2026届上海宝山同洲模范学校数学高二上期末检测模拟试题含解析

2026届上海宝山同洲模范学校数学高二上期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线与椭圆的焦点相同，则等于（）A.1 B.C.1或 D.22．设等差数列的公差为d，且，则（）A.12 B.4C.6 D.83．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小张在D处观测，测得A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）海里.A. B.C. D.104．下列命题错误的是（）A，B.命题“”的否定是“”C.设，则“且”是“”的必要不充分条件D.设，则“”是“”的必要不充分条件5．在中，，满足条件的三角形的个数为（）A.0 B.1C.2 D.无数多6．若将双曲线绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，且该函数在区间上存在最小值，则双曲线C的离心率为（）A. B.C.2 D.7．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，则实数m的取值范围为（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)8．不等式表示的平面区域是一个（）A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形9．为了调查修水县2019年高考数学成绩，在高考后对我县6000名考生进行了抽样调查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本，这项调查宜采用的抽样方法是（）A.系统抽样法 B.分层抽样法C.抽签法 D.简单的随机抽样法10．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）A.1 B.3C.9 D.8111．已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，M，N两点分别在C的左、右两支上，若四边形OFMN为菱形，则C的离心率为（）A. B.C. D.12．已知集合A={1，a，b}，B={a2，a，ab}，若A=B，则a2021+b2020=（）A.-1 B.0C.1 D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在梯形中，，，.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为______.14．如图的形状出现存南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最一上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设从上至下各层球数构成一个数列则___________.（填数字）15．经过、两点的直线斜率为______.16．不等式的解集是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求函数在内的零点个数.18．（12分）已知某中学高二物化生组合学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取了名学生，成绩分为A（优秀），B（良好），C（及格）三个等级，设，分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A等级的共有（人），数学成绩为B等级且物理成绩为C等级的共有8人，已知与均为A等级的概率是0.07（1）设在该样本中，数学成绩的优秀率是30％，求，的值；（2）已知，，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率19．（12分）如图1，已知正方形的边长为，分别为的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，点在线段上（含端点）运动，连接（1）若为的中点，直线与平面交于点，确定点位置，求线段的长；（2）若折成二面角大小为，是否存在点M，使得直线与平面所成的角为，若存在，确定出点的位置；若不存在，请说明理由20．（12分）如图，正方体的棱长为2，点，分别在棱，上运动，且.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积的最大值：（3）当，分别是棱，的中点时，求平面与平面的夹角的正弦值.21．（12分）在等差数列中，已知且（1）求的通项公式；（2）设，求数列前项和22．（10分）已知数列的前项和为，且满足，，成等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以椭圆焦点在轴上，依题意得解得.故选：A2、B【解析】利用等差数列的通项公式的基本量计算求出公差.【详解】，所以.故选：B3、C【解析】分别在和中，求得的长度，再在中，利用余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，可得，所以，在中，可得，在直角中，因为，所以，在中，由余弦定理可得，所以.故选：C.4、C【解析】根据题意，对四个选项一一进行分析，举出例子当时，，即可判断A选项；根据特称命题的否定为全称命题，可判断B选项；根据充分条件和必要条件的定义，即可判断CD选项.【详解】解：对于A，当时，，，故A正确；对于B，根据特称命题的否定为全称命题，得“”的否定是“”，故B正确；对于C，当且时，成立；当时，却不一定有且，如，因此“且”是“”的充分不必要条件，故C错误；对于D，因为当时，有可能等于0，当时，必有，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：C.5、B【解析】利用正弦定理得到，进而或，由，得，即可求解【详解】由正弦定理得，，或，，，故满足条件的有且只有一个.故选：B6、C【解析】由题意，可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，再确定参数的正负即可求解.【详解】双曲线，令，则，显然，则一条渐近线方程为，绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，则渐近线就需要旋转到与坐标轴重合，故渐近线方程的倾斜角为120°，即，该函数在区间上存在最小值，可知，所以，所以.故选：C7、B【解析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【详解】由题设，，当且仅当时等号成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故选：B.8、D【解析】作出不等式组所表示平面区域，可得出结论.【详解】由可得或，作出不等式组所表示的平面区域如下图中的阴影部分区域所示：由图可知，不等式表示的平面区域是一个梯形.故选：D.9、B【解析】考生分为几个不同的类型或层次，由此可以确定抽样方法；【详解】6000名考生进行抽样调查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本又文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较好故选：B.【点睛】本题主要考查的是分层抽样，掌握分层抽样的有关知识是解题的关键，属于基础题.10、A【解析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c关系列式计算即得.【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，于是得，解得，所以值为1.故选：A11、C【解析】由题意可得且，从而求出点的坐标，将其代入双曲线方程中，即可得出离心率.【详解】由题意，四边形为菱形，如图，则且，分别为的左，右支上的点，设点在第二象限，在第一象限.由双曲线的对称性，可得，过点作轴交轴于点，则，所以,则，所以，所以，则，即，解得，或，由双曲线的离心率，所以取，则故选：C12、A【解析】根据A=B，可得两集合元素全部相等，分别求得和ab=1两种情况下，a，b的取值，分析讨论，即可得答案.【详解】因为A=B，若，解得，当时，不满足互异性，舍去，当时，A={1，-1，b}，B={1，-1，-b}，因为A=B，所以，解得，所以；若ab=1，则，所以，若，解得或1，都不满足题意，舍去，若，解得，不满足互异性，舍去，故选：A【点睛】本题考查两集合相等的概念，在集合相等问题中由一个条件求出参数后需进行代入检验，检验是否满足互异性、题设条件等，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可【详解】梯形ABCD：由题意可知空间几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的圆锥，几何体的体积为：故答案为：14、【解析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到，即可得解【详解】解：由题意可知，，，，，，故，所以，故答案为：15、【解析】利用斜率公式可求得结果.【详解】由斜率公式可知，直线的斜率为.故答案为：.16、【解析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，根据分式不等式解法，然后转化为两个一元一次不等式组，注意分母不为0的要求，求出不等式组的解集即为原不等式的解集【详解】不等式得，故，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当，在单调递增；当，在单调递增,在单调递减.（2）0.【解析】（1）求得，对参数分类讨论，即可由每种情况下的正负确定函数的单调性；（2）根据题意求得，利用进行放缩，只需证即，再利用导数通过证明从而得到恒成立，则问题得解.【小问1详解】以为，其定义域为，又，故当时，，在单调递增；当时，令，可得，且令，解得，令，解得，故在单调递增，在单调递减.综上所述：当，在单调递增；当，在单调递增，在单调递减.【小问2详解】因为，故可得，则，；下证恒成立，令，则，故在单调递减，又当时，，故在恒成立，即；因为，故，令，下证在恒成立，要证恒成立，即证，又，故即证，令，则，令，解得，此时该函数单调递增，令，解得，此时该函数单调递减，又当时，，也即；令，则，令，解得，此时该函数单调递减，令，解得，此时该函数单调递增，又当时，，也即；又，故恒成立，则在恒成立，又，故当时，恒成立，则在上的零点个数是.【点睛】本题考察利用导数研究含参函数的单调性，以及函数零点问题的处理；本题第二问处理的关键是通过分离参数和构造函数，证明恒成立，属综合困难题.18、（1），（2）【解析】（1）根据与均为A等级的概率是0.07，求得值，再根据数学成绩的优秀率是30％求得值，最后利用抽取的总人数求出值即可；（2）根据，，，写出满足条件得基本事件，找出其中的基本事件，利用古典概型的公式求出概率即可.【小问1详解】由题意知，解得，，解得，由已知得，解得.【小问2详解】由，，，可知，则试验的样本空间，共9个样本点其中包含的样本点有共4个，故所求概率19、（1）是的延长线与延长线的交点，且（2）存在，使得直线与平面所成的角为，且.【解析】（1）通过延长、以及全等三角形确定点的位置并求得线段的长.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法判断符合题意的点是否存在.【小问1详解】延长，连接并延长，交的延长线于，由于，所以，所以.所以是的延长线与延长线的交点，且.【小问2详解】由于，所以平面，，由于平面，所以平面平面.建立如图所示空间直角坐标系，，设，，设平面的法向量为，则，故可设，由于直线与平面所成的角为，所以，整理得，解得或（舍去）存在，使得直线与平面所成的角为，且.20、（1）证明见解析（2）（3）【解析】(1)向量垂直的充要条件是内积为零，建立空间直角坐标系，计算向量内积；(2)利用一元二次函数，求解体积的最大值；(3)利用平面的法向量求二面角的正弦值.【小问1详解】如下图所示，以原点，，，所在直线分别轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，则，，因为，所以，即.【小问2详解】因为，所以故的最大值为【小问3详解】设平面的一个法向量，因为此时，，所以由得取，得，，又可取平面的一个