山东省济南市第一中学2026届高一上数学期末复习检测试题含解析

山东省济南市第一中学2026届高一上数学期末复习检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的最小值为（）A. B.C. D.2．已知直线l经过两点，则直线l的斜率是（）A. B.C.3 D.3．已知函数是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则A.4 B.2C.-2 D.-44．设且，若对恒成立，则a的取值范围是（）A. B.C. D.5．已知函数是定义域为R的奇函数，且，当时，，则等于（）A.－2 B.2C. D.－6．已知函数fx=2x2+bx+c（b，c为实数），f-10=f12.若方程A.4 B.2C.1 D.17．一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（）A.0 B.1C.3 D.48．设一个半径为r的球的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B，其坐标分别为（1，2，2），（2，-2，1），则（）A. B.C. D.9．函数与的图象在上的交点有（）A.个 B.个C.个 D.个10．函数的部分图像是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数满足，若函数与图像的交点为，，，，，则__________12．已知角终边经过点，则___________.13．若，且，则上的最小值是_________.14．当时，函数的值总大于，则的取值范围是________15．若“”为假命题，则实数m最小值为___________.16．已知球有个内接正方体，且球的表面积为，则正方体的边长为__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知（1）求的值（2）求18．已知是偶函数，是奇函数，且，（1）求和的表达式；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求的最大值19．对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并20．阅读材料：我们研究了函数的单调性、奇偶性和周期性，但是这些还不能够准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，图象在上都是上升的，但是却有着显著的不同.如图1所示，函数的图象是向下凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的下方，此时函数称为下凸函数；函数的图象是向上凸的，在上任意取两个点，函数的图象总是在线段的上方，则函数称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.定义1：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的下方.定义2：设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征：曲线上任意两点之间的部分位于线段的上方.上凸（下凸）函数与函数的定义域密切相关的.例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复，属于整体性质；而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向，属于局部性质.关于函数性质的探索，对我们的启示是：在认识事物和研究问题时，只有从多角度、全方位加以考查，才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题：（1）请尝试列举一个下凸函数：___________；（2）求证：二次函数是上凸函数；（3）已知函数，若对任意，恒有，尝试数形结合探究实数a的取值范围.21．已知关于的不等式（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间的长度为，若，求该不等式解集表示的区间长度的最大值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】用二倍角公式及诱导公式将函数化简，再结合二次函数最值即可求得最值.【详解】由因为所以当时故选：B2、B【解析】直接由斜率公式计算可得.【详解】由题意可得直线l的斜率.故选：B.3、B【解析】先利用周期性将转化为，再利用奇函数的性质将转化成，然后利用时的函数表达式即可求值.【详解】由可知，为周期函数，周期为，所以，又因为为奇函数，有，因为，所以，答案为B.【点睛】主要考查函数的周期性，奇偶性的应用，属于中档题.4、C【解析】分，，作与的图象分析可得.【详解】当时，由函数与的图象可知不满足题意；当时，函数单调递减，由图知，要使对恒成立，只需满足，得.故选：C注意事项：

用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

本卷共9题，共60分.5、B【解析】根据奇函数性质和条件，求得函数的周期为8，再化简即可.【详解】函数是定义域为R的奇函数，则有：又，则则有：可得：故，即的周期为则有：故选：B6、B【解析】由f-10=f12求得b=-4，再由方程fx=0有两个正实数根x1【详解】因为函数fx=2x2+bx+c（b所以200-10b+c=288+12b+c，解得b=-4，所以fx因为方程fx=0有两个正实数根x1所以Δ=16-8c≥0解得0<c≤2，所以1x当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，故选：B7、C【解析】根据题意设h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，求出φ、A、T和k、ω的值，写出函数解析式，计算f（t）+f（t+1）+f（t+2）的值【详解】根据题意，设h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，（φ＜0），则A＝2，k＝1，因为T＝3，所以ω，所以h＝2sin（t+φ）+1，又因为t＝0时，h＝0，所以0＝2sinφ+1，所以sinφ，又因为φ＜0，所以φ，所以h＝f（t）＝2sin（t）+1；所以f（t）sint﹣cost+1，f（t+1）＝2sin（t）+1＝2cost+1，f（t+2）＝2sin（t）+1sint﹣cost+1，所以f（t）+f（t+1）+f（t+2）＝3故选：C8、C【解析】由已知求得球的半径，再由空间中两点间的距离公式求得|AB|，则答案可求【详解】∵由已知可得r，而|AB|，∴|AB|r故选C【点睛】本题考查空间中两点间距离公式的应用，是基础题9、B【解析】在上解出方程，得出方程解的个数即可.详解】当时，解方程，得，整理得，得或.解方程，解得、、、或.解方程，解得、、.因此，方程在上的解有个.故选B.【点睛】本题考查正切函数与正弦函数图象的交点个数，可以利用图形法解决，也转化为方程根的个数来处理，考查计算能力，属于中等题.10、D【解析】根据函数的奇偶性和函数值在某个区间上的符号，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】∵是奇函数，其图像关于原点对称，∴排除A,C项；当时，，∴排除B项.故选D.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的单调性，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4【解析】函数f（x）（x∈R）满足，∴f（x）的图象关于点（1，0）对称，而函数的图象也关于点（1，0）对称，∴函数与图像的交点也关于点（1，0）对称，∴，∴故答案为：4点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题要充分注意到两个函数的共性：关于同一点中心对称.12、【解析】根据正切函数定义计算【详解】由题意故答案为：13、【解析】将的最小值转化为求的最小值，然后展开后利用基本不等式求得其最小值【详解】解：因为，且，，当且仅当时，即，时等号成立；故答案为：14、或，【解析】由指数函数的图象和性质可得即可求解.【详解】因为时，函数的值总大于，根据指数函数的图象和性质可得，解得：或，故答案为：或，15、【解析】写出该命题的否定命题，根据否定命题求出的取值范围即可【详解】解：命题“，有”是假命题，它否定命题是“，有”，是真命题，即，恒成立，所以，因为，在上单调递减，上单调递增，又，，所以所以，的最小值为，故答案为：16、【解析】设正方体的棱长为x，则=36π，解得x=故答案为三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】根据条件可解出与的值，再利用商数关系求解【小问1详解】，又，解得故【小问2详解】由诱导公式得18、（1），；（2）【解析】（1）根据已知的关系式以及函数的奇偶性列出另一个关系式，联立求出函数和的表达式；（2）先将已知不等式进行化简，然后可以分离参数，利用基本不等式求最值即可求解．【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，①，所以，即②，联立①②，解得：，，（2）因为，，由对于任意的恒成立，可得对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，所以，因为，当且仅当即时等号成立，所以，所以的最大值为19、（1）46（2）n的最大值为14【解析】（1）对于集合P7，有n=7．当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}中有3个数（1，2，3）与In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数为7×7﹣3=46（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都稀疏集，且A1∪B1=I14当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A2={，，，}，B2={，，}当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A3={，，，，}，B3={，，，，}最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9}中的数的分母都是无理数，它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14综上可得，n的最大值为1420、（1），；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）根据下凸函数的定义举例即可；（2）利用上凸函数定义证明即可；（3）根据（2）中结论，结合条件，函数满足上凸函数定义，根据数形结合求得参数取值范围.【小问1详解】，；【小问2详解】对于二次函数，，满足，即，满足上凸函数定义，二次函数是上凸函数.【小问3详解】由（2）知二次函数是上凸函数，同理易得二次函数为下凸函数，对于函数，其图像可以由两个二次函数的部分图像组成，如图所示，若对任意，恒有，则函数满足上凸函数定义，即，即.21、（Ⅰ）当时，原不等式的解为，当或时，原不等式的解集为，当或时，