福建省漳州市2025-2026学年上学期九年级期末考试题卷（解析版）

新启点教育集团学年九年级期末考试题卷数学（考试时间：分钟整卷满分：分）一、选择题：分1.的值为（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据常见特殊角的三角形函数值，即可获得答案．【详解】解：．故选：C．2.如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（）A.点RB.点PC.点QD.点O【答案】D【解析】【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心．【详解】解：连接，交于点O，第1页/共29页∴点O是位似中心，故选：D．3.在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离，则甲，乙的实际距离是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了比例的应用，根据在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离，进行列式计算得出，再进行单位换算，即可作答．【详解】解：在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离，∴则，故选：C．4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A.B.且C.且D.且【答案】B【解析】【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．利用根的判别式与一元二次方程的定义，列出不等式求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴且，解得：且，故选：B．5.抛物线的顶点坐标是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第2页/共29页【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．抛物线方程为顶点形式，直接读取顶点坐标．【详解】解：∵是顶点形式，顶点坐标为，故选：B．6.一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图像大致是如图中的（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图像和性质，解题的关键是掌握两个函数的图像和性质．根据一次函数和反比例函数的图像和性质，确定函数图像经过的象限即可．【详解】解：由得，，∴随的增大而减小，与轴的交点坐标为，∴一次函数的图像经过一、二、四象限；由得，，反比例函数的图选经过一、三象限；故选：A．7.用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第3页/共29页【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，先画出树状图，从而可得出两个转盘转动时的所有可能结果，再找出一个为红色，一个为蓝色的结果，再利用概率公式求解即可【详解】解：由题意，画树状图如下：由此可知，两个转盘转动时的所有可能结果共有6种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，一个为红色，一个为蓝色的结果只有1种，则配得紫色的概率是，故选：D．8.抛物线与轴有唯一的一个交点时，的值是（）A.0B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据抛物线与x轴有唯一交点时，判别式为零，解方程求b的值即可．【详解】解：抛物线与x轴有唯一交点，方程的判别式，即，∴，∴；故选D．9.如图，在中，于F，于E，M为的中点，，，的周长是（）第4页/共29页A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和三角形的周长，解题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段的长．根据于F，于E，M为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出和的长，即可求解．【详解】解：∵，M为的中点，∴为斜边上的中线，∴，同理可得：，∵，∴的周长．10.Rt△ABCACB=90AC=6BC=12D在边BCE在线段ADEF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（）A.3.6B.4C.4.8D.5【答案】B【解析】D作DH⊥BC交AB于点HAFE∽△ACD和△AEG∽△ADH可得DC=DH第5页/共29页BDH∽△BCA，根据相似三角形的性质列出方程即可求出CD.【详解】解：过点D作DH⊥BC交AB于点H，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴△AFE∽△ACD，∴，∵DH⊥BC，EG⊥EF，∴DH∥EG，∴△AEG∽△ADH，∴，∴∵EF=EG，∴DC=DH，设DH=DC=x，则BD=12-x，又∵△BDH∽△BCA，∴，即，解得：x=4，即CD=4，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似的性质得到DC=DH是解题关键.二、填空题：分已知是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为___________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，横纵坐标之积相等，列出方程求解．【详解】解：点和点在同一个反比例函数图象上，第6页/共29页∴，解得．故答案为：．12.如图是福州城市形象，为了估算出图案面积（含文字），兴趣小组先将图片打印在面积为的长方形纸片上，再利用计算机软件进行随机投点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落0.35________平方厘米．【答案】70【解析】频率和概率之间的关系解答即可．【详解】解：长方形纸片的总面积为：，点落在图案上（含文字）的频率稳定在0.35左右，图案（含文字）的面积约为，故答案为：70．13.如图，在中，，，，在上截取，再在上截取，则的值为________．【答案】【解析】第7页/共29页【分析】本题考查了黄金分割以及勾股定理；熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键．先由勾股定理求出，再由，得，即可得出结论．【详解】解：，，，，，，，故答案为：14.图12为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，分米，分米，C到水平线l的距离为________【答案】【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点C作于点M，交于点N，证明四边形是矩形，得到，证明的长即可得到答案．【详解】解：过点C作于点M，交于点N，∵，，第8页/共29页∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵分米，∴分米，∴分米，∵分米，∴分米，∴分米，故答案为：．15.如图，在平面直角坐标系中，点B在函数图象上，点A在函数的图象上，若，，则k的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，分别过作轴的垂线，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质可得，进而求得，根据反比例函数的几何意义即可求得的值．【详解】解：如图，分别过作轴的垂线，垂足分别为，第9页/共29页点在函数的图象上，，，，轴，轴，，，，又，，，点在函数的图象上，，，故答案为：．16.中，，，，为的平分线，则______．第10页/共29页【答案】【解析】含解题的关键．过作于点，过作于点，于点，由含的直角三角形的性质得，，再由锐角三角函数定义得，然后由得出，即可解决问题．【详解】解：如图，过作于点，过作于点，于点，则，∵，为的平分线，∴∴，，在中，∴∵∴第11页/共29页∴即解得：故答案为：．三、解答题：分17.解方程：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，根据一元二次方程各项系数，用求根公式计算即可．【详解】解：，，，，，方程有两个不相等的实数根，，，．18.2040了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由．【答案】（1）商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价元（2）商场平均每天盈利不能达到元，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．第12页/共29页（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，所以此时商场平均每天要盈利元，根据商场平均每天要盈利元，等量关系列出方程求解即可；（2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利元，列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能．小问1详解】解：设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，由题意，得，即：，解，得，，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为，所以，商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价元；【小问2详解】假设能达到，由题意，得，整理得：，，即：该方程无解，所以，商场平均每天盈利不能达到元．19.操作一项，题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目，以两次抽签的结果作为理化实验测试的题目，物理、化学实验操作内容如图所示．第13页/共29页理化实验操作内容物理实验一：用托盘天平测固体和液体的质量实验二：探究并联电路中电流的规律实验三：探究杠杆的平衡条件化学实验一：氧气的制取实验二：溶液酸碱性的检验实验三：粗盐提纯（1）求小李同学抽到化学实验一的概率；（2）请你用列表法或画树状图法求出理化实验题目的所有可能的结果，并求出小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率．【答案】（1）（2）列表法的所有可能结果见详解，【解析】【分析】本题考查了概率的计算，具体涉及古典概率和用列表法或树状图法求概率．（1）化学实验共有31种，所以根据古典概率型概率公式可得抽到化学实验一的概率为；（2）利用列表法或树状图法先列举所有等可能结果，通过此方法可以得到理化实验题目的所有可能结果共有9种，再计算特定事件概率可得到最终结果．【小问1详解】解：由题意知，化学共有三个实验可选，每名学生每科只操作一项，题目由学生随机抽签确定，则小李同学抽到化学实验一的概率为．【小问2详解】ABCabc如下：第14页/共29页ABCa(A，a)(B，a)(C，a)b(A，b)(B，b)(C，b)c(A，c)(B，c)(C，c)由表可知，共有9种等可能的结果，其中小刚同学抽到物理实验二和化学实验三只有1种结果，∴，∴小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率为．20.角的三角板，AB两点分别落在x轴和y轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线l到的距离为．（1（2）若直线l与边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值．【答案】（1）画图见解析（2）【解析】1）根据题意作出线段的垂直平分线即可；（2）利用一线三直角证明继而可求出点坐标，再根据中点坐标公式求出点坐标，即可求出双曲线中的值．【小问1详解】解：作线段的垂直平分线即可，如图示：第15页/共29页理由如下：由题意可知，是等腰直角三角形，，在直线中，当时，；当时，，，，由垂直平分线的性质可得：，且到的距离为；【小问2详解】解：如图，作轴，垂足为，在和中，，第16页/共29页，，，，根据（2）作图可知，直线，点为线段的中点，，，点在双曲线图象上，．【点睛】本题考查了反比例函数综合应用，涉及线段垂直平分线的作图、勾股定理、全等三角形的判定和性质以及求反比例函数的解析式等知识；熟练的作图是解本题的关键．21.中，是，，的平分线交于点．（1）求证：；（2）已知．若，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）的值为8【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．（1）设，由等边对等角得，由三角形外角性质得，进而得，则得证；第17页/共29页（2）先根据题目数据计算，再由（1）得，结合得的等量关系式，计算可得，注意验证计算结果．【小问1详解】解：平分，，设，，，，是的一个外角，，即，，，；【小问2详解】解：，，，由（1）知，又，，，，即，第18页/共29页解得或的值为．22.如图，，正方形的顶点A、B分别在、上，E为上一点，且，直线与交于F．（1）求证：；（2）判断与的位置关系，并说明理由．【答案】（1）（2）与的位置关系是垂直，理由见解析【解析】1中；再由，在里，利用同角的余角相等，就能证得结论．（2）根据正方形性质，利用判定和全等，再结合已知角的关系，通过等量代换推出中两角和为，从而证得．【小问1详解】证明：∵四边形是正方形，，即．又，在中，．．【小问2详解】，理由如下：∵四边形是正方形，第19页/共29页平分，，．，．．，，又，．，，．角相等的问题转化为利用同角的余角相等来推导；将证明垂直的问题转化为通过全等三角形得到角的关系，再结合角的和差推出直角．解题关键为熟练运用正方形的性质获取角和边的条件，准确运用同角的余角相等证明角相等，利用判定全等三角形以得到角的等量关系，进而结合角的和差证明垂直．易错点是对正方形性质中“对角线平分内角”“角为直角”角；判定全等三角形时，对应边和对应角的关系易混淆．23.如图1，为底部H不可到达的一座山峰，A为山峰的最高点，现要测量山峰的最大高度．立两根高三丈的标杆和，两竿相距DBH成一线，从退行123步到F点，人目着地观察A点，A，C，F三点共线；从退行127步到G点，从G点看A点，A，E，G三点也共线，试算出山峰的高度及1步尺，1里=180丈尺步，结果用步来表示）第20页/共29页解：∵，∴，∴________，又∵，∴_______，∴，又∵，∴，即，∴（步）又∵，∴，（步）（1）上述的测量问题，刘徽利用的几何知识是_______．请补全上述求解过程中所缺的内容；（2）爱思考的小明想利用解直角三角形的知识，使用皮尺和自制测量仪（如图2，图34的几何量（长度用字母a，b，c表示，角度用．工具说明：①如图2②如图3OG第21页/共29页量时，使支杆（高度为1．5刻度线与铅垂线相互重合，绕点O转动量角器，使观测目标P与量角器直径两端点A，B共线，此时目标P的仰角．【答案】（1）相似三角形的对应边成比例；；；（2）需要测量，【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，相似三角形的应用举例：（1）根据求解过程可知，刘徽利用的几何知识是相似三角形的对应边成比例；先证明得到，再证明得到，进而推出，代值计算求出进行求解即可；（2）需要测量，解得到，解得到，由，得到，则，则．小问1详解】解：由题意得，刘徽利用的几何知识是相似三角形的对应边成比例∵，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，即，第22页/共29页∴（步）又∵，∴，（步）故答案为：相似三角形的对应边成比例；；；【小问2详解】解：需要测量，在中，∵，∴，在中，∵，∴，∵，∴∴，∴．24.如图，在平面直角坐标系中中，抛物线交x轴两点，，且，与y轴交于点C．第23页/共29页（1）求抛物线的解析式；（2）点P在直线下方的抛物线上．①若点P的横坐标为G也在该抛物线上，点F在该抛物线的对称轴上，四边形是平行四边形，求点G的坐标；②若交于点Q，求线段的最大值．【答案】（1）（2）①点G的坐标为或；②取最大值【解析】1）求点B的坐标，把代入，即可求出函数解析式；（2是对角线，是对角线，是对角线三种情况求出点G的坐标；②过点P作直线垂直于x轴，过点Q作垂直于该直线，垂足为H，设，通过求出直线和的解析式，表示点Q的坐标，证明，根据相似三角形的性质得到，利用二次函数的性质求出最值．【小问1详解】解：∵，，且，∴点B的坐标为，把代入，第24页/共29页得，解得，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】解：①由抛物线的解析式为，得对称轴为直线，把代入，得，∴点P的坐标为，设，若是对角线，由平行四边形性质可得，与互相平分，∴，即，解得，∴点G的坐标为；若是对角线，由平行四边形性质可得，与互相平分，∴，即，解得，∴点G的坐标为；若是对角线，由平行四边形性质可得，与互相平分，∴，即，解得（与点P综上所述，点G的坐标为或；②过点P作直线垂直于x轴，过点Q作垂直于该直线，垂足为H，第25页/共29页设，设直线的解析式为，把代入，得直线的解析式为，设直线的解析式为，把代入，得直线的解析式为，由，设直线的解析式为，把点代入，得，得直线的解析式为，，解得，得点Q的坐标为，∴，∵，轴，，∴，第26页/共29页∴，得，当，取最大值．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，利用二次函数求最值，