项为(2.3-5)(2.3-6)利用式(2.3-5),可得h(t)=(3e³—2e-²t)u(t)例2.3-1求例2.1-6系统单位冲激响应h(t)。解

例2.1-6的传输函数由待定系数法分解为例2.3-2

如图2.3-2所示电路，输入为电流源i(t),输出为电容电压vc(t),试求系统的冲激响应h(t)。十C=0.1F:

c(t)ic(1)一7Ωi(②)L=1H图2.3-2-例2.3-2电路i(t)解

由广义

KCL

列算子节点方程i(t)+ic(t)=i(t)H;(p)A/(p—λ)ApAA₁₂/(p-

λ)²h;(t)Ae“u(t)A8'(t)Aδ(t)A₁₂

teu(t)表2-1列出了部分

H(p)与其对应的h(t),可以直接应用。表

2

-

1

H(p)

所对应的h(t)2.3.2系统的零状态响应y(t)当系统的初始状态(储能)为零时，仅由激励f(t)引起的响

应是零状态响应yz(t)。利用系统的单位冲激响应以及LTI

系

统的时不变性、比例性以及积分特性，我们可以得到因果系

统的零状态响应yzs(t)。根

据

LTI

系统的时不变性，当输入移位时，δ(t)→h(t)

输

出也移位t,可以得到δ(t—t)→h(t

一τ)(2.3-7)f(z)δ(t—t)→f(z)h(t—t)

(2.3-8)再利用LTI

系统的积分特性，若输入信号是原信号的积分，输出信号亦是原信号的积分，最后得到即

(2.3-9)根据LTI

系统的比例性，当输入乘以强度因子f(z)时，输出也乘以强度因子f(τ),

又得到例2.3-3如图2.3-3所示电路，已知激励f(t)=u(t),用时域法

求i(t)。图2.3-3-例2.3-3电路(t)将f(t)、h(t)代入式(2.3-9)得解年

(pL+R)i(t)=f(t)h(t)=e⁻¹u(t)2.4卷积及其性质2.4.1卷积卷积积分指的是两个具有相同自变量t的

函

数f₁(t)与f₂(t)相卷积后成为第三个相同自变量t的函数y()。这个关系表示

为(2.4-1)此式与式(2.3-9)相同，是在因果系统条件下卷积的特例。最后设f₁(t)

、f₂(t)均为因果信号，即

f₁(t)=f₁(t)u(t),f₂(t)=f₂(t)u(t),将上面的结果代入式(2.4-1),不难得到 t>0

(2.4-3)式(2.4-3)是在因果信号、因果系统条件下卷积公式的特例。此式是在因果信号条件下卷积的特例。再设f₂(t)为因果信号，即f₂(t)=f₂(t)u(t),但

f₁(t)不受此限，则设

f₁(t)为因果信号，即f₁(t)=f₁(t)u(t),而

f₂(t)不受此限，则有(2.4-2)=f(t—t₁)由式(2.4-5)可知，任意函数与

δ(t-t₁)卷积，相当于该信号通过一个延时(移位)器，

如图2.4-

1所示。2.4.2任意函数与δ(t)、u(t)卷

积(1)f(t)*δ(t)=f(t)

(2.4-4)从

f(t)与

δ(t)

卷积结果可知δ(t)是卷积的单位元。(2)f(t)*δ(t-t₁)=f(t-t₁)

(2.4-5)f(t)

δ(t-t)

→f(t

一t₁)

延

时t₁

→

f(t

一t)图2.4-1由式(2.4-7)可知，任意因果信号与u(t)卷积，相当于信号通过下限为0的积分器，如图2.4-3所示。图2.4-2特别的，若f(t)是因果信号，则由式(2.4-6)可知，任意函数与u(t)卷积，相当于信号通过一个积分器，如图2.4-2所示。图2.4-3

任意因果信号与u(t)卷积(2.4-6)(2.4-7)2.4.3卷积的性质1.

时

移f(t—to

一

t₁)=f₁(t-to)*f₂(t-t₁)=f₁(t-t₁)*f₂(t-t₀)=f₁(t-to

一t₁)*f₂(t)=f₁(t)*f₂(t—t₀一

t₁)

(2.4-8)=f₁(t)*f₂(t-t一t₁)同理可证式(2.4-8)的其他形式。当f₁(t)

、f₂(t)

、f₃(t)分别满足可积条件时，一些代数性质也适合卷积运算。令τ

-t₀=x,代入上式，得2.交换律f₁(t)*f₂(t)=f₂(t)*f₁(t)

(2.4-9)f₂

(t)*f₁

(t)也称为卷积的第二种形式，式(2.4-9)实际应用意义如图2.4-4所示。证f₁(t)*(令t-t=x,dz=-dx)(再令

x=t)f₁(t)

一

f₂()

y(t)

f₂(1)

f₁(t)

y(t)图2.4-4-交换律的实用意义(激励与系统的作用可互换)3.分配律f₁(t)*[f₂(t)+f₃(t)]=f₁(t)*f₂(t)+f₁(t)*f₃(t)(2.4-10)证=f₁(t)*f₂(t)+f₁(t)*f₃(t)式(2.4-10)实际应用意义如图2.4-5所示。f₂(t)f₁(t)

一

f₂(t)+f₃(t)

f₁(t)

·

y(t)f₃(t)图2.4-5-分配律的实用意义(并联系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和)4.结合律f₁(t)*[f₂(t)*f₃(t)]=[f₁(t)*f₂(t)]*

f₃(t)

(2.4-11)证,τ=λ+x,dt=dx,代入上式式(2.4-11)实际应用意义如图2.4-6所示。f₁(t)f₂(t)

f₃(t)y(t)

f₁(t)

f₂(1)*f₃(1)y(t)图2.4-6-结合律的实用意义(级联系统的冲激响应等于各子系统冲激响应的卷积)2.4.4卷积的图解法卷积的图解法是计算卷积的基本方法，优点是可以直观

确定积分限、积分条件，并且作图方便。图解法具体步骤为(1)f(t)→f(z),

函数图形不变，仅t→T。(2)h(t)→h(t-T),它包括两部分运算：①折叠h(t)→h(τ)→h(-T);(3)将折叠移位后的h(t-T)与f(T)相

乘

。(4)求h(t-t)与f(T)相乘后其非零值区的积分(面积)。是

h(一τ)与h(t—t)

之间的“距离”。左移

,t右移②

移

位图2.4-7例2.4-1的f(t)、h(t)解

具体计算如图2.4-8所示。第2种计算方法，如图2.4-9所示。例2.4-1f(t)、h(t)如图2.4-7所示，求y(t)=f(t)*h(t)。(b)

当0<K1时

，h(t

一z)与ft)

非零值区不重叠，h(t一z)·ft)=0,

所

以ft)*h(t)(c)当1<K<2时，h(t

一t)

与f(t)

非零值区重叠的

区间为0～t,

所以th(t

一t)h(t一t)0y(1)E/2图2.4-8例2.4-1图解法示意图f(z)h(一t)t=0(b)(c)(d)(e)(d)

当t>2

时，h(t一z)与ft)非零值区重叠的

区间为1～2,所以(a)

将h(一τ)(t=0)的端点0标注为t,

ft)*h(t)=0(a)

h(t-r)0<t<1(e)最后，得到()如图所示。t>2E(a)将(一z)(t=0)

的两个端点-2和-1

分别标注为t-2

与t-1。(b)当0<<1时，ft一z)与h(z)非零值区不重叠，

ft

一r)·h(z)=0,

所以f(t)*h(t)=0。(c)当1<1<2时，ft一t)与h(z)非零值区重叠的区间为0～t-1,

所以f(一z)t=0(a)(b)f(t一t)图2.4-9例2.4-1第2种图解法示意图t-20<<1t-21<K2t-1t-1E(d)当>2时，ft-z)与h(t)非零值区重叠的

区间为t-2～t-1,所以t-2iy(1)ot-2(c)Eft一t)最后，得到(1)如图2.4-9(e)所示，与第1种方法相同。t-1(d)2

(e)h(z)0E/2>22.4.5卷积的微分与积分性质(1)微分式(2.4-12)表示对两个函数的卷积函数微分，等于对其中一个函数微分后再卷积。由卷积的第二种形式，同理可证(2.4-12)证由卷积的第二种形式同理可证(2)积分(2.4-13)证(3)微、积分性若y(t)=f₁(t)*f₂(t)则yi)(t)=fi(t)*f₂i-j(t)(2.4-14)其中，i、j

取正整数时为导数的阶次，

i、j取负整数时为重积分的阶次。特别地，=f₁(t)*f₂(t)(2.4-15)证式中，g(t)是系统对单位阶跃信号的零状态响应，也简称单位阶跃响应。利用式(2.4-15)的结果，可由f(t)与h(t)的卷积公式推出f(t)与阶跃响应g(t)的卷积公式，即y(t)=f(t)*h(t)=f'(t)*(2.4-16)例2.4-2-f(t)、h(t)如图2.4-7所示，用微、积分性质求y(t)=f(t)*h(t)。解

f'(t)=E[δ(t-1)

一

δ(t—2)]图2.4-10例2.4-2的f(t)

和g(t)*y(t)=f(t)*h(t)=f'(t)*g(t)结果与例2.4-1相同。2.5

LTI因果系统的全响应及其经典方法求解2.5.1全响应由前两节的分析可知，由系统的储能及激励可分别求出系统的零输入响应和零状态响应，系统的全响应y(t)为两者

之和，即y(t)=y(t)+y(t)

(2.5-1)y(t)对应的标准初始条件为{y(k)(0+)}。利用线性系统的可分解性，可以将标准全响应初始条件{y(k)(0+)}分解为标准零状态初始条件及标准零输入初始条件，

即其

中

，

分别是零状态标准初始条件、零输入标准初始条件。(2.5-2)若激励为零，则零状态响应yz(t)=0,此时式(2.5-2为

(2.5-3)为避免符号太多的困扰，再次约定在求解零输入响应时

(2.5-4)即不特别指出的，本书微分方程所给定的初始条件均是用于求解零输入响应的。例2.5-

1

已知某线性系统的传输算子为

,激励f(t)=u(t),初始条件y₂;(O)=1,,求系统的全响应y(t)。解

由特征根及初始条件y₂(0)=1,y;(0)=2,求得零输入响应为y₂;(t)=(C

。+C₁t)e⁻'u(t)yz;(0)=1=C。y₂(0)=-C

。+C₁=2,

得

C₁=3y₂;(t)=(1+3t)e⁻'u(t)在求零状态响应时，传输算子的分子、分母相同项可以相约。因为即使不约，该项的系数一定为零，所以传输算子h(t)=e'u(t)得零状态响应ys(t)=f(t)*h(t)=u(t)*e⁻'u(t)利用例2.3-3的结果yzs(t)=(1-e')u(t)全响应y(t)=yzi(t)+y(t)=(1+3t)e⁻u(t)+(1-e⁻¹)u(t)

=(1+3te⁻¹)u(t)2.5.2全响应的其他分解全响应可分解为零输入响应与零状态响应外，还可以从

其他角度出发，分解为不同分量。从响应与系统或激励的关

系可分为自然(由)响应与受(强)迫响应。其中由系统特征根

决定模式的响应定义为自然(由)响应；与激励模式相同的响

应定义为受(强)迫响应。显然，零输入响应是自然(由)响应；

零状态响应是既有受(强)迫响应，也有自然(由)响应。由于系统的特征根与自然(由)响应的关系，因此系统的特征根还有一个专业名称——系统的自然(由)频率。由这个

定义可以比较自然(由)频率与一般周期信号振荡频率的区别。从响应随时间t趋于无穷是否消失，响应还可分为瞬(暂)

态响应与稳态响应。其中瞬(暂)态响应是响应中随着时间增

长而消失的部分，稳态响应是响应中随时间增长不会消失的

部分。例如e-u(t)是瞬(暂)态响应，而3sinwt.u(t)、u(t)是稳态

响

应

。例2.5-2试指出例2.3-3各响应分量及自然频率。解i(t)=(1-e⁻¹)u(t)=u(t)一e⁻'u(t)受迫、稳态

自然、瞬(暂)态零状态响应即例2.3-3响应i(t)是零状态响应，其中的e-tu(t)是自然(由)响应、瞬(暂)态响应，

u(t)是受(强)迫响应、稳态响应。自然

频率=特征根λ=-1。零输入响应

零状态响应受迫、稳态

自然、瞬(暂)态即例2.5-1全响应y(t)

中的零输入响应yz;(t)=(1+3t)e⁻'u(t)零状态响应yzs(t)=(1-e¹)u(t)u(t)是受(强)迫响应、稳态响应；3te⁻'u(t)是自然(由)响应、瞬(暂)态响应。

自

然

频

率

=

特

征

根λ

=

-

1例2.5-3试指出例2.5-1各响应分量及自然频率。十

3te⁻')u(t)2.5.3经典法求解系统微分方程一般n

阶

LTI

系统的微分方程可由式(2.1-1)表示为初始条件为y(0+),y'(0+),…,y(n-1)(0+)。式(2.1-1)的特征方程为p”+an-1p"-¹+…+a₁p+ao=0(2.5-5)由特征方程，可求得特征根(p一λ1)(p一λ

2

)

…(p一

λn)=0

(2.5-6)假设特征根均为单根λ₁,λ2,

…,λ,由其得到齐次通解

yn(t)

的一般形式：

(2.5-7)式中λ;为特征根。若λ₁为

k

重根，其余均为单根，特征方程为(p一λ₁)*(p

一λk+1)…(p

一

λn)=0(2.5-8)重根λ₁对应的齐次通解一般形式为(C₁+C₂t+…+Ct-

¹)e^¹(2.5-9)当只有一个特征根λ₁为

k

重根时，微分方程齐次通解yn(t)

的一般形式为

(2.5-10)若还有其他特征根是重根的，处理方法与λ为重根时相同。

微分方程特解的形式与激励形式相同，如表2-2所示，代入原方程中得到具体系数。微分方程的完全解由齐次通解

与特解两部分组成，即完全解为最后，由给定的n

个初始条{y(k)(0+)}可以确定n

个Ci

系数。(2.5-

11)激

励特

解A(常数)B(常数)t"C₁

t"+C₂

t"⁻¹+…+C,t+Cn+1e“Ce“coswtC₁

coswt+C₂

sinotsinott"e“coswt(C₁

t"+C₂

t"+…+C,t+Cn+1)e“cosot+(D₁

t"+D₂

t"⁻¹+…+Dt+Da+1)e“sinwtt"e“sinot表

2

-

2

典型激励对应的特解1.计算例2.3-1冲激响应clear;b=[010];a=[156];sys=tf(b,a);t=0:0.1:10;y=impulse(sys,t);plot(t,y);axis([—0.2,4,—0.2,1.1]);

line([-0.2,4],[0,0]);xlabel('时间(t)');ylabel('h(t)');10.8

0.6

0.4

0.20一0.2title('例2.3-1的单位冲激响应);波形如图2.6-1所示。2.6.1求系统的冲激响应与阶跃响应2.6基于MATLAB的时域分析图2.6-1-例2.3-1冲激响应波形2.求例2.3-3系统阶跃响应的

MATLAB

程序clear;b=[1];a=[11];sys=tf(b,a);t=0:0.1:10;y=step