信号与系统简明教程 课件全套 郭铁梁 第01-7章 信号与系统分析导论 -系统的复频域分析

《信号与系统简明教程》第1章信号与系统分析导论第1章信号与系统分析导论一、信号的描述及分类二、系统的描述及分类三、信号与系统分析概述一、信号的描述与分类1.信号的基本概念2.信号的分类（1）确定信号与随机信号（2）连续信号和离散信号（3）周期信号与非周期信号（4）能量信号与功率信号1.信号的基本概念（1）定义广义:信号是随时间变化的某种（物理）量。严格:信号是消息的表现形式与传送载体。电信号:通常是指随时间变化的电压或电流。（2）表示：数学解析式或图形2.信号的分类（1）确定信号与随机信号确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号。随机信号也称为不确定信号，不是时间的确定函数。连续信号：允许在其时间定义域上存在有限个间断点。通常以f(t)表示。（2）连续信号和离散信号模拟信号：取值是连续的连续信号。离散信号：数字信号：取值为离散的离散信号。2.信号的分类在观测过程的连续时间范围内信号有确定的值。信号仅在规定的离散时刻有定义。通常以f[k]表示。连续时间信号：2.信号的分类离散信号的产生：1)对连续信号抽样f[k]=f(kT)2)信号本身是离散的3)计算机产生离散时间信号：2.信号的分类（3）周期信号与非周期信号连续时间周期信号定义:,存在非零T，使得离散时间周期信号定义:

k

I,存在非零N，使得满足上述条件的最小的正T、正N称为信号的基本周期。不满足周期信号定义的信号称为非周期信号。2.信号的分类（4）能量信号与功率信号能量信号:0<E<

，P=0。功率信号:E

，0<P<

。直流信号与周期信号都是功率信号。归一化能量E与归一化功率P的计算

注意:

一个信号，不可能既是能量信号又是功率信号。连续信号离散信号2.信号的分类二、系统的描述及其分类1.系统的定义及描述（1）系统的数学模型（2）系统的方框图表示2.系统的分类（1）连续时间系统与离散时间系统（2）线性系统与非线性系统（3）时不变系统与时变系统（4）因果系统与非因果系统（5）稳定系统与不稳定系统系统是指由相互作用和依赖的若干事物组

成的、具有特定功能的整体。1.系统的定义及描述RL串联电路（1）数学模型（2）

方框图表示1.系统的定义及描述2.系统的分类连续时间系统：系统的输入激励与输出响应都必须为连续时间信号

离散时间系统：系统的输入激励与输出响应都必须为离散时间信号

连续时间系统的数学模型是微分方程式。离散时间系统的数学模型是差分方程式。（1）连续时间系统与离散时间系统连续时间系统离散时间系统2.系统的分类（2）线性系统与非线性系统

线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括均匀特性与叠加特性。1)均匀特性：2)叠加特性：2.系统的分类其中

，

为任意常数具有线性特性的连续时间系统可表示为：2.系统的分类具有线性特性的离散时间系统可表示为：其中

，

为任意常数非线性系统：不具有线性特性的系统。

线性系统的数学模型是：

线性微分方程式或线性差分方程式。2.系统的分类[例1]判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统？（其中f(t)为系统的输入激励，y(t)为系统的输出响应）。线性系统非线性系统非线性系统线性系统2.系统的分类[解]（3）时不变系统与时变系统系统的输出响应与输入激励的关系不随输入激励作用于系统的时间起点而改变，就称为时不变系统。否则，就称为时变系统。2.系统的分类(1)y(t)=sin[f(t)]

(2)y(t)=cost·f(t)

(3)y(t)=4f2(t)+3f(t)

(4)y(t)=2t·f(t)[例2]试判断下列系统是否为时不变系统时不变系统时变系统时不变系统时变系统分析：判断系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励f(t)变为f(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否变为

y(t-t0)。注意：时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。2.系统的分类时不变的离散时间系统表示为线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式或差分方程式描述。时不变的连续系统表示为2.系统的分类（4）因果系统与非因果系统因果系统：当且仅当输入信号激励系统时才产生系统输出响应的系统。（5）

稳定系统与不稳定系统稳定系统：指有界输入产生有界输出的系统不稳定系统：系统输入有界而输出无界非因果系统：不具有因果特性的系统称为非因果系统。2.系统的分类三、信号与系统分析概述1.信号分析的主要内容2.系统分析的主要内容3.信号与系统之间的关系4.系统与电路之间的关系5.信号与系统的应用领域6.信号与系统课程的学习方法7.主要参考书信号分析连续信号离散信号取样时域：信号分解为冲击信号的线性组合频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合时域：信号分解为冲击序列的线性组合频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合1.信号分析的主要内容系统分析连续系统离散系统系统的描述输入输出描述法：N阶微分方程系统响应的求解系统的描述系统响应的求解状态空间描述：N个一阶微分方程组时域：频域：复频域：输入输出描述法：N阶差分方程状态空间描述：N个一阶差分方程组时域：频域：Z域：2.系统分析的主要内容（1）信号必定是由系统产生、发送、传输与接收，离开系统没有孤立存在的信号；（2）

系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与处理，没有信号的系统就没有存在的意义。信号与系统是相互依存的整体3.信号与系统之间的关系通信控制计算机等信号处理信号检测非电类:社科领域：电类机械、热力、光学等股市分析、人口统计等4.信号与系统的应用领域（1）

通常把系统看成比电路更为复杂、规模更大的组合（2）

处理问题的观点不同：电路：着重在电路中各支路或回路的电流及各节点的电压上系统：着重在输入输出之间的关系上，即系统能实现何种功能。5.系统与电路的关系（3）加强实践环节(学会用MATLAB进行信号分析)，通过实验加深对理论与概念的理解。（1）着重掌握信号与系统分析的物理含义，将数学概念、物理概念及其工程概念相结合。（2）注意提出问题，分析问题与解决问题的方法。（4）通过多练，复习和加深所学的基本概念，掌握解决问题的方法。6.信号与系统课程的学习方法[1]陈后金.信号与系统(第3版).

高等教育出版社，2017.05.[2]A.V.Oppenheim.SignalsandSystems(第2版),电子工业出版社，2013.01.

[3]郑君里.信号与系统(第3版).

高等教育出版社，2011.03.7.主要参考书《信号与系统简明教程》第2章信号的时域分析第2章信号的时域分析一、连续时间信号的时域描述二、连续时间信号的基本运算三、离散时间信号时域描述四、离散时间信号的基本运算五、确定信号的时域分解一、连续时间信号的时域描述1.典型普通信号（1）正弦信号（2）实指数信号（3）虚指数信号（4）复指数信号（5）抽样函数2.奇异信号

(1)单位阶跃信号

(2)冲激信号

(3)斜坡信号

(4)冲激偶信号(1)正弦信号A:振幅,

0：角频率，弧度/秒,

j:初始相位，弧度1.典型普通信号(2)实指数信号

1.典型普通信号(3)虚指数信号虚指数信号的周期：虚指数信号的基波周期：Euler公式：1.典型普通信号[例]已知虚指数信号，其角频率为，基本周期为，如果对以抽样间隔进行均匀抽样得离散时间序列，试求出使为周期信号的抽样间隔.解：连续周期虚指数信号经等间隔采样得到的离散虚指数信号不一定是周期的，若为周期离散信号，则取样间隔必须满足一定的条件：，其中，、是整数，所以有，可得1.典型普通信号tt(4)复指数信号1.典型普通信号抽样函数具有以下性质：与Sa(t)函数类似的是sinc(t)函数，其定义为(5)抽样函数1.典型普通信号(1)单位阶跃信号2.奇异信号阶跃信号的作用：①表示任意的方波脉冲信号2.奇异信号

②利用阶跃信号的单边性表示信号的时间范围2.奇异信号单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流

i(t)=Cdu(t)/dt可用冲激信号表示。狄拉克定义式：②冲激信号的定义①冲激信号的引出(2)冲激信号2.奇异信号③冲激信号的图形表示说明：A.冲激信号可以延时至任意时刻t0，以符号

(t-t0)表示，其波形如图所示。

(t-t0)的定义式为：2.奇异信号C.冲激信号的物理意义：表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型D.冲激信号的作用：B.冲激信号具有强度，其强度就是冲激信号对时间的定积分值。在图中用括号注明，以区分信号的幅值。a.表示其他任意信号；b.表示信号间断点的导数。2.奇异信号④冲激信号的极限模型2.奇异信号A.筛选特性B.取样特性⑤冲激信号的性质2.奇异信号C.展缩特性推论：冲激信号是偶函数。证明：取a=-1即可得d(t)=d(-t)2.奇异信号D.冲激信号与阶跃信号的关系2.奇异信号与阶跃信号之间的关系：定义：(3)斜坡信号2.奇异信号冲激偶信号图形表示定义：性质：(4)冲激偶信号2.奇异信号四种奇异信号具有微积分关系2.奇异信号[例]计算下列各式的值2.奇异信号[解]2.奇异信号[解]2.奇异信号2.对于

(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的展缩特性将其化为1/|a|

(t+b/a)形式后，方可利用冲激信号的取样特性与筛选特性。1.在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定都是(-

，+

)，但只要积分区间不包括冲激信号

(t-t0)的t=t0时刻，则积分结果必为零。注意：2.奇异信号1.信号的尺度变换2.信号的翻转3.信号的平移4.信号相加5.信号相乘6.信号的微分7.信号的积分二、连续时间信号的基本运算f(t)

f(at)a>0若0<a<1，则f(at)是f(t)的扩展。若a>1，则f(at)是f(t)的压缩。1.信号的尺度变换f(t)

f(-t)将f(t)以纵轴为中心作180

翻转2.信号的翻转

f(t)

f(t-t0)f(t-t0)，表示信号右移t0单位；f(t+t0)，表示信号左移t0单位。3.信号的平移（时移）f(t)=f1(t)+f2(t)+……fn(t)4.信号的相加f(t)=f1(t)·f2(t)·……·fn(t)5.信号的相乘y(t)=df(t)/dt=f'(t)6.信号的微分注意：对不连续点的微分6.信号的微分7.信号的积分[例题]已知f(t)的波形如图所示，试画出f(6-2t)的波形。二、连续时间信号的基本运算0<a<1，扩展a倍a>1，压缩1/a倍-：右移b/a单位+：左移b/a单位先翻转 再展缩 后平移信号运算的步骤二、连续时间信号的基本运算三、离散时间信号的时域描述1.离散时间信号的表示2.基本离散时间序列（1）实指数序列（2）虚指数序列和正弦序列（3）复指数序列（4）单位脉冲序列（5）单位阶跃序列1.离散时间信号的表示序列的列表表示

表示k=0的位置序列的图形表示序列的公式表示（1）实指数序列2.基本离散时间序列（2）虚指数序列和正弦序列利用Euler公式可以将正弦序列和虚指数序列联系起来，即2.基本离散时间序列周期性：如果

0/2p=m/N，N、m是不可约的整数，则信号的周期为N。即

0N=m2

，m=整数时，信号是周期信号。2.基本离散时间序列[例]离散信号周期判断①

f1[k]=sin(kp/6)

0/2p=1/12,由于1/12是不可约的有理数，故离散序列的周期N=12。2.基本离散时间序列

0/2p=1/12p,由于1/12p不是有理数，故离散序列是非周期的。②f2[k]=sin(k/6)2.基本离散时间序列

0/2p=3/8由于3/8是不可约的有理数，故f3[k]的周期为N=8。③对f3(t)=sin6pt,以fs=8Hz抽样所得序列2.基本离散时间序列（3）复指数序列衰减正弦信号（0<r<1）增幅正弦信号（r>1）2.基本离散时间序列（4）单位脉冲序列2.基本离散时间序列单位脉冲序列作用表示任意离散时间信号2.基本离散时间序列（5）单位阶跃序列d[k]与u[k]关系:2.基本离散时间序列（6）矩形序列2.基本离散时间序列（7）斜坡序列r[k]2.基本离散时间序列四、离散时间信号的基本运算1.翻转(f[k]

f[-k])2.位移(f[k]

f[k

n])3.内插与抽取4.序列相加5.序列相乘6.差分与求和f[k]

f[-k]将f[k]以纵轴为中心作180度翻转1.翻转f[k]

f[k

n]f[k+n]表示将f[k]左移n个单位。n>0

f[k-n]表示将f[k]右移n个单位。2.位移抽取(decimation)

M在原序列中每隔M-1点抽取一点f[k]

f[Mk]M为正整数3.尺度变换内插(interpolation)

M在序列两点之间插入M-1个点3.尺度变换指将若干离散序列序号相同的数值相加4.序列相加指若干离散序列序号相同的数值相乘5.序列相乘一阶后向差分二阶后向差分一阶前向差分二阶前向差分N阶后向差分N阶前向差分单位脉冲序列可用单位阶跃序列的差分表示6.差分单位阶跃序列可用单位脉冲序列的求和表示7.求和五、信号的分解1.信号分解为直流分量与交流分量2.信号分解为奇分量与偶分量之和3.信号分解为实部分量与虚部分量4.连续信号分解为冲激函数的线性组合5.离散序列分解为脉冲序列的线性组合连续时间信号离散时间信号直流交流1.信号分解为直流分量与交流分量连续时间信号离散时间信号偶分量奇分量2.信号分解为奇分量与偶分量之和[例1]画出f(t)的奇、偶两个分量2.信号分解为奇分量与偶分量之和连续时间信号离散时间信号实部分量虚部分量3.信号分解为实部分量与虚部分量4.连续信号分解为冲激函数的线性组合当

0时，k

，

d

，且4.连续信号分解为冲激函数的线性组合物理意义：不同的信号都可以分解为冲激信号线性组合，信号不同只是它们的系数不同。实际应用：当求解信号f(t)通过LTI系统产生的响应时，只需求解冲激信号通过该系统产生的响应，然后利用线性时不变系统的特性，进行迭加和延时即可求得信号f(t)产生的响应。信号分解

(t)为物理意义与实际应用4.连续信号分解为冲激函数的线性组合任意序列可以分解为单位脉冲序列及其位移的加权和5.离散序列分解为脉冲序列的线性组合《信号与系统》第3章系统的时域分析第3章系统的时域分析一、线性时不变系统的描述及特点二、连续时间LTI系统的响应三、连续时间系统的单位冲激响应四、卷积积分及其性质五、离散时间LTI系统的响应六、离散时间系统的单位脉冲响应七、卷积和及其性质八、单位冲激响应表示的系统特性一、线性时不变系统的描述及特点连续时间LTI系统用N阶线性常系数微分方程描述ai、

bi为常数。离散时间LTI系统用N阶线性常系数差分方程描述ai、

bi为常数。LTI系统除具有线性特性和时不变特性外，还具有:（1）微分特性与差分特性：若T{f(t)}=y(t)则若T{f[k]}=y[k]则T{f[k]

-f[k-1]}=y[k]

-y[k-1]一、线性时不变系统的描述及特点（2）积分特性与求和特性：若T{f(t)}=y(t)则若T{f[k]}=y[k]则一、线性时不变系统的描述及特点1.经典时域分析方法2.卷积法 （1）零输入响应求解（经典法） （2）零状态响应求解（卷积法）二、连续时间LTI系统的响应1.经典时域分析方法微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定齐次解yh(t)的形式(1)特征根是不等实根s1,s2,

,sn(2)特征根是相等实根s1=s2=

=sn(3)特征根是n个成对共轭复根1.经典时域分析方法常用激励信号对应的特解形式1.经典时域分析方法[例1]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号f(t)=e-t

u(t)，求系统的完全响应y(t)。特征根为齐次解yh(t)[解](1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为1.经典时域分析方法(2)求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t)解得A=5/2，B=-11/6由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。(3)求方程的全解1.经典时域分析方法问题思考1)若初始条件不变，输入信号f(t)=sint

u(t)，则系统的完全响应y(t)=？2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y'(0)=1,则系统的完全响应y(t)=？1.经典时域分析方法经典法不足之处若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。1.经典时域分析方法2.卷积法系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解齐次微分方程得到零输入响应利用卷积积分可求出零状态响应(1)

系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。数学模型:求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式，再由初始条件确定待定系数。2.卷积法——零输入响应的求解[解]系统的特征方程为[例2]已知某线性时不变系统的动态方程式为:系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零输入响应yx(t)。系统的特征根为

y(0)=yx(0)=K1+K2=1y'(0)=y'x(0)=-2K1-3K2=3解得K1=6，K2=-52.卷积法——零输入响应的求解[例3]

已知某线性时不变系统的动态方程式为

系统的初始状态为y(0)=2，y'(0)=-1，求系统的零输入响应yx(t)。[解]系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根）y(0)=yx(0)=K1=2;y'(0)=y'x(0)=-2K1+K2=-1解得K1=2,K2=32.卷积法——零输入响应的求解[例4]已知某线性时不变系统的动态方程式为

系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零输入响应yx(t)。[解]系统的特征方程为系统的特征根为y(0)=yx(0)=K1=1y'(0)=y'x(0)=-K1+2K2=3解得K1=1，K2=22.卷积法——零输入响应的求解(2)系统的零状态响应求解系统的零状态响应yf(t)方法：1)直接求解初始状态为零的微分方程。2)卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yf(t)表示。2.卷积法——零状态响应的求解卷积法求解系统零状态响应yf(t)的思路1)将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合。2)求出单位冲激信号作用在系统上的零状态响应—单位冲激响应h(t)。3)利用线性时不变系统的特性，求出单位冲激信号线性组合作用在系统上的响应，即系统在任意信号f(t)激励下的零状态响应yf(t)。2.卷积法——零状态响应的求解卷积法求解系统零状态响应yf(t)推导由时不变特性由均匀特性由积分特性2.卷积法——零状态响应的求解[例5]

已知某LTI系统的动态方程式为y'(t)+3y(t)=2f(t)，系统的冲激响应h(t)=2e-3t

u(t),f(t)=3u(t),试求系统的零状态响应yf(t)。[解]2.卷积法——零状态响应的求解三、连续时间系统的单位冲激响应1.连续时间系统单位冲激响应的定义2.连续时间系统的单位阶跃响应1.连续时间系统单位冲激响应的定义在系统初始状态为零的条件下，以单位冲激信号激励系统所产生的输出响应，称为系统的单位冲激响应，以符号h(t)表示。N阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足求解方法:1)直接求解微分方程（经典法）2)利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系2.连续时间LTI系统的阶跃响应[例3]求例1所述系统的单位阶跃响应g(t)。例1系统的单位冲激响应为[解]

利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系，可得2.连续时间LTI系统的阶跃响应四、卷积积分的计算和性质1.卷积积分的计算2.卷积积分的性质

交换律、分配律、结合律、位移特性、延迟特性、微分特性、积分特性、等效特性3.奇异信号的卷积积分1.卷积积分的计算卷积的定义：1）将f(t)和h(t)中的自变量由t改为

，

成为函数的自变量；卷积的计算步骤：2）把其中一个信号翻转、平移；3）将f(t)与h(t-t)相乘；对乘积后的图形积分。[例1]1.卷积积分的计算[例2]计算y(t)=p1(t)*p1(t)a)-

<t

-1y(t)=01.卷积积分的计算1.卷积积分的计算b)-1

t<0c)0

t<1d)1

t<

y(t)=01.卷积积分的计算a)-

<t

-1,y(t)=0b)-1

t<0,c)0

t<1,d)1

t<,y(t)=01)交换律

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2)分配律[f1(t)+f2(t)]*f3(t)=f1(t)*f3(t)+f2(t)*f3(t)3)结合律[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]4)位移特性已知f1(t)*f2(t)=y(t)

则:f1(t-t1)*f2(t-t2)=y(t-t1

-t2)2.卷积的性质位移特性证明：2.卷积的性质[例]利用位移特性及u(t)*u(t)=r(t)，计算y(t)=f(t)*h(t)。y(t)=f(t)*h(t)=[u(t)-u(t-1)]*[u(t)-u(t-2)]=u(t)*u(t)-u(t-1)*u(t)-u(t)*u(t-2)+u(t-1)*u(t-2)=r(t)-r(t-1)–r(t-2)+r(t-3)2.卷积的性质1)延迟特性f(t)*

(t-T)=f(t-T)2)微分特性f(t)*

'(t)=f'(t)3)积分特性4)等效特性3.奇异信号的卷积[例1]已知y(t)=f1(t)*f2(t)，求y'(t)。[解][例2]已知y(t)=f1(t)*f2(t)，求y(-1)(t)。[解]y(-1)(t)=y(t)*u(t)=[f1(t)*f2(t)]*u(t)=f1'(t)*f2(t)=f1(t)*f2'(t)=f1(-1)(t)*f2(t)=f1(t)*f2(-1)(t)3.奇异信号的卷积[例3]利用等效特性，计算y(t)=f(t)*h(t)。f'(t)=d(t)-d(t-1)f'(t)*

h(t)=h(t)-

h(t-1)3.奇异信号的卷积=r(t)-r(t-1)–r(t-2)+r(t-3)五、离散时间LTI系统的响应1.迭代法求系统响应2.经典时域法求系统响应3.卷积法求系统响应

零输入响应求解(经典法)

零状态响应求解(卷积法）1.迭代法求系统响应已知n个初始条件{y[-1],y[-2],y[-3],∙∙∙∙,y[-n]}和输入f[k]，由差分方程迭代出系统的输出。离散时间LTI系统的数学模型为[例1]一阶线性常系数差分方程y[k]-0.5y[k-1]=u[k],y[-1]=1，用递推法求解差分方程。[解]将差分方程写成：代入初始条件，可求得依此类推:缺点：很难得到闭合形式的解。1.迭代法求系统响应差分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh[k]和特解yp[k]组成:齐次解yh[k]的形式由齐次方程的特征根确定特解yp[k]的形式由方程右边激励信号的形式确定2.经典时域分析方法齐次解的形式(1)特征根是不等实根r1,r2,

,rn(2)特征根是相等实根r1=r2=

=rn(3)特征根是成对共轭复根2.经典时域分析方法常用激励信号对应的特解形式ak(a不是特征根)ak(a是特征根)2.经典时域分析方法[例2]已知某二阶线性时不变离散时间系统的动态方程

初始条件y[0]=0,y[1]=-1,输入信号f[k]=2k

u[k]，求系统的完全响应y[k]。特征根为齐次解yh[k][解](1)求齐次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=0的齐次解yh[k]特征方程为2.经典时域分析方法(2)求非齐次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2]=f[k]的特解yp[k]解得C1=-3，C2=3由输入f[k]=2k

u[k]，设方程的特解形式为将特解带入原微分方程即可求得常数A=-2。(3)求方程的全解2.经典时域分析方法问题思考(1)若初始条件不变，输入信号f[k]=sin

0

k

u[k]，则系统的完全响应y[k]=？(2)若输入信号不变，初始条件y[0]=1,y[1]=1,则系统的完全响应y[k]=？2.经典时域分析方法经典法不足之处若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。2.经典时域分析方法系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解齐次差分方程得到零输入响应yx[k]利用卷积和可求出零状态响应yf[k]3.卷积法求系统响应系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。数学模型:求解方法：根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式，再由初始条件确定待定系数。3.卷积法求系统响应[解]系统的特征方程为[例3]已知某线性时不变离散系统的动态方程式为:系统的初始状态为y[-1]=0，y[-2]=1/2，求系统的零输入响应yx[k]。系统的特征根为解得C1=1，C2=-23.卷积法求系统响应[例4]已知某线性时不变离散系统的动态方程式为

系统初始状态为y[-1]=0，y[-2]=-1，求系统的零输入响应yx[k]。[解]系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根）解得C1=4,C2=43.卷积法求系统响应[例5]

已知某线性时不变离散系统的动态方程式为

系统的初始状态为y[-1]=2，y[-2]=-1，y[-3]=8，求系统的零输入响应yx[k]。[解]系统的特征方程为系统的特征根为解得C1=1，C2=0，C3=53.卷积法求系统响应系统的零状态响应求解系统零状态响应yf[k]的方法：1)经典法直接求解初始状态为零的差分方程。2)卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f[k]产生的响应称为零状态响应，用yf[k]表示。3.卷积法求系统响应卷积法求解系统零状态响应yf

[k]的思路1)将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合2)求出单位脉冲序列作用在系统上的零状态响应

单位脉冲响应。3)利用线性时不变系统的特性，求出单位脉冲序列线性组合作用在系统上的响应，即系统在任意信号f[k]激励下的零状态响应yf[k]。3.卷积法求系统响应卷积和求解系统零状态响应yf[k]推导由时不变特性由均匀特性由叠加特性3.卷积法求系统响应[例6]若描述某离散系统的差分方程为已知激励求系统的零状态响应yf

[k]。[解]3.卷积法求系统响应六、离散系统的单位脉冲响应1.单位脉冲响应h[k]定义2.h[k]的求解3.单位阶跃响应g[k]的求解1.单位脉冲响应h[k]定义单位脉冲序列

[k]作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应,用符号h[k]表示。对N阶LTI离散时间系统，h[k]满足方程求差分方程的齐次解特征方程为特征根为齐次解的表达式为代入初始条件，有解得C1=-1，C2=22.h[k]的求解单位阶跃序列u[k]作用在离散时间LTI系统上产生的零状态响应称为单位阶跃响应，用符号g[k]表示。求解方法：(1)迭代法(2)经典法(3)利用单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系h[k]=g[k]-g[k-1]3.单位阶跃响应[例1]求例1所述系统的单位阶跃响应g[k]。[解]例1所述系统的单位脉冲响应为利用h[k]与g[k]的关系，可得h[k]=[-(-1)k+2(-2)k]u[k]3.单位阶跃响应七、卷积和的计算与性质1.图解法计算卷积和2.列表法计算卷积和3.卷积和的性质

交换律结合律分配律位移特性 差分与求和特性1.图解法计算卷积和计算步骤:1)将f[k]、h[k]中的自变量由k改为n；2)把其中一个信号翻转，如将h[n]翻转得h[-n]；3)把h[-n]平移k，k是参变量。k>0图形右移，k<0图形左移。4)将f[n]与h[k-n]重叠部分相乘；5)对乘积后的图形求和。卷积和定义为[例1]

已知f[k]=u[k],h[k]=aku[k],0<a<1,计算y[k]=f[k]*h[k]1.图解法计算卷积和k<0,f[n]与h[k-n]图形没有相遇k>0,f[n]与h[k-n]图形相遇y[k]=01.图解法计算卷积和y[k]=f[k]*h[k]1.图解法计算卷积和[例2]计算y[k]=RN[k]*RN[k]。1.图解法计算卷积和0

k

N-1时,重合区间为[0，k]k

<0时,RN

[n]与RN

[k-n]图形没有相遇y[k]=01.图解法计算卷积和k>2N-2时,RN

[n]与RN

[k-n],图形不再相遇y[k]=0N-1

k

2N-2时,重合区间为[-(N-1)+k，N-1]1.图解法计算卷积和设f[k]和h[k]都是因果序列，则有当k=0时，当k=1时，当k=2时，当k=3时，以上求解过程可以归纳成列表法。2.列表法计算序列卷积和将h[k]的值顺序排成一行，将f[k]的值顺序排成一列，行与列的交叉点记入相应f[k]与h[k]的乘积，对角斜线上各数值就是

f[n]h[k-n]的值。对角斜线上各数值的和就是y[k]各项的值。2.列表法计算序列卷积和[例3]

计算与的卷积和。2.列表法计算序列卷积和交换律:f[k]*h[k]=h[k]*f[k]f[k]*{h1[k]*h2[k]}={f[k]*h1[k]}*h2[k]f[k]*{h1[k]+h2[k]}=f[k]*h1[k]+f[k]*h2[k]结合律:分配律:3.卷积和的性质位移特性：f[k]*d[k-n]=f[k-n]推论：若f[k]*h[k]=y[k]，则f[k-n]*h[k-l]=y[k-(n+l)]差分与求和特性：若f[k]*h[k]=y[k]3.卷积和的性质[例4]

计算与的卷积和[解]利用位移特性3.卷积和的性质八、单位冲激响应表示的系统特性1.级联系统的单位冲激响应2.并联系统的单位冲激响应3.因果系统4.稳定系统1.级联系统的单位冲激响应根据卷积积分的结合律性质，有结论:1)级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积。2)交换两个级联系统的先后连接次序不影响系统总的冲激响应。两个离散时间系统的级联也有同样的结论。1.级联系统的单位冲激响应应用卷积积分的分配律性质，有2.并联系统的单位冲激响应并联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和。两个离散时间系统的并联也有同样的结论。结论:2.并联系统的单位冲激响应[例1]求图示系统的冲激响应。其中h1(t)=e-3t

u(t)，h2(t)=d(t-1)，h3(t)=u(t)。[解]

子系统h1(t)与h2(t)级联，h3(t)支路与h1(t)h2(t)级联支路并联。八、单位冲激响应表示的系统特性[例2]求图示系统的单位脉冲响应。其中h1[k]=2k

u[k]，

h2[k]=d[k-1]，h3[k]=3k

u[k]，h4[k]=u[k]。[解]

子系统h2[k]与h3[k]级联，h1[k]支路、全通支路与h2[k]h3[k]级联支路并联，再与h4[k]级联。全通支路满足全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列d[k]八、单位冲激响应表示的系统特性定义：因果系统是指系统t0时刻的输出只和t0时刻及以前的输入信号有关。因果系统的充分必要条件因果连续时间LTI系统的单位冲激响应必须满足因果离散时间LTI系统的单位脉冲响应必须满足一个因果系统的冲激响应在冲激出现之前必须为零。3.因果系统[例3]

判断M1+M2+1点滑动平均系统是否是因果系统。[解]

M1+M2+1点滑动平均系统的输入输出关系为系统的单位脉冲响应为即显然，只有当M2=0时，才满足h[k]=0,k<0的充要条件。即当M2=0时，系统是因果的。3.因果系统定义：若连续系统对任意的有界输入其输出也有界，则称该系统是稳定系统。稳定系统的充分必要条件连续时间LTI系统稳定的充分必要条件是离散时间LTI系统稳定的充分必要条件是4.稳定系统[例4]

判断M1+M2+1点滑动平均系统是否稳定。[解]由例3可知，系统的单位脉冲响应为由离散时间LTI系统稳定的充分必要条件可以判断出该系统稳定。对h[k]求和，可得4.稳定系统[例5]已知一因果LTI系统的单位冲激响应为h(t)=eatu(t)，判断该系统是否稳定。[解]由于当a<0时，系统稳定当a

0时，系统不稳定4.稳定系统《信号与系统简明教程》第4章信号的频域分析第4章信号的频域分析一、连续周期信号的Fourier级数展开二、Fourier级数的基本性质三、连续周期信号的频谱分析四、连续非周期信号的频谱五、常见连续时间信号的频谱六、连续时间Fourier变换的性质七、*离散Fourier级数八、*离散非周期信号的频域分析九、信号的时域抽样定理将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合

(1)从信号分析的角度,将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合,为不同信号之间进行比较提供了途径。

(2)从系统分析角度,已知单频正弦信号激励下的响应,利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。一、连续周期信号的Fourier级数展开周期信号fT(t)应满足Dirichlet条件，即：(1)绝对可积，即满足 (2)在一个周期内只有有限个不连续点；(3)在一个周期内只有有限个极大值和极小值。注意：条件（1）为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。周期信号展开为Fourier级数条件一、连续周期信号的Fourier级数展开1.指数形式Fourier级数连续时间周期信号可以用指数形式Fourier级数表示为两项的频率为

0，两项合起来称为信号的基波分量的频率为2

0，两项合起来称为信号的2次谐波分量的频率为N

0，两项合起来称为信号的N次谐波分量物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。若f(t)为实函数，则有利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为令由于C0是实的，所以b0=0，故2.三角形式Fourier级数2.三角形式Fourier级数Ancos(n

0+

n)称为信号的n次谐波分量。称为信号的直流分量。3.纯余弦形式Fourier级数

n称为信号的n次谐波分量的初相（或Cn的相位角）。[例1]

试计算图示周期矩形脉冲信号的Fourier级数展开式。[解]该周期信号f

(t)显然满足Dirichlet的三个条件，必然存在Fourier级数展开式。一、连续周期信号的Fourier级数展开可得，周期方波信号的三角形式Fourier级数展开式为由因此，周期方波信号的指数形式Fourier级数展开式为一、连续周期信号的Fourier级数展开1.线性特性2.时移特性二、Fourier级数的基本性质3.卷积性质[f(t)为实信号]若f1(t)和f2(t)均是周期为T0的周期信号，且4.微分特性5.对称特性二、Fourier级数的基本性质三、连续周期信号的频谱分析周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和

Cn是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。不同的时域信号，只是Fourier级数的系数Cn不同，因此通过研究Fourier级数的系数来研究信号的特性。1.频谱的概念其中2.频谱的表示直接画出信号各次谐波对应的An、

Cn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。幅频特性相频特性三、连续周期信号的频谱分析周期矩形脉冲信号的频谱图三、连续周期信号的频谱分析3.频谱的特性(1)离散频谱特性周期信号的频谱是由间隔为

0的谱线组成信号周期T越大，

0就越小，则谱线越密。反之，T越小，

0越大，谱线则越疏。三、连续周期信号的频谱分析(2)幅度衰减特性当周期信号的幅度频谱随着谐波n

0增大时，幅度频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。三、连续周期信号的频谱分析(3)信号的有效带宽0~2

/

这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即信号的有效带宽与信号时域的持续时间

成反比。即

越大，其

B越小；反之，

越小，其

B越大。三、连续周期信号的频谱分析物理意义：若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。三、连续周期信号的频谱分析4.周期信号的功率谱物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。|Cn|2随n

0

分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。帕斯瓦尔(Parseval)功率守恒定理三、连续周期信号的频谱分析[例2]试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2p/t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，

=1/20。三、连续周期信号的频谱分析[解]周期矩形脉冲的Fourier系数为将A=1，T=1/4，

=1/20，

0=2p/T=8p

代入上式功率谱三、连续周期信号的频谱分析功率谱三、连续周期信号的频谱分析信号的平均功率为包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为三、连续周期信号的频谱分析周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。三、连续周期信号的频谱分析N=5N=15N=50N=500吉布斯（Gibbs)现象三、连续周期信号的频谱分析吉布斯（Gibbs)现象用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少，且为跳变值的9%。Gibbs现象产生原因时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点Fourier级数出现非一致收敛。三、连续周期信号的频谱分析四、连续非周期信号的频谱1.从Fourier级数到Fourier变换2.频谱函数与频谱密度函数的区别3.Fourier反变换4.非周期矩形脉冲信号的频谱分析1.从Fourier级数到Fourier变换讨论周期T增加对离散谱的影响：周期为T宽度为t的周期矩形脉冲的Fourier系数为物理意义:F(j

)是单位频率所具有的信号频谱，称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。1.从Fourier级数到Fourier变换Dirichlet条件Dirichlet条件是充分不必要条件（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最小值。（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，且这些点必须是有限值。1.从Fourier级数到Fourier变换(1)周期信号的频谱为离散频谱，非周期信号的频谱为连续频谱。(2)周期信号的频谱为Cn的分布，表示每个谐波分量的复振幅；非周期信号的频谱为TCn的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。两者关系：2.频谱函数与频谱密度函数的区别物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为

，复振幅为[F(

)/2p]d

的复指数信号ej

t的线性组合。T

,记n

0=

,

0=2p/T=d

,3.Fourier反变换Fourier正变换：Fourier反变换：符号表示：3.Fourier反变换[例]试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数[解]非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为由Fourier正变换定义式，可得四、连续非周期信号的频谱4.非周期矩形脉冲信号的频谱分析（2）周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连续频谱等间隔取样求得（3）信号在时域有限，则在频域将无限延续。（4）信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。（5）脉冲宽度

越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。（1）非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。五、常见连续时间信号的频谱1.常见非周期信号的频谱(频谱密度)单边指数信号双边指数信号e-|t|

单位冲激信号

(t)

直流信号符号函数信号单位阶跃信号u(t)2.常见周期信号的频谱密度虚指数信号(正弦型信号)一般周期信号单位冲激串1.常见非周期信号的频谱(1)单边指数信号幅度频谱为相位频谱为单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱1.常见非周期信号的频谱(2)双边指数信号幅度频谱为 相位频谱为1.常见非周期信号的频谱(3)单位冲激信号δ(t)单位冲激信号及其频谱1.常见非周期信号的频谱(4)直流信号直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限的方法求出其Fourier变换。

1.常见非周期信号的频谱对照冲激、直流时频曲线可看出:时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。直流信号及其频谱1.常见非周期信号的频谱(4)直流信号（5）符号函数信号符号函数定义为1.常见非周期信号的频谱符号函数的幅度频谱和相位频谱（5）符号函数信号1.常见非周期信号的频谱(6)单位阶跃信号u(t)单位阶跃信号及其频谱1.常见非周期信号的频谱2.常见周期信号的频谱(1)虚指数信号同理:（2）正弦型信号余弦信号及其频谱函数2.常见周期信号的频谱正弦信号及其频谱函数（2）正弦型信号2.常见周期信号的频谱（3）一般周期信号两边同取Fourier变换2.常见周期信号的频谱（4）单位冲激串因为

T(t)为周期信号，先将其展开为指数形式Fourier级数：2.常见周期信号的频谱单位冲激序列及其频谱函数（4）单位冲激串2.常见周期信号的频谱1.线性特性 2.共轭对称特性3.互易对称特性4.展缩特性 5.时移特性6.频移特性7.时域卷积特性8.频域卷积特性9.时域微分特性10.积分特性 11.频域微分特性12.能量定理六、Fourier变换的基本性质1.线性特性其中a和b均为常数。2.共轭对称特性当f(t)是实函数时，有|F(j

)|=|F(-j

)|，f(

)=-f(-

)F(j

)为复数，可以表示为3.时移特性式中t0为任意实数证明：令x=t-t0，则dx=dt，代入上式可得信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。[例1]试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(jw)。[解]无延时且宽度为

的矩形脉冲信号f(t)如右图，因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为3.时移特性4.展缩特性证明:令x=at，则dx=adt，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。5.互易对称特性5.互易对称特性[例2]求信号的频谱.[解]由再由互易对称性得：所以：6.频移特性（调制定理）若

f(t)

F(j

)式中

0为任意实数证明：由Fourier变换定义有则信号f(t)与正弦信号相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移

0，幅度减半。同理6.频移特性（调制定理）[例3]试求矩形脉冲信号f(t)与正弦信号cos

0t相乘后信号的频谱函数。应用频移特性可得[解]已知宽度为

的矩形脉冲信号对应的频谱函数为6.频移特性（调制定理）6.频移特性（调制定理）7.时域微分特性则若

[例4]试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。[解]由时域微分特性因此有7.时域微分特性8.频域微分特性则若 将上式两边同乘以j得证明：[例5]试求单位斜坡信号tu(t)的Fourier变换。 [解]已知单位阶跃信号Fourier变换为:利用频域微分特性可得:8.频域微分特性9.时域卷积特性证明：10.频域卷积特性(调制特性)证明：11.积分特性若信号不存在直流分量，即F(0)=0则若则12.非周期实信号的能量谱密度由于信号f(t)为实数，故F(-j

)=F*(j

)，因此上式为信号的能量可以由|F(j

)|2在整个频率范围的积分乘以1/2

来计算。物理意义：非周期能量信号的归一化能量在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。能量频谱密度函数(能量频)：单位角频率的信号能量帕斯瓦尔（Parseval）能量守恒定理七、*离散Fourier级数（DFS）1.DFS的定义2.常用离散周期序列的频谱分析 正弦型序列 周期矩形波序列DFS的物理含义周期为N的任意序列可分解为基本序列{exp(2pkm/N)

;m=0,1,

,N-1}的线性组合。1.DFS的定义IDFSDFS1.DFS的定义（1）正弦型序列周期序列的频谱因此，按傅立叶级数展开的定义可知（2）周期矩形波序列当时，有2.常用离散周期序列的频谱分析八、*离散时间Fourier变换(DTFT)1.DTFT的定义2.DTFT的性质1.DTFT的定义DTFT 1)F(ej

)是连续的IDTFT 2)F(e

j

)是周期为2

的周期函数F(ej

)特点：1.DTFT的定义[解]

1.DTFT的定义03p01234-3p-2p-pp2p|F(ej

)|

[例3]试求单位脉冲序列f[k]=d[k]的DTFT。[解]1.DTFT的定义

2.DTFT性质(1)线性特性

(2)对称特性F(ej

)可表示为当f[k]是实序列时:(3)时移(4)频移

2.DTFT性质(5)时域卷积(6)频域卷积(7)频域微分(8)能量定理

2.DTFT性质九、连续时间信号的时域抽样抽样定理的工程问题抽样定理的理论分析抽样定理的理论联系实际抽样定理的Matlab仿真分析信号的重建1.抽样定理的工程问题AnalogsignalDigitalsignal思考：如何确定采样间隔T？2.抽样定理的理论分析初步结论：2.抽样定理的理论分析2.抽样定理的理论分析理想抽样信号samplingsignalContinuoustimesignalDiscretesignal2.抽样定理的理论分析理想抽样信号思考：如何建立与的关系？2.抽样定理的理论分析与的关系：2.抽样定理的理论分析2.抽样定理的理论分析结论1：理想抽样信号频谱相当于连续信号频谱的周期延拓。2.抽样定理的理论分析与的关系：2.抽样定理的理论分析结论2：理想抽样信号与离散信号频谱相同。2.抽样定理的理论分析2.抽样定理的理论分析2.抽样定理的理论分析抽样定理：Nyquist'ssamplingtheorem为最小抽样频率，称为Nyquist

rate.(1)f(t)是带限信号(2)抽样频率需满足2.抽样定理的理论分析HarryNyquistHarryNyquist,(bornFeb.7,1889,Nilsby,Sweden—diedApril4,1976,Harlingen,Texas,U.S.),AmericanphysicistandHis1928paper“CertainTopicsinTelegraphTransmissionTheory”refinedhisearlierresultsandestablishedtheprinciplesofsamplingcontinuoussignalstoconvertthemtodigitalsignals.electricalandcommunicationsengineer,aprolificinventorwhomadefundamentaltheoreticalandpracticalcontributionstotelecommunicati