九年级数学练习et专题十二　与切线有关的辅助线

第2章

直线与圆的位置关系

专题十二与切线有关的辅助线题型一切线的判定类型1有切点，连半径解题秘方：证明某直线为圆的切线时，如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”．例1如图，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E.求证：DE为⊙O的切线．【证明】连结OD.∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO.∴∠C＝∠ADO.∴OD∥BC.∵DE⊥BC，∴OD⊥DE.又∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线．变式1－1如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB于点E，F为BA的延长线上一点，CA恰好平分∠FCE.求证：直线FC与⊙O相切．【证明】连结OC,∵CD⊥AB，∴∠CEA＝90°.∴∠ACE＋∠CAE＝90°.∵CA平分∠FCE，∴∠FCA＝∠ACD.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠FCA＋∠OCA＝∠ACD＋∠CAO＝90°，即∠FCO＝90°.∴OC⊥CF.又∵OC为⊙O的半径，∴直线FC与⊙O相切．类型2无切点，作垂线解题秘方：证明某直线为圆的切线时，如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．例2如图，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的半径为3.求证：AB是⊙O的切线．变式2－1如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以点D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.【证明】过点D作DF⊥AC于点F.∵∠B＝90°，∴AB⊥BC.又∵AD平分∠BAC，∴BD＝DF.∴DF是⊙D的半径．∴AC是⊙D的切线．(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)求线段AC的长．【解】在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△FDC.∴FC＝EB＝3.∵AB，AF为⊙D的切线，∴AF＝AB＝5.∴AC＝5＋3＝8.题型二切线的性质例3如图，AB，CD是⊙O的切线，B，D为切点，AB＝2，CD＝4，AC＝10.若∠A＋∠C＝90°，则⊙O的半径是________．4【点拨】设⊙O的半径是r.如图，连结OB，OD，延长AB，CD交于点E，则OB＝r.∵AB，CD是⊙O的切线，B，D为切点，∴∠OBE＝∠ODE＝90°.∵∠A＋∠C＝90°，

∴∠AEC＝90°.∴∠AEC＝∠OBE＝∠ODE＝90°.∴四边形ODEB是矩形．又∵OB＝OD，∴四边形ODEB是正方形．∴BE＝DE＝OB＝r.∴AE＝r＋2，CE＝r＋4.在Rt△AEC中，∵AE2＋CE2＝AC2，∴(r＋2)2＋(r＋4)2＝102，解得r＝4(负值已舍去)．∴⊙O的半径是4.6.9【点拨】如图，设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连结OC，OB，OA.∵AC，AB均为⊙O的切线，∴OC⊥AC，OB⊥AB.又∵OC＝OB，OA＝OA，∴Rt△AOC≌Rt△AOB.∴∠OAC＝∠OAB.变式3－2如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的⊙O与AC相切于点A.D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为________．【点拨】由题意可知，点D的位置分为两种情况，如图．①当∠CAD为90°时，此时点D与点O重合(即为图中的点D1)．设⊙O的半径为r，则OA＝r，OC＝4－r.在Rt△AOC中，根据勾股定理可得r2＋22＝(4－r)2，1如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD.试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由．【解】PD与⊙O相切．理由如下：如图，连结PO.∵∠ACP＝60°，∴∠AOP＝2∠ACP＝120°.∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°.∴∠POD＝60°.∵PA＝PD，∴∠D＝∠OAP＝30°.∴∠OPD＝180°－∠POD－∠D＝90°，即OP⊥PD.又∵OP是⊙O的半径，∴PD与⊙O相切．2如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB＝CD，

且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线．3如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE.(1)求证：EF为⊙O的切线；【证明】如图，连结OE.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.∵DF＝FE，∴∠FED＝∠FDE.∵∠FDE＝∠CDO，∴∠FED＝∠CDO.又∵OC⊥AB，∴∠CDO＋∠OCD＝90°.∴∠FED＋∠OEC＝90°，即∠FEO＝90°.∴OE⊥FE.又∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线．(2)若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．【解】设⊙O的半径为r，则BF＝BD＝r－1.∴FE＝DF＝2BD＝2r－2.∴OF＝DF＋OD＝2r－1.由(1)知△FEO为直角三角形，∴由勾股定理得FE2＋OE2＝OF2，即(2r－2)2＋r2＝(2r－1)2，解得r＝3或r＝1(不符合题意，舍去)．∴⊙O的半径为3.4如图，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E.过点D的⊙O的切线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD.(1)求∠F的度数；(2)若DE·DC＝8，连结AD，求AD的长．5如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB，以OC为半径的半圆O与AB边相切于点D，交AC边于点E.(1)求证：BC＝BD；【证明】连结OD.∵∠BCO＝90°，∴OC⊥BC.∵OC是半圆O的半径，∴BC是半圆O的切线．又∵BD是半圆O的切线，∴BC＝BD.(2)若OB＝OA，AE＝2，