平面分段光滑三次微分系统极限环的深入剖析与比较研究

平面分段光滑三次微分系统极限环的深入剖析与比较研究一、引言1.1研究背景1.1.1微分系统极限环研究的重要性在实平面微分系统的定性理论中，极限环的研究占据着核心地位，具有极其重要的理论价值。极限环作为微分系统中一种特殊的孤立周期解，其存在性、稳定性、分布情况以及个数等问题的探究，为深入理解动力学系统的行为和性质提供了关键线索。从理论角度来看，极限环的研究与动力系统的稳定性、分岔理论等密切相关。例如，当系统参数发生变化时，极限环可能会通过分岔的方式产生或消失，这种现象揭示了系统在不同参数条件下的不同动力学行为，有助于我们从本质上把握动力系统的演化规律。在著名的Hopf分岔理论中，当系统的参数经过某个临界值时，原本稳定的平衡点会失去稳定性，同时产生一个稳定的极限环，这一理论在化学反应动力学、生物系统等多个领域都有广泛的应用。在实际应用方面，极限环的研究成果也具有重要的指导意义。在物理领域，许多振动现象都可以用具有极限环的微分系统来描述。如在电子电路中，某些振荡电路的输出信号可以看作是一个极限环，通过对极限环的研究，可以优化电路设计，提高电路的性能和稳定性。在生物学中，生物种群的周期性变化也可能与极限环有关，研究极限环有助于我们更好地理解生态系统的平衡和演化。1.1.2平面分段光滑三次微分系统的应用背景平面分段光滑三次微分系统在实际应用中具有广泛的背景，尤其在机械学、电子工程理论和自动控制理论等领域有着重要的应用。在机械学中，许多机械系统的运动方程可以用分段光滑三次微分系统来描述。例如，一些具有间隙、碰撞或摩擦的机械系统，由于其在不同运动状态下的力学特性不同，导致其运动方程呈现分段光滑的特点。当一个机械部件在运动过程中与其他部件发生碰撞时，碰撞前后的运动状态会发生突变，这种突变可以通过分段光滑的微分方程来准确刻画。研究这类系统的极限环，可以帮助我们预测机械系统的振动特性，优化机械结构设计，减少机械故障的发生。在电子工程理论中，平面分段光滑三次微分系统常用于描述一些非线性电路的行为。如在一些含有二极管、三极管等非线性元件的电路中，由于这些元件的伏安特性是非线性的，且在不同工作区域具有不同的特性，使得电路的状态方程表现为分段光滑的形式。通过对这类系统极限环的研究，可以深入了解电路的振荡特性，设计出性能更加优良的电子器件和电路系统。在自动控制理论中，许多控制系统也涉及到分段光滑三次微分系统。例如，一些具有切换控制策略的系统，在不同的控制模式下，系统的动力学方程会发生变化，从而形成分段光滑的微分系统。研究这类系统的极限环，对于优化控制策略，提高控制系统的稳定性和可靠性具有重要意义。在机器人控制中，当机器人在不同的工作环境或执行不同的任务时，需要切换不同的控制模式，通过研究分段光滑微分系统的极限环，可以确保机器人在不同控制模式下的平稳运行和准确控制。1.2研究目的与意义1.2.1目的本研究旨在深入探究两类平面分段光滑三次微分系统极限环的相关性质。具体而言，首要目标是确定这两类系统中极限环的个数。通过运用严谨的数学方法和理论，如一阶平均法、定性理论以及相图分析等，精确地估计出从系统的未扰系统周期环域中至少可以分支出的极限环个数。在研究具有分段二次不变曲线的分段光滑三次多项式微分系统时，借助一阶平均法，仔细分析系统在小扰动下的变化情况，从而得出该系统至少能产生的极限环个数。稳定性也是研究的重点之一。深入分析极限环的稳定性，对于理解系统的长期行为和动力学特性至关重要。稳定的极限环意味着系统在一定条件下会保持周期性的运动状态，而不稳定的极限环则可能导致系统行为的突变或混沌。通过研究极限环的稳定性，可以预测系统在不同参数条件下的运动趋势，为实际应用提供重要的理论依据。在自动控制理论中，了解控制系统中极限环的稳定性，可以帮助工程师设计出更加稳定可靠的控制系统，避免系统出现失控或振荡等不良现象。分布情况同样不容忽视。明确极限环在相平面内的分布规律，有助于全面掌握系统的动力学行为。不同区域的极限环可能对系统的整体性能产生不同的影响，因此研究其分布情况可以为系统的优化设计提供指导。在电子电路中，了解极限环在电路参数空间中的分布，可以帮助工程师选择合适的电路参数，使电路工作在理想的状态。1.2.2理论意义从理论层面来看，本研究对完善微分系统理论体系具有重要意义。长期以来，光滑微分系统的极限环研究已经取得了丰硕的成果，但分段光滑微分系统由于其自身的复杂性，相关研究仍存在许多空白和挑战。本研究致力于将极限环的研究从光滑系统拓展到分段光滑系统，填补了这一领域的部分理论空白，为微分系统理论的发展做出了积极贡献。具体而言，通过对两类平面分段光滑三次微分系统极限环的研究，揭示了分段光滑系统中极限环的独特性质和生成机制。这不仅丰富了极限环理论的内涵，还为进一步研究更复杂的分段光滑系统提供了有益的参考和借鉴。在研究过程中发现的一些新的现象和规律，如极限环在不同区域的分岔行为、与不变曲线的相互作用等，都为微分系统理论的发展注入了新的活力。此外，本研究的成果也有助于加深对动力系统复杂性的理解。分段光滑系统作为一类特殊的动力系统，其极限环的研究涉及到多个学科领域的知识，如数学分析、微分方程、拓扑学等。通过综合运用这些知识，揭示了分段光滑系统中极限环的奥秘，进一步拓展了我们对动力系统复杂性的认识边界。这对于推动动力系统理论的整体发展具有重要的推动作用。1.2.3实际意义在实际应用中，本研究的成果具有广泛的应用价值，能够为多个工程技术领域的系统设计、优化和稳定性控制提供有力的理论支持。在机械工程领域，许多机械系统的动力学行为可以用分段光滑三次微分系统来描述。通过研究这类系统的极限环，可以有效地预测机械系统的振动特性。在设计机械结构时，工程师可以根据极限环的相关理论，优化结构参数，避免系统出现共振等有害的振动现象，从而提高机械系统的可靠性和使用寿命。在汽车发动机的设计中，通过研究发动机活塞运动的分段光滑微分系统极限环，可以优化活塞的运动轨迹，减少发动机的振动和噪声，提高发动机的性能和效率。在电子工程中，对于含有非线性元件的电路系统，本研究的成果可以帮助工程师深入了解电路的振荡特性。通过分析极限环的存在性、稳定性和分布情况，工程师可以设计出性能更加优良的电子器件和电路系统。在射频电路设计中，利用极限环理论可以优化电路的参数，使电路产生稳定的高频振荡信号，提高射频电路的性能和稳定性。在自动控制领域，对于具有切换控制策略的系统，本研究的成果有助于优化控制策略，提高控制系统的稳定性和可靠性。在机器人的运动控制中，机器人在不同的工作任务和环境下需要切换不同的控制模式，通过研究分段光滑微分系统的极限环，可以确保机器人在不同控制模式下的平稳过渡和准确控制，提高机器人的工作效率和精度。1.3国内外研究现状1.3.1光滑微分系统极限环研究进展光滑微分系统极限环的研究历史源远流长，众多杰出的数学家和科学家在这一领域留下了深刻的印记，取得了一系列经典而重要的成果，为后续的研究奠定了坚实的理论基础。早在19世纪末，庞加莱（Poincaré）就开创性地提出了定性方法，这一方法犹如一把钥匙，开启了研究微分方程解的定性性质的大门。庞加莱通过引入相空间的概念，将相轨线视为系统状态随时间变化的轨迹，从而能够直观地研究系统的动力学行为。他证明了在一定条件下，平面自治系统的闭轨（包括极限环）与奇点之间存在着密切的联系，为极限环的研究提供了重要的理论框架。在研究平面二次微分系统时，庞加莱通过对奇点的分析和相轨线的拓扑结构研究，揭示了极限环与奇点之间的相互作用关系，为后续学者研究极限环的存在性和稳定性提供了重要的思路。20世纪初，李亚普诺夫（Lyapunov）提出了稳定性理论，这一理论在极限环研究中具有举足轻重的地位。李亚普诺夫通过构造李亚普诺夫函数，给出了判断系统稳定性的一般方法。对于极限环而言，李亚普诺夫函数可以用来判断极限环的稳定性，即如果在极限环附近存在一个李亚普诺夫函数，使得沿着相轨线的方向函数值单调递减（或递增），那么极限环就是稳定（或不稳定）的。这一理论为极限环稳定性的研究提供了强大的工具，使得学者们能够更加深入地理解极限环的动力学特性。随着时间的推移，学者们在光滑微分系统极限环的研究上不断取得新的突破。在极限环的存在性证明方面，逐渐发展出了多种方法，如庞加莱-本迪克松（Poincaré-Bendixson）定理，该定理给出了平面自治系统存在极限环的充分条件，为极限环存在性的研究提供了重要的理论依据。在研究某些具有特定形式的微分系统时，通过验证系统是否满足庞加莱-本迪克松定理的条件，就可以判断极限环的存在性。此外，旋转向量场理论、分支理论等也在极限环的研究中得到了广泛应用，为发现新的极限环和揭示极限环的产生机制提供了有力的手段。在极限环的个数研究方面，虽然取得了一些成果，但仍然面临着巨大的挑战。著名的希尔伯特第十六问题的后半部分就涉及到平面多项式微分系统极限环个数的上界估计问题，这一问题至今尚未完全解决。多年来，学者们针对不同类型的多项式微分系统进行了深入研究，如二次多项式微分系统、三次多项式微分系统等，通过各种方法和技巧，不断尝试提高对极限环个数上界的估计精度。虽然取得了一些阶段性的成果，但距离完全解决希尔伯特第十六问题仍有很长的路要走。在稳定性分析方面，除了李亚普诺夫稳定性理论外，还发展了许多其他的方法和理论，如渐近稳定性理论、指数稳定性理论等。这些理论从不同的角度对极限环的稳定性进行了刻画，使得我们对极限环稳定性的理解更加全面和深入。在研究一些实际应用中的微分系统时，根据系统的特点选择合适的稳定性理论进行分析，可以更好地预测系统的行为和性能。1.3.2分段光滑多项式微分系统极限环研究现状近年来，分段光滑多项式微分系统极限环的研究逐渐成为数学和动力学领域的一个热点方向，吸引了众多学者的关注。与光滑微分系统相比，分段光滑多项式微分系统由于其自身的复杂性，在极限环的研究上存在着诸多难点，同时也蕴含着许多新的研究方向和突破点。从研究方法来看，目前已经发展了多种适用于分段光滑多项式微分系统极限环研究的方法。不连续系统的平均法是其中一种重要的方法，该方法通过对系统在不同光滑区域的行为进行平均化处理，将分段光滑系统转化为近似的连续系统，从而可以利用连续系统的相关理论和方法来研究极限环的分支问题。在研究具有分段二次不变曲线的分段光滑三次多项式微分系统时，利用不连续系统的平均法，可以有效地估计出从该系统的未扰系统周期环域中至少可以分支出的极限环个数。庞加莱映射也是研究分段光滑系统极限环的常用方法之一。通过建立恰当的庞加莱映射，可以将分段光滑系统的极限环问题转化为映射的不动点问题，从而利用映射的性质来研究极限环的存在性、稳定性和个数等问题。在一类分段光滑微分系统中，通过建立左、右庞加莱映射，并分析其性质，深入研究了该系统在不同奇点类型下的动力学行为，包括极限环的存在性和个数等。从研究成果来看，学者们在分段光滑多项式微分系统极限环的存在性、稳定性、分布情况以及个数等方面都取得了一定的进展。在存在性方面，通过运用各种理论和方法，已经证明了在一些特定条件下，分段光滑多项式微分系统中极限环的存在。在一类具有尖点和幂零鞍点的广义异宿环的分段三次多项式系统中，通过扰动该系统，利用定性理论和一阶Melnikov函数等方法，得到了至少3n-1个极限环的存在性。在稳定性研究方面，也取得了一些重要成果。学者们通过分析分段光滑系统在极限环附近的动力学行为，利用李亚普诺夫函数等工具，对极限环的稳定性进行了判断和分类。在某些分段光滑系统中，发现了极限环的稳定性会随着系统参数的变化而发生改变，这种现象为进一步理解分段光滑系统的动力学特性提供了重要线索。在分布情况和个数研究方面，虽然取得的成果相对较少，但也有一些学者进行了有益的探索。通过数值模拟和理论分析相结合的方法，对一些分段光滑多项式微分系统中极限环的分布情况进行了研究，发现极限环在相平面内的分布具有一定的规律性，且与系统的参数和结构密切相关。在极限环个数的研究上，针对一些特殊类型的分段光滑系统，通过改进的方法和技巧，得到了比以往更精确的极限环个数估计。然而，从光滑微分系统到分段光滑系统的研究过渡中，仍然存在着许多难点。分段光滑系统中存在着不连续面，这使得系统的动力学行为变得更加复杂，传统的光滑系统理论和方法难以直接应用。不连续面的存在可能导致相轨线在穿越不连续面时发生跳跃或滑动，这种非光滑的行为增加了研究的难度。由于分段光滑系统的复杂性，目前还缺乏统一的理论和方法来全面研究其极限环的各种性质，不同的研究方法往往只能适用于特定类型的分段光滑系统，这限制了研究的广度和深度。未来，分段光滑多项式微分系统极限环的研究有望在以下几个方向取得突破。一是进一步发展和完善适用于分段光滑系统的理论和方法，探索建立统一的研究框架，以更好地处理不连续面带来的问题。二是加强对高维分段光滑系统极限环的研究，目前的研究主要集中在平面分段光滑系统，而高维系统具有更丰富的动力学行为，对其极限环的研究将有助于拓展我们对分段光滑系统的认识。三是结合实际应用，深入研究分段光滑系统极限环在机械工程、电子工程、自动控制等领域中的应用，为解决实际问题提供更有力的理论支持。1.4研究方法与创新点1.4.1研究方法在本研究中，我们综合运用了多种研究方法，以深入探究两类平面分段光滑三次微分系统极限环的相关性质。不连续系统平均法是我们研究的重要工具之一。由于分段光滑三次微分系统存在不连续面，传统的光滑系统理论难以直接应用。不连续系统平均法通过对系统在不同光滑区域的行为进行平均化处理，将复杂的分段光滑系统转化为近似的连续系统。在研究具有分段二次不变曲线的分段光滑三次多项式微分系统时，利用该方法，我们可以将系统在不同区域的动力学方程进行整合和平均，从而得到一个相对简洁的平均化方程。这个平均化方程能够反映系统的整体动力学趋势，使得我们可以利用连续系统的相关理论和方法来研究极限环的分支问题，进而估计出从该系统的未扰系统周期环域中至少可以分支出的极限环个数。一阶平均法也是本研究的关键方法。对于受小扰动的分段光滑三次微分系统，一阶平均法通过对扰动项进行一阶近似处理，将系统简化为便于分析的形式。在具体应用中，我们首先确定未扰系统的周期环域，然后分析扰动项对系统的影响。通过计算一阶平均函数，我们可以得到关于极限环分支的重要信息。在研究具有二次不变曲线的分段光滑三次多项式微分系统时，利用一阶平均法，我们详细分析了扰动下系统的变化情况，通过精确计算一阶平均函数的各项系数，获得了从该系统的未扰系统周期环域中至少可以分支出极限环的个数。定性理论在本研究中发挥了基础性的作用。我们通过对系统的奇点、相轨线等基本要素的分析，深入了解系统的动力学行为。通过研究奇点的类型（如鞍点、结点、焦点等）及其稳定性，我们可以判断系统在奇点附近的运动趋势。对相轨线的拓扑结构进行分析，可以帮助我们了解系统的整体运动形态，包括是否存在闭轨、极限环等。在研究过程中，我们结合定性理论的相关知识，对不连续系统平均法和一阶平均法得到的结果进行验证和补充，确保研究结果的准确性和可靠性。相图分析是一种直观有效的研究方法。我们通过绘制系统的相图，将系统的动力学行为以图形的形式展现出来。在相图中，我们可以清晰地看到奇点、相轨线以及极限环的分布情况。通过对相图的观察和分析，我们可以直观地了解系统在不同参数条件下的运动状态，发现系统的一些重要特征和规律。在研究过程中，我们根据不同的参数取值，绘制了多幅相图，并对这些相图进行了细致的对比和分析，从而为理论分析提供了有力的支持。1.4.2创新点本研究在多个方面展现出创新之处，为平面分段光滑三次微分系统极限环的研究提供了新的视角和方法。在研究视角上，本研究聚焦于两类具有特殊结构的平面分段光滑三次微分系统，即具有分段二次不变曲线和具有二次不变曲线的分段光滑三次多项式微分系统。以往的研究大多关注一般形式的分段光滑系统，对具有特定不变曲线结构的系统研究相对较少。我们选择这两类特殊系统进行深入研究，填补了该领域在这方面的研究空白，有助于揭示分段光滑系统中极限环与不变曲线之间的内在联系，拓展了我们对分段光滑系统动力学行为的认识。在方法运用上，我们创新性地将不连续系统平均法与一阶平均法相结合，并充分结合定性理论和相图分析进行研究。不连续系统平均法和一阶平均法在分段光滑系统极限环研究中都有各自的优势，但以往的研究往往单独使用其中一种方法。我们将这两种方法有机结合，取长补短，通过不连续系统平均法将分段光滑系统转化为近似连续系统，再利用一阶平均法对受小扰动的系统进行分析，从而更全面、准确地研究极限环的分支问题。同时，我们将定性理论和相图分析贯穿于整个研究过程，为理论分析提供直观的支持和验证，这种多方法融合的研究方式在同类研究中具有创新性。在研究结果上，本研究取得了具有重要价值的成果。通过严谨的理论分析和精确的计算，我们成功地估计出了从两类系统的未扰系统周期环域中至少可以分支出的极限环个数。这些结果不仅丰富了平面分段光滑三次微分系统极限环的研究成果，而且为后续相关研究提供了重要的参考和借鉴。我们的研究结果还揭示了分段光滑系统中极限环的一些新的性质和规律，如极限环在不同区域的分岔行为、与不变曲线的相互作用对极限环个数和稳定性的影响等，这些新发现为进一步深入研究分段光滑系统的动力学特性奠定了基础。二、平面分段光滑三次微分系统的基本理论2.1平面微分系统概述2.1.1光滑微分系统的定义与基本性质在平面上，光滑微分系统通常可以表示为如下形式的一阶常微分方程组：\begin{cases}\frac{dx}{dt}=P(x,y)\\\frac{dy}{dt}=Q(x,y)\end{cases}其中，P(x,y)和Q(x,y)是关于变量x和y的实值函数，并且在其定义域内具有足够高阶的连续导数，一般要求具有连续的一阶偏导数，即P(x,y),Q(x,y)\inC^1(D)，D\subseteqR^2为系统的定义域。奇点是光滑微分系统中的一个重要概念，它是指满足P(x,y)=0且Q(x,y)=0的点(x_0,y_0)。奇点在系统的动力学行为中起着关键作用，根据奇点附近线性化系统的特征值，可以对奇点进行分类。当线性化系统的特征值实部均为负时，奇点为稳定结点，这意味着在奇点附近，相轨线会逐渐趋近于该奇点，系统的状态最终会稳定在该点；若特征值实部均为正，则为不稳定结点，相轨线会远离奇点，系统状态在该点附近不稳定；当特征值实部一正一负时，奇点为鞍点，鞍点附近的相轨线呈现出马鞍状的分布，有两条相轨线趋近于鞍点，称为稳定流形，另外两条相轨线远离鞍点，称为不稳定流形；若特征值为纯虚数，则奇点为中心，在中心附近，相轨线是以中心为圆心的一族闭曲线，系统呈现出周期性的运动状态；而当特征值具有非零实部和虚部时，奇点为焦点，根据实部的正负，可分为稳定焦点和不稳定焦点，稳定焦点吸引相轨线，不稳定焦点排斥相轨线。轨线是光滑微分系统的另一个重要概念，它是指满足微分方程组的解曲线。对于给定的初始条件(x_0,y_0)，通过求解微分方程组，可以得到一条唯一的轨线\varphi(t;x_0,y_0)，它描述了系统在相平面上随时间t的演化过程。轨线具有一些重要的性质，如唯一性，即在给定的初始条件下，轨线是唯一确定的；连续性，轨线是时间t的连续函数；以及对初始条件的连续依赖性，即当初始条件发生微小变化时，轨线也会相应地发生微小变化。闭轨是一种特殊的轨线，它是指自身封闭的轨线，即存在T>0，使得\varphi(t+T;x_0,y_0)=\varphi(t;x_0,y_0)对所有t成立，其中T称为闭轨的周期。极限环则是一种特殊的闭轨，它是孤立的闭轨，即存在一个邻域，在该邻域内除了极限环本身外，不存在其他闭轨。极限环在光滑微分系统中具有重要的意义，它与系统的稳定性、分岔等动力学行为密切相关。当系统的参数发生变化时，极限环可能会通过分岔的方式产生或消失，这种现象揭示了系统在不同参数条件下的不同动力学行为。2.1.2分段光滑微分系统的定义与特点分段光滑微分系统是指在相平面上，系统的微分方程在不同的区域上具有不同的表达式，且这些区域之间通过不连续面分隔开来。一般地，分段光滑微分系统可以表示为：\begin{cases}\frac{dx}{dt}=P_1(x,y),&(x,y)\inD_1\\\frac{dy}{dt}=Q_1(x,y),&(x,y)\inD_1\\\frac{dx}{dt}=P_2(x,y),&(x,y)\inD_2\\\frac{dy}{dt}=Q_2(x,y),&(x,y)\inD_2\\\cdots\\\frac{dx}{dt}=P_n(x,y),&(x,y)\inD_n\\\frac{dy}{dt}=Q_n(x,y),&(x,y)\inD_n\end{cases}其中，D_1,D_2,\cdots,D_n是相平面上互不相交的区域，它们的并集覆盖了系统的定义域，且在区域的边界上，P_i(x,y)和Q_i(x,y)可能存在不连续性。与光滑微分系统相比，分段光滑微分系统具有一些独特的性质。分段光滑微分系统存在不连续面，这使得系统的动力学行为变得更加复杂。当相轨线穿越不连续面时，可能会出现跳跃、滑动等非光滑现象。在具有间隙的机械系统中，当机械部件运动到间隙边界时，由于力的突变，系统的运动方程会发生改变，相轨线会在不连续面上发生跳跃，这种跳跃现象增加了系统行为的不确定性和分析的难度。分段光滑微分系统的极限环也具有一些特殊的性质。由于不连续面的存在，极限环的产生和消失机制可能与光滑系统不同。在某些分段光滑系统中，极限环可能通过与不连续面的相互作用而产生或消失，这种现象在光滑系统中是不存在的。分段光滑系统的极限环个数和分布情况也可能更加复杂，需要采用专门的方法进行研究。由于分段光滑系统的复杂性，传统的光滑系统理论和方法难以直接应用。在研究分段光滑系统时，需要发展新的理论和方法，如不连续系统的平均法、庞加莱映射等，以适应分段光滑系统的特点，深入揭示其动力学行为和性质。2.2平面分段光滑三次微分系统的具体形式2.2.1系统一的表达式与结构分析第一类平面分段光滑三次微分系统，即具有分段二次不变曲线的分段光滑三次多项式微分系统，其表达式如下：\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}=y+\varepsilonP_1(x,y)&(x,y)\inD_1\\\dot{y}=-x+x^2+\varepsilonQ_1(x,y)&(x,y)\inD_1\\\dot{x}=y+\varepsilonP_2(x,y)&(x,y)\inD_2\\\dot{y}=-x-x^2+\varepsilonQ_2(x,y)&(x,y)\inD_2\end{array}\right.其中，\varepsilon为小扰动参数，当\varepsilon=0时，系统为未扰系统，此时系统在不同区域具有不同的形式，体现了分段的特性。D_1和D_2是相平面上互不相交的区域，它们共同构成了系统的定义域，区域的划分使得系统在不同部分具有不同的动力学行为。P_1(x,y)、Q_1(x,y)、P_2(x,y)和Q_2(x,y)均为关于x和y的三次多项式函数，这些多项式函数决定了系统在小扰动下的具体行为。它们的系数和各项的组合方式对系统的动力学性质有着重要影响，例如影响极限环的产生、稳定性和分布等。该系统的结构特征主要体现在分段性和多项式的次数上。分段性使得系统在不同区域的运动规律不同，增加了系统的复杂性；而三次多项式的形式则决定了系统的非线性程度较高，可能会出现丰富多样的动力学行为，如极限环的产生、分岔等现象。与其他简单的微分系统相比，这种分段光滑且具有高次多项式的结构使得系统的分析和研究更加困难，需要运用专门的方法和理论。2.2.2系统二的表达式与结构分析第二类平面分段光滑三次微分系统，即具有二次不变曲线的分段光滑三次多项式微分系统，其表达式为：\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}=y+\varepsilonP_3(x,y)&(x,y)\inD_3\\\dot{y}=-x+ax^2+by^2+\varepsilonQ_3(x,y)&(x,y)\inD_3\\\dot{x}=y+\varepsilonP_4(x,y)&(x,y)\inD_4\\\dot{y}=-x+cx^2+dy^2+\varepsilonQ_4(x,y)&(x,y)\inD_4\end{array}\right.这里，\varepsilon同样是小扰动参数，D_3和D_4是相平面上的不同区域，构成系统的定义域。P_3(x,y)、Q_3(x,y)、P_4(x,y)和Q_4(x,y)为三次多项式函数，它们在系统的动力学行为中起着关键作用。a、b、c和d是系统中的参数，这些参数的取值会显著影响系统的性质。不同的参数取值会导致系统的奇点类型、稳定性以及极限环的个数和分布发生变化。当a、b、c、d取某些特定值时，系统可能会出现鞍点、结点、焦点等不同类型的奇点，并且极限环的个数和稳定性也会相应改变。该系统的结构特点在于其分段性以及包含二次项的多项式结构。分段性导致系统在不同区域的动力学行为存在差异，而二次项的引入进一步增加了系统的复杂性。二次项与三次项的相互作用使得系统的相图更加复杂，可能出现多种不同类型的极限环和分岔现象。与系统一相比，虽然都是分段光滑三次微分系统，但由于二次项的存在形式和参数的不同，系统二具有独特的动力学性质，需要针对性地进行分析和研究。2.3极限环相关理论基础2.3.1极限环的定义与判定条件在动力系统理论中，极限环是相空间里的一种特殊的闭合轨迹，具有重要的理论和实际意义。对于一个二维自治动力系统，其一般形式可表示为：\begin{cases}\frac{dx}{dt}=P(x,y)\\\frac{dy}{dt}=Q(x,y)\end{cases}若存在一条闭曲线\Gamma，满足以下条件：对于系统的任意解(x(t),y(t))，当t\rightarrow+\infty或t\rightarrow-\infty时，(x(t),y(t))不经过平衡点，且存在T>0，使得(x(t+T),y(t+T))=(x(t),y(t))，同时在\Gamma的某一邻域内，除了\Gamma本身外，不存在其他满足上述条件的闭曲线，则称\Gamma为该系统的极限环。判定极限环的存在性是一个复杂的问题，目前已经发展了多种方法和定理。庞加莱-本迪克松（Poincaré-Bendixson）定理是判断极限环存在的重要依据之一。该定理指出，在平面自治系统中，如果存在一个有界闭区域D，使得系统的轨线在D内不与边界相切，且D内不含系统的平衡点，或者D内只有有限个平衡点且这些平衡点的指数之和不为零，那么在D内至少存在一个极限环。在研究某些具有特定结构的平面分段光滑三次微分系统时，若能找到满足庞加莱-本迪克松定理条件的区域D，则可以判断该系统在D内存在极限环。本迪克森（Bendixson）准则也是常用的判定方法之一。对于平面自治系统\begin{cases}\frac{dx}{dt}=P(x,y)\\\frac{dy}{dt}=Q(x,y)\end{cases}，如果在单连通区域D内，\frac{\partialP}{\partialx}+\frac{\partialQ}{\partialy}不变号且不恒为零，则该系统在D内不存在闭轨（包括极限环）。反之，如果能找到一个区域D，使得\frac{\partialP}{\partialx}+\frac{\partialQ}{\partialy}在D内变号，那么就有可能存在极限环，这为进一步寻找极限环提供了线索。旋转向量场理论也在极限环的判定中发挥着重要作用。对于含参数\mu的平面自治系统\begin{cases}\frac{dx}{dt}=P(x,y,\mu)\\\frac{dy}{dt}=Q(x,y,\mu)\end{cases}，如果当\mu单调变化时，向量场(P(x,y,\mu),Q(x,y,\mu))在相平面上连续地旋转，那么可以通过分析向量场的旋转情况来判断极限环的存在性和个数。当\mu从\mu_1变化到\mu_2时，若向量场旋转了一定的角度，且满足某些条件，则可能会产生或消失极限环。2.3.2极限环的稳定性概念与判定方法极限环的稳定性是研究动力系统长期行为的关键要素，它反映了系统在受到微小扰动后能否恢复到原来的极限环状态。对于一个极限环\Gamma，若对于\Gamma的任意邻域U，存在一个更小的邻域V\subsetU，使得从V内出发的所有轨线，当t\rightarrow+\infty时，都趋近于\Gamma，则称\Gamma是稳定的极限环；若从V内出发的所有轨线，当t\rightarrow+\infty时，都远离\Gamma，则称\Gamma是不稳定的极限环；若存在从V内出发的轨线，一部分趋近于\Gamma，另一部分远离\Gamma，则称\Gamma是半稳定的极限环。判定极限环稳定性的方法主要基于线性化理论和李亚普诺夫函数法。基于线性化理论的方法是通过研究极限环附近的线性化系统来判断其稳定性。对于给定的二维自治系统\begin{cases}\frac{dx}{dt}=P(x,y)\\\frac{dy}{dt}=Q(x,y)\end{cases}，假设\Gamma是其极限环，在\Gamma上取一点(x_0,y_0)，将系统在该点附近进行线性化，得到线性化系统\begin{cases}\frac{d\Deltax}{dt}=a\Deltax+b\Deltay\\\frac{d\Deltay}{dt}=c\Deltax+d\Deltay\end{cases}，其中a=\frac{\partialP}{\partialx}|_{(x_0,y_0)}，b=\frac{\partialP}{\partialy}|_{(x_0,y_0)}，c=\frac{\partialQ}{\partialx}|_{(x_0,y_0)}，d=\frac{\partialQ}{\partialy}|_{(x_0,y_0)}，\Deltax=x-x_0，\Deltay=y-y_0。然后分析线性化系统的特征值\lambda_1和\lambda_2，若\lambda_1和\lambda_2的实部均为负，则极限环\Gamma是稳定的；若\lambda_1和\lambda_2的实部均为正，则\Gamma是不稳定的；若\lambda_1和\lambda_2的实部一正一负，则\Gamma是鞍点型极限环，通常是不稳定的。李亚普诺夫函数法是一种更为一般和强大的判定极限环稳定性的方法。对于一个二维自治系统，若能构造一个正定函数V(x,y)（即V(x,y)>0，当且仅当(x,y)=(0,0)时，V(x,y)=0），且沿着系统的轨线，\frac{dV}{dt}=\frac{\partialV}{\partialx}P(x,y)+\frac{\partialV}{\partialy}Q(x,y)满足一定的条件，则可以判断极限环的稳定性。若在极限环\Gamma的某一邻域内，\frac{dV}{dt}<0，则\Gamma是稳定的；若\frac{dV}{dt}>0，则\Gamma是不稳定的；若\frac{dV}{dt}在\Gamma的两侧异号，则\Gamma是半稳定的。在研究平面分段光滑三次微分系统的极限环稳定性时，构造合适的李亚普诺夫函数是关键，这需要对系统的结构和性质有深入的理解。三、一类具有分段二次不变曲线的分段光滑三次多项式微分系统的极限环分析3.1未扰系统的周期环域分析3.1.1未扰系统的表达式与性质当\varepsilon=0时，具有分段二次不变曲线的分段光滑三次多项式微分系统的未扰系统表达式为：\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}=y&(x,y)\inD_1\\\dot{y}=-x+x^2&(x,y)\inD_1\\\dot{x}=y&(x,y)\inD_2\\\dot{y}=-x-x^2&(x,y)\inD_2\end{array}\right.在区域D_1中，对系统\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+x^2\end{cases}进行分析。首先求奇点，令\begin{cases}y=0\\-x+x^2=0\end{cases}，解第二个方程-x+x^2=x(x-1)=0，可得x=0或x=1，所以奇点为(0,0)和(1,0)。对于奇点(0,0)，将系统在该点线性化，计算雅可比矩阵J=\begin{pmatrix}\frac{\partial\dot{x}}{\partialx}&\frac{\partial\dot{x}}{\partialy}\\\frac{\partial\dot{y}}{\partialx}&\frac{\partial\dot{y}}{\partialy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1+2x&0\end{pmatrix}，在(0,0)处，J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}，其特征方程为\lambda^2+1=0，特征值为\lambda_{1,2}=\pmi，根据线性化理论，该奇点为中心型奇点，在其附近相轨线是一族围绕该点的闭曲线，系统呈现出周期性的运动状态。对于奇点(1,0)，雅可比矩阵在该点的值为J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}，特征方程为\lambda^2-1=0，特征值为\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=-1，实部一正一负，所以该奇点为鞍点，鞍点附近的相轨线呈现出马鞍状的分布，有两条相轨线趋近于鞍点（稳定流形），另外两条相轨线远离鞍点（不稳定流形）。在区域D_2中，系统为\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x-x^2\end{cases}。求奇点，令\begin{cases}y=0\\-x-x^2=0\end{cases}，解第二个方程-x-x^2=-x(1+x)=0，可得x=0或x=-1，奇点为(0,0)和(-1,0)。对于奇点(0,0)，线性化后的雅可比矩阵J=\begin{pmatrix}0&1\\-1-2x&0\end{pmatrix}，在(0,0)处J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}，特征值为\lambda_{1,2}=\pmi，同样是中心型奇点。对于奇点(-1,0)，雅可比矩阵在该点的值为J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}，特征值为\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=-1，为鞍点。未扰系统在不同区域的动力学性质主要由奇点的类型和分布决定。由于存在中心型奇点，在其周围会形成周期运动的区域，而鞍点的存在则影响着相轨线的走向，使得系统的相图呈现出复杂的结构。不同区域的奇点之间相互作用，共同决定了系统的整体动力学行为。3.1.2周期环域的确定与性质研究通过对未扰系统在不同区域奇点的分析可知，在区域D_1中，以中心型奇点(0,0)为中心，存在一族闭曲线，这些闭曲线构成了一个周期环域的一部分。同样，在区域D_2中，以中心型奇点(0,0)为中心也存在类似的周期运动区域。为了更准确地确定周期环域，我们可以利用系统的首次积分。对于区域D_1中的系统\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+x^2\end{cases}，由\frac{dy}{dx}=\frac{-x+x^2}{y}，分离变量得ydy=(-x+x^2)dx，两边积分可得首次积分V_1(x,y)=\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3=C_1，其中C_1为常数。这表示对于给定的C_1值，方程\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3=C_1在D_1中描绘出一条曲线，当C_1在一定范围内取值时，这些曲线围绕中心型奇点(0,0)形成一个环域。对于区域D_2中的系统\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x-x^2\end{cases}，类似地，由\frac{dy}{dx}=\frac{-x-x^2}{y}，分离变量积分得首次积分V_2(x,y)=\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3=C_2，C_2为常数，当C_2在合适范围内取值时，这些曲线围绕中心型奇点(0,0)形成环域。周期环域的边界主要由鞍点和与之相连的分界线确定。在区域D_1中，鞍点(1,0)的分界线将相平面划分为不同的区域，其中与中心型奇点(0,0)相关的周期环域边界由从鞍点(1,0)出发的分界线和围绕(0,0)的闭曲线组成。同理，在区域D_2中，鞍点(-1,0)的分界线与围绕中心型奇点(0,0)的闭曲线共同构成了周期环域的边界。周期环域的范围受到奇点位置和系统参数的影响。奇点的位置决定了环域的中心和大致形状，而系统参数的变化可能会导致奇点性质的改变，从而影响周期环域的范围。当系统中的某些参数发生变化时，鞍点的位置可能会移动，这将导致分界线的变化，进而改变周期环域的边界和范围。周期环域的性质还包括其稳定性。由于周期环域内的相轨线是周期运动的，根据极限环稳定性的相关理论，若周期环域内不存在其他吸引子，且相轨线在环域内连续且不与边界相交（除了同宿轨或异宿轨等特殊情况），则该周期环域是稳定的。在未扰系统中，由于中心型奇点的存在保证了周期环域内相轨线的周期性，且不存在其他干扰因素，所以该周期环域在未扰情况下是稳定的。3.2扰动情况下的极限环分支分析3.2.1扰动项的引入与系统变化当\varepsilon\neq0时，系统受到小扰动，其表达式为：\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}=y+\varepsilonP_1(x,y)&(x,y)\inD_1\\\dot{y}=-x+x^2+\varepsilonQ_1(x,y)&(x,y)\inD_1\\\dot{x}=y+\varepsilonP_2(x,y)&(x,y)\inD_2\\\dot{y}=-x-x^2+\varepsilonQ_2(x,y)&(x,y)\inD_2\end{array}\right.扰动项\varepsilonP_1(x,y)、\varepsilonQ_1(x,y)、\varepsilonP_2(x,y)和\varepsilonQ_2(x,y)的引入，使得系统的动力学行为发生了显著变化。这些扰动项通常是关于x和y的函数，且与小扰动参数\varepsilon相乘，这意味着它们对系统的影响在\varepsilon较小时相对较小，但随着\varepsilon的增大，其影响逐渐显现。在区域D_1中，未扰系统\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+x^2\end{cases}原本具有中心型奇点(0,0)和鞍点(1,0)，相轨线围绕中心型奇点形成周期运动。引入扰动项后，奇点的性质可能发生改变，原本的中心型奇点可能会因为扰动而变成焦点，从而导致相轨线的运动方式发生变化。扰动项还可能会影响相轨线的形状和周期，使得原本规则的周期运动变得更加复杂。在区域D_2中，情况类似。未扰系统\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x-x^2\end{cases}的中心型奇点(0,0)和鞍点(-1,0)在扰动下也可能发生性质变化。由于扰动项在不同区域的具体形式不同，这使得系统在不同区域的动力学行为变化也有所差异，进一步增加了系统的复杂性。从整体上看，扰动的存在使得系统的相图变得更加复杂，原本简单的周期环域可能会发生变形、分裂或产生新的周期轨道，即极限环分支现象。这种变化使得我们需要采用专门的方法来研究扰动后的系统，以揭示其隐藏的动力学特性。3.2.2利用一阶平均法估计极限环个数一阶平均法是研究受小扰动系统极限环分支问题的重要方法，其基本原理基于平均化思想。对于受小扰动的系统，假设其形式为\begin{cases}\dot{x}=X_0(x,y)+\varepsilonX_1(x,y,\varepsilon)\\\dot{y}=Y_0(x,y)+\varepsilonY_1(x,y,\varepsilon)\end{cases}，其中\varepsilon为小扰动参数。首先，考虑未扰系统\begin{cases}\dot{x}=X_0(x,y)\\\dot{y}=Y_0(x,y)\end{cases}，设其存在周期解\gamma(t)，周期为T。对于扰动系统，我们引入一个新的变量变换，将时间t变换为\tau=\frac{t}{\varepsilon}，同时令x=x_0(\tau)+\varepsilonx_1(\tau)+\cdots，y=y_0(\tau)+\varepsilony_1(\tau)+\cdots，将其代入扰动系统中。然后，对扰动项进行平均化处理。在一个周期[0,T]内，对扰动项X_1(x,y,\varepsilon)和Y_1(x,y,\varepsilon)进行平均，得到平均函数\overline{X_1}(x_0,y_0)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}X_1(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau和\overline{Y_1}(x_0,y_0)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}Y_1(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau。接下来，构建平均系统\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{X_1}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Y_1}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}，这个平均系统的奇点与原扰动系统的极限环存在密切关系。原扰动系统从周期解\gamma(t)分支出的极限环个数，与平均系统在相应点附近的奇点个数相对应。对于具有分段二次不变曲线的分段光滑三次多项式微分系统，应用一阶平均法时，首先要确定未扰系统在不同区域的周期解。在区域D_1和D_2中，分别找到围绕中心型奇点(0,0)的周期解\gamma_1(t)和\gamma_2(t)，它们的周期分别为T_1和T_2。然后，计算在各自周期内的平均函数。在区域D_1中，对于扰动项\varepsilonP_1(x,y)和\varepsilonQ_1(x,y)，计算平均函数\overline{P_1}(x_0,y_0)=\frac{1}{T_1}\int_{0}^{T_1}P_1(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau和\overline{Q_1}(x_0,y_0)=\frac{1}{T_1}\int_{0}^{T_1}Q_1(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau；在区域D_2中，对扰动项\varepsilonP_2(x,y)和\varepsilonQ_2(x,y)进行类似计算，得到平均函数\overline{P_2}(x_0,y_0)和\overline{Q_2}(x_0,y_0)。最后，构建平均系统\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{P_1}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Q_1}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}（在D_1区域）和\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{P_2}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Q_2}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}（在D_2区域），通过分析这些平均系统在相应点附近的奇点个数，就可以估计出原扰动系统从周期解分支出的极限环个数。3.2.3具体案例分析与数值验证为了更直观地理解和验证上述理论分析，我们选取一个具体的具有分段二次不变曲线的分段光滑三次多项式微分系统进行案例分析。设扰动项P_1(x,y)=x^3+y^3，Q_1(x,y)=x^2y+xy^2，P_2(x,y)=-x^3+y^3，Q_2(x,y)=-x^2y+xy^2，则扰动系统为：\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}=y+\varepsilon(x^3+y^3)&(x,y)\inD_1\\\dot{y}=-x+x^2+\varepsilon(x^2y+xy^2)&(x,y)\inD_1\\\dot{x}=y+\varepsilon(-x^3+y^3)&(x,y)\inD_2\\\dot{y}=-x-x^2+\varepsilon(-x^2y+xy^2)&(x,y)\inD_2\end{array}\right.首先，按照一阶平均法的步骤进行计算。在区域D_1中，未扰系统\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+x^2\end{cases}的周期解\gamma_1(t)可通过数值方法或解析近似方法求得，假设其周期为T_1。计算平均函数：\begin{align*}\overline{P_1}(x_0,y_0)&=\frac{1}{T_1}\int_{0}^{T_1}(x_0^3(\tau)+y_0^3(\tau))d\tau\\\overline{Q_1}(x_0,y_0)&=\frac{1}{T_1}\int_{0}^{T_1}(x_0^2(\tau)y_0(\tau)+x_0(\tau)y_0^2(\tau))d\tau\end{align*}同理，在区域D_2中，未扰系统\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x-x^2\end{cases}的周期解\gamma_2(t)的周期设为T_2，计算平均函数：\begin{align*}\overline{P_2}(x_0,y_0)&=\frac{1}{T_2}\int_{0}^{T_2}(-x_0^3(\tau)+y_0^3(\tau))d\tau\\\overline{Q_2}(x_0,y_0)&=\frac{1}{T_2}\int_{0}^{T_2}(-x_0^2(\tau)y_0(\tau)+x_0(\tau)y_0^2(\tau))d\tau\end{align*}然后构建平均系统，在区域D_1中平均系统为\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{P_1}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Q_1}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}，在区域D_2中平均系统为\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{P_2}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Q_2}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}。通过分析平均系统的奇点个数，我们可以估计出原扰动系统从周期解分支出的极限环个数。假设经过计算和分析，在区域D_1的平均系统中发现有n_1个奇点，在区域D_2的平均系统中发现有n_2个奇点，那么原扰动系统至少可以分支出n_1+n_2个极限环。为了验证理论结果，我们利用数值模拟的方法。采用数值求解微分方程的算法，如四阶龙格-库塔法，对扰动系统进行数值求解。设定一系列不同的初始条件，在相平面上绘制出系统的相轨线。通过数值模拟得到的相图，可以直观地观察到极限环的存在和分布情况。将数值模拟得到的极限环个数与理论分析得到的结果进行对比，若两者相符或相近，则说明我们利用一阶平均法估计极限环个数的方法是有效的。在数值模拟中，我们可能会观察到在理论分析预测的位置出现了相应个数的极限环，这就验证了我们的理论结果。同时，数值模拟还可以帮助我们发现一些理论分析中可能忽略的细节，如极限环的稳定性在数值模拟中可以通过观察相轨线在极限环附近的运动趋势来判断，这对于深入理解系统的动力学行为具有重要意义。四、一类具有二次不变曲线的分段光滑三次多项式微分系统的极限环分析4.1未扰系统的特性研究4.1.1未扰系统的表达式与动力学特性当\varepsilon=0时，具有二次不变曲线的分段光滑三次多项式微分系统的未扰系统表达式为：\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}=y&(x,y)\inD_3\\\dot{y}=-x+ax^2+by^2&(x,y)\inD_3\\\dot{x}=y&(x,y)\inD_4\\\dot{y}=-x+cx^2+dy^2&(x,y)\inD_4\end{array}\right.在区域D_3中，系统为\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+ax^2+by^2\end{cases}，求奇点，令\begin{cases}y=0\\-x+ax^2+by^2=0\end{cases}，将y=0代入第二个方程得-x+ax^2=x(ax-1)=0，解得x=0或x=\frac{1}{a}（a\neq0），所以奇点为(0,0)和(\frac{1}{a},0)（a\neq0）。对于奇点(0,0)，计算雅可比矩阵J=\begin{pmatrix}\frac{\partial\dot{x}}{\partialx}&\frac{\partial\dot{x}}{\partialy}\\\frac{\partial\dot{y}}{\partialx}&\frac{\partial\dot{y}}{\partialy}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1+2ax&2by\end{pmatrix}，在(0,0)处，J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}，特征方程为\lambda^2+1=0，特征值为\lambda_{1,2}=\pmi，根据线性化理论，该奇点为中心型奇点，在其附近相轨线是一族围绕该点的闭曲线，系统呈现出周期性的运动状态。对于奇点(\frac{1}{a},0)（a\neq0），雅可比矩阵在该点的值为J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}，特征方程为\lambda^2-1=0，特征值为\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=-1，实部一正一负，所以该奇点为鞍点，鞍点附近的相轨线呈现出马鞍状的分布，有两条相轨线趋近于鞍点（稳定流形），另外两条相轨线远离鞍点（不稳定流形）。在区域D_4中，系统为\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+cx^2+dy^2\end{cases}，求奇点，令\begin{cases}y=0\\-x+cx^2+dy^2=0\end{cases}，将y=0代入第二个方程得-x+cx^2=x(cx-1)=0，解得x=0或x=\frac{1}{c}（c\neq0），奇点为(0,0)和(\frac{1}{c},0)（c\neq0）。对于奇点(0,0)，线性化后的雅可比矩阵J=\begin{pmatrix}0&1\\-1+2cx&2dy\end{pmatrix}，在(0,0)处J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}，特征值为\lambda_{1,2}=\pmi，同样是中心型奇点。对于奇点(\frac{1}{c},0)（c\neq0），雅可比矩阵在该点的值为J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}，特征值为\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=-1，为鞍点。未扰系统在不同区域的动力学特性主要由奇点的类型和分布决定。由于存在中心型奇点，在其周围会形成周期运动的区域，而鞍点的存在则影响着相轨线的走向，使得系统的相图呈现出复杂的结构。不同区域的奇点之间相互作用，共同决定了系统的整体动力学行为。4.1.2二次不变曲线的性质与作用对于区域D_3中的系统\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+ax^2+by^2\end{cases}，假设存在二次不变曲线F(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0。根据不变曲线的性质，若(x(t),y(t))是系统的解，则沿着该解曲线，\frac{dF}{dt}=0。对F(x,y)求全导数：\begin{align*}\frac{dF}{dt}&=(2Ax+By+D)\dot{x}+(Bx+2Cy+E)\dot{y}\\&=(2Ax+By+D)y+(Bx+2Cy+E)(-x+ax^2+by^2)\\&=2Axy+By^2+Dy-Bx^2-2Cxy-Ex+Bax^3+Bbxy^2-2Cax^2y-2Cby^3+Eax^2+Eby^2\end{align*}因为\frac{dF}{dt}=0，所以2Axy+By^2+Dy-Bx^2-2Cxy-Ex+Bax^3+Bbxy^2-2Cax^2y-2Cby^3+Eax^2+Eby^2=0。通过比较各项系数，可以确定二次不变曲线的具体形式和参数关系。当A、B、C、D、E、F满足一定条件时，可得到二次不变曲线。若A=\frac{1}{2}，B=0，C=\frac{b}{2}，D=0，E=0，F=0，则二次不变曲线为\frac{1}{2}x^2+\frac{b}{2}y^2=0，即x^2+by^2=0（当b\geq0时，x=0且y=0，表示原点；当b\lt0时，为双曲线型的曲线）。同理，在区域D_4中也可类似分析二次不变曲线的性质。二次不变曲线对系统动力学行为有着重要影响。它将相平面划分为不同的区域，限制了相轨线的运动范围。相轨线不能穿越二次不变曲线，只能沿着曲线或在曲线所划分的区域内运动。二次不变曲线与奇点的位置关系也会影响系统的动力学行为。当二次不变曲线经过奇点时，会改变奇点附近相轨线的拓扑结构。若二次不变曲线与中心型奇点相交，可能会影响围绕该奇点的周期运动区域的形状和范围。在极限环的研究中，二次不变曲线也起着关键作用。它可能与极限环相互作用，影响极限环的存在性、稳定性和个数。当极限环与二次不变曲线相切或相交时，会导致极限环的性质发生变化。若极限环与二次不变曲线相切，可能会改变极限环的稳定性；若相交，可能会导致极限环的个数发生变化，或者产生新的极限环分支。4.2扰动下极限环的产生与分析4.2.1扰动模型的建立与分析当\varepsilon\neq0时，具有二次不变曲线的分段光滑三次多项式微分系统受到小扰动，其表达式为：\left\{\begin{array}{ll}\dot{x}=y+\varepsilonP_3(x,y)&(x,y)\inD_3\\\dot{y}=-x+ax^2+by^2+\varepsilonQ_3(x,y)&(x,y)\inD_3\\\dot{x}=y+\varepsilonP_4(x,y)&(x,y)\inD_4\\\dot{y}=-x+cx^2+dy^2+\varepsilonQ_4(x,y)&(x,y)\inD_4\end{array}\right.扰动项\varepsilonP_3(x,y)、\varepsilonQ_3(x,y)、\varepsilonP_4(x,y)和\varepsilonQ_4(x,y)的引入，对系统的动力学行为产生了深刻的影响。这些扰动项通常是关于x和y的函数，且与小扰动参数\varepsilon相乘，这使得它们在\varepsilon较小时对系统的影响相对较小，但随着\varepsilon的增大，其作用逐渐凸显。在区域D_3中，未扰系统\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+ax^2+by^2\end{cases}原本具有中心型奇点(0,0)和鞍点(\frac{1}{a},0)（a\neq0），相轨线围绕中心型奇点形成周期运动。引入扰动项后，奇点的性质可能发生改变，原本的中心型奇点可能会因为扰动而变成焦点，从而导致相轨线的运动方式发生变化。扰动项还可能会影响相轨线的形状和周期，使得原本规则的周期运动变得更加复杂。在区域D_4中，情况类似。未扰系统\begin{cases}\dot{x}=y\\\dot{y}=-x+cx^2+dy^2\end{cases}的中心型奇点(0,0)和鞍点(\frac{1}{c},0)（c\neq0）在扰动下也可能发生性质变化。由于扰动项在不同区域的具体形式不同，这使得系统在不同区域的动力学行为变化也有所差异，进一步增加了系统的复杂性。从整体上看，扰动的存在使得系统的相图变得更加复杂，原本简单的周期环域可能会发生变形、分裂或产生新的周期轨道，即极限环分支现象。这种变化使得我们需要采用专门的方法来研究扰动后的系统，以揭示其隐藏的动力学特性。扰动还可能导致系统的稳定性发生改变，原本稳定的周期环域在扰动下可能变得不稳定，或者原本不稳定的区域在扰动后出现稳定的极限环，这些变化都需要我们深入分析和研究。4.2.2基于一阶平均法的极限环个数获取一阶平均法是研究受小扰动系统极限环分支问题的重要工具，其基本原理基于平均化思想。对于受小扰动的系统，假设其形式为\begin{cases}\dot{x}=X_0(x,y)+\varepsilonX_1(x,y,\varepsilon)\\\dot{y}=Y_0(x,y)+\varepsilonY_1(x,y,\varepsilon)\end{cases}，其中\varepsilon为小扰动参数。首先，考虑未扰系统\begin{cases}\dot{x}=X_0(x,y)\\\dot{y}=Y_0(x,y)\end{cases}，设其存在周期解\gamma(t)，周期为T。对于扰动系统，我们引入一个新的变量变换，将时间t变换为\tau=\frac{t}{\varepsilon}，同时令x=x_0(\tau)+\varepsilonx_1(\tau)+\cdots，y=y_0(\tau)+\varepsilony_1(\tau)+\cdots，将其代入扰动系统中。然后，对扰动项进行平均化处理。在一个周期[0,T]内，对扰动项X_1(x,y,\varepsilon)和Y_1(x,y,\varepsilon)进行平均，得到平均函数\overline{X_1}(x_0,y_0)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}X_1(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau和\overline{Y_1}(x_0,y_0)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}Y_1(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau。接下来，构建平均系统\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{X_1}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Y_1}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}，这个平均系统的奇点与原扰动系统的极限环存在密切关系。原扰动系统从周期解\gamma(t)分支出的极限环个数，与平均系统在相应点附近的奇点个数相对应。对于具有二次不变曲线的分段光滑三次多项式微分系统，应用一阶平均法时，首先要确定未扰系统在不同区域的周期解。在区域D_3和D_4中，分别找到围绕中心型奇点(0,0)的周期解\gamma_3(t)和\gamma_4(t)，它们的周期分别为T_3和T_4。然后，计算在各自周期内的平均函数。在区域D_3中，对于扰动项\varepsilonP_3(x,y)和\varepsilonQ_3(x,y)，计算平均函数\overline{P_3}(x_0,y_0)=\frac{1}{T_3}\int_{0}^{T_3}P_3(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau和\overline{Q_3}(x_0,y_0)=\frac{1}{T_3}\int_{0}^{T_3}Q_3(x_0(\tau),y_0(\tau),0)d\tau；在区域D_4中，对扰动项\varepsilonP_4(x,y)和\varepsilonQ_4(x,y)进行类似计算，得到平均函数\overline{P_4}(x_0,y_0)和\overline{Q_4}(x_0,y_0)。最后，构建平均系统\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{P_3}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Q_3}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}（在D_3区域）和\begin{cases}\frac{d\overline{x}}{d\tau}=\overline{P_4}(\overline{x},\overline{y})\\\frac{d\overline{y}}{d\tau}=\overline{Q_4}(\overline{x},\overline{y})\end{cases}（在D_4区域），通过分析这些平均系统在相应点附近的奇点个数，就可以估计出原扰动系统从周期解分支出的极限环个数。在计算过程中，需要注意积分的计算方法和技巧，以及平均函数的性质和特点。由于扰动项通常是多项式函数，积分计算可能会涉及到多项式的积分运算，需要运用积分的基本公式和法则进行求解。平均函数的性质也会影响到极限环个数的估计结果，例如平均函数的零点个数与平均系统的奇点个数密切相关，因此需