1.1.1 空间向量及其线性运算 解析版

1.1.1空间向量及其线性运算

【考点梳理】考点一：空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量考点二：空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.考点三：共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.2．直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．考点四：共面向量1．共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.【题型归纳】题型一：空间向量的概念1．（2024秋·全国·高二专题练习）下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量满足，则D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确；故选：D.2．（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可.【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题；对于②，向量相等即模相等和方向相同，故②为假命题；对于③，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，，故③为真命题；对于④，根据向量相等的定义，明显成立，故④为真命题.对于⑤，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故⑤为假命题故选：C3．（2023春·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的个数是（

）①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体中，与是相等向量；④在空间四边形中，与是相反向量；⑤在三棱柱中，与的模一定相等的向量一共有3个A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据空间向量的概念及性质，正方体、三棱柱及空间四边形的性质及结构特征，结合各选项的描述判断正误即可.【详解】①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，所以不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正确，由正方体的性质知：与的模相等，方向相同；④错误，空间四边形中，与的模不一定相等，方向也不一定相同；⑤错误，三棱柱中与的模一定相等的向量是共5个.故选：A题型二：空间向量的线性运算（加减法）4．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到．【详解】如图，连接，

是的中点，，，，．故选：．5．（2023秋·高二课时练习）在三棱柱中，，若点为的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量的线性运算求解.【详解】，为的中点，，故选：A.6．（2022秋·安徽马鞍山·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（

）．

A． B．C． D．【答案】A【分析】先用表示，然后由可得结果.【详解】因为，所以，因为，所以，故选：A.题型三：空间两个向量共线的问题7．（2023·全国·高二专题练习）若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（

）A．P∈AB B．P∉ABC．点P可能在直线AB上 D．以上都不对【答案】A【分析】由已知化简可得，即可判断.【详解】因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以，即，即，所以与共线．又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.故选：A.8．（2023·全国·高二专题练习）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据A，C，D三点共线，可得，则存在唯一实数，使得，再根据空间向量共线定理即可得解.【详解】由，，得，因为A，C，D三点共线，所以，则存在唯一实数，使得，则，解得.故选：C.9．（2022春·四川南充·高二阆中中学校考阶段练习）在平行六面体中，点P在上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可.【详解】因为，，所以有，因此，故选：C题型四：空间共面向量定理10．（2023春·高二单元测试）在正四面体中，点O是的中心，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.【详解】因为四面体是正四面体，则每个面都是正三角形，所以.又由，所以.故选：B.

11．（2023·全国·高二专题练习）下列条件能使点与点一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.【详解】设，若，则点共面．对于A，，由于，故A错误；对于B，，由于，故B错误；对于C,，由于，故C错误；对于D，，由于，得共面，故D正确.故选：D.12．（2023·全国·高二专题练习）若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件得出，，，四点共面，再根据即可求出的值．【详解】平面，，，，四点共面，又，，解得．故选：D．或者根据平面，，，，四点共面，则存在实数，使得，即，又，所以解得故选：D题型五：空间向量的综合问题13．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简：(1)；(2)，并在图中标出化简结果的向量.【答案】(1)(2)，答案见解析【分析】根据向量的线性运算直接分别化简.【详解】（1）；（2）如图所示，连接，因为，，分别是，，的中点，所以，，所以.14．（2023·全国·高二专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．【答案】证明见解析．【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，即可得到证明.【详解】，，，，，因为、无公共点，故.15．（2023秋·全国·高二随堂练习）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点.(1)若，求的值；(2)设，，，求的值.【答案】(1)0(2)6【分析】（1）为正的中心，利用空间向量的线性运算，把用表示，可求的值；（2）根据已知条件，把用表示，由，，，共面，可求的值.【详解】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心，∴，∴，，，∴.（2）因为，且，，，所以，即，因为，，，共面，所以，即.【双基达标】一、单选题16．（2023秋·全国·高二期中）化简所得的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果.【详解】根据向量减法原则，，而，故.故选：C.17．（2023春·福建宁德·高二校考阶段练习）直三棱柱中，若，，，则（

）.

A． B．C． D．【答案】A【分析】根据空间向量对应线段位置关系，及向量加减的几何意义用表示出即可.【详解】根据向量的加减法运算法则得：.故选：A18．（2023秋·全国·高二随堂练习）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量满足，则；④若空间向量满足，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）A．4 B．3C．2 D．1【答案】D【分析】根据空间向量的有关定义判断可得答案.【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．故选：D.19．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，四点在平面内，且任意三点都不共线，点在外，且满足，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据空间向量的共面定理可求的值.【详解】因为点在外，由空间向量的共面定理可知且；由题意，所以；所以，解得.故选：B.20．（2023·全国·高二专题练习）四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解即可.【详解】因为，所以，因为Q是的中点，所以，因为M为PQ的中点，所以，故选：C.21．（2021秋·高二课时练习）如图，在正方体中，化简向量表达式：

(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.【详解】（1）.（2）因为，，所以.22．（2023秋·全国·高二随堂练习）如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．(1)试用向量表示向量；(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果；（2）证得，即可得出结论.【详解】（1）因为，而，又D为的中点，所以，所以．（2）因为，，所以，，所以．所以四点共面．【高分突破】一、单选题23．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考阶段练习）在四面体中，，点在棱上，且，为中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的线性运算可得答案.【详解】点在线段上，且，为中点，，，．

故选：B．24．（2023·上海·高二专题练习）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（

）A．点是唯一的，且一定与共面B．点不唯一，但一定与共面C．点是唯一的，但不一定与共面D．点不唯一，也不一定与共面【答案】A【分析】由，可得，从而有共面，四点共面，再结合不共线，即可得答案.【详解】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使，因为，所以，所以共面，所以四点共面，因为，所以，所以点唯一.故选：A.25．（2024秋·全国·高二专题练习）如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（

）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出，结合条件即可得出答案.【详解】为的中点，，四边形为平行四边形，，.，，，，故选：B.26．（2023·全国·高二专题练习）设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一组数对是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空间共面向量定理的推论即可验证得到答案.【详解】空间一点满足，若四点共面，则选项A：.判断错误；选项B：.判断错误；选项C：.判断正确；选项D：.判断错误.故选：C27．（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.【详解】因为，点在确定的平面内，所以，即，所以，所以当时，的有最小值2．故选：D二、多选题28．（2023·全国·高二专题练习）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即可.【详解】A：，如下图，，

由的关系不定，则不一定在面上，满足；B：，如下图，此时满足上式，

此时，M与A，B，C不共面，满足；C：因为，所以，所以M，A，B，C共面，不满足.D：，如下图，

此时，M与A，B，C不共面，满足；故选：ABD29．（2023·全国·高二专题练习）若，，，为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（

）①；②；③；④.A．① B．② C．③ D．④【答案】BD【分析】根据向量加法，减法运算法则，即可求解判断.【详解】①中，原式，不符合题意；②中，原式，符合题意；③中，原式，不符合题意；④中，原式，符合题意.故选：BD30．（2023春·高二单元测试）下列判断错误的是（

）A．是向量不共线的充要条件B．在空间四边形中，＋＋0C．在棱长为的正四面体中，·D．若向量共面，则它们所在的直线也共面【答案】ACD【分析】可举反例，来判定A选项；以为基底，将其他向量转化为用基底来表示，B选项可判定；利用向量数量积的定义即可求出，C选项可判定；向量共面，能平移到同一平面即可.故D选项可判定.【详解】当共线向量的模分别是2,3，满足，故A选项错误；在空间四边形ABCD中，，故B选项正确；在棱长为的正四面体中，，故C选项错误;若向量共面，则它们所在的直线在某个平面内或者平行于某个平面，故D选项错误.故选：ACD.31．（2023·全国·高二专题练习）下列命题中是真命题的为（

）A．若与共面，则存在实数，使B．若存在实数，使向量，则与共面C．若点四点共面，则存在实数，使D．若存在实数，使，则点四点共面【答案】BD【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B、D项正确；若共线，则A结论不恒成立；若三点共线，则C项结论不恒成立.【详解】对于A项，如果共线，则只能表示与共线的向量.若与不共线，则不能表示，故A项错误；对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数，使向量，则与共面，故B项正确；对于C项，如果三点共线，则不论取何值，只能表示与共线的向量.若点不在所在的直线上，则无法表示，故C项错误；对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数，使，则共面，所以点四点共面，故D项正确.故选：BD.32．（2022秋·辽宁营口·高二校考阶段练习）给出下列命题，其中是假命题的是（

）A．若A，B，C，D是空间中的任意四点，则有B．是，共线的充要条件C．若，共线，则D．对空间中的任意一点O与不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面【答案】BCD【分析】根据向量的加法运算、共线与共面的条件，即可判断正误.【详解】解：由向量的加法运算，显然A是真命题；若，共线，则（同向）或（反向），故B是假命题；若，共线，则直线AB，CD平行或重合，故C是假命题；只有当时，P，A，B，C四点才共面，故D是假命题．故选：BCD．三、填空题33．（2023·全国·高二专题练习）已知三点共线，为空间任意一点，，则.【答案】【分析】根据向量共线和平面向量基本定理可求出结果.【详解】因为三点共线，∴，即，，又，所以，所以.故答案为：.34．（2023·全国·高二专题练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为.【答案】/【分析】由列方程，化简求得的值.【详解】∵，，，∴，又∵A，C，D三点共线，∴，∵，不共线，∴，∴，∴.故答案为：35．（2023·全国·高