函数最值与导数3导学案-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

高中数学选择性必修二导学案第第页第五章一元函数的导数及其应用5.3.3函数最值与导数3【导学】导学目的1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别；2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.【重点】理解函数的最值的概念，掌握函数的最值和极值的区别；【难点】掌握含参函数的最值和极值问题和恒成立问题.【知识要点】函数最值的概念如果在函数f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为函数的定义域上的最大值.如果在函数f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为函数在定义域上的最小值.求函数的最值(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.归纳总结：一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a，b)内的连续函数f(x)不一定有最大值与最小值.求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．分离参数求解不等式恒成立问题的步骤不等式恒成立问题的转化若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式（有解）问题的转化若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，，则对不等式有解问题不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；题型一求函数的最值【例1-1】求下列各函数在给定区间的最大值与最小值.(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1].【例1-2】设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值.题型二含参数函数的最值【例2-1】已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值.【例2-2】设a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.【例2-3】函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【例2-4】已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（

）A． B．C． D．题型三函数最值得综合应用【例3-1】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－eq\f(2,3)与x＝1处都取得极值.(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[