1.1.2 空间向量的数量积运算（原卷版）

1.1.2空间向量的数量积运算【考点梳理】考点一：空间向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.考点二：空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).考点三：向量a的投影1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．【题型归纳】题型一：空间向量的数量积的运算1．（2022秋·高二课时练习）设a、b为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①a2=a2；②a⋅其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022秋·全国·高二专题练习）已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（

）．A．6 B．6 C．3 D．33．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考阶段练习）已知a=4，空间向量e为单位向量，a,e=2π3，则空间向量A．2 B．−2 C．−12 题型二：求空间向量的数量积4．（2023·全国·高二专题练习）在三棱锥O−ABC中，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60∘,OB=OC=2OA=2,E为OC的中点，则AEA．-1 B．0 C．1 D．35．（2023·全国·高二专题练习）已知a，b，c均为空间单位向量，它们之间的夹角均为90∘，那么a−2bA．2 B．13C．14 D．66．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A．−1 B．1 C．2 D．3题型三：空间向量的数量积的应用（夹角和模）7．（2023秋·全国·高二期中）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB=2，AD=4，

A．9 B．29 C．47 D．48．（2023·全国·高二专题练习）已知单位向量a，b，c中，a⊥b，a,c=A．5 B．5 C．6 D．69．（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=2，AA1=2A．−36 B．36 C．−题型四：空间向量的数量积的综合10．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知正四面体O−ABC的棱长为1，如图所示，求：(1)OA⋅OB；(2)(OA11．（2024秋·高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F，G，分别为A1B1，CC1(1)用a，b，c表示EF，EG；(2)若AB=AC=AA1=2，AB⊥AC12．（2022秋·高二）如图，在平行六面体ABCD−A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'(1)求AC(2)将EF用基向量AB,AD,AA【双基达标】一、单选题13．（2023秋·高二）已知a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m=2e1+3eA．−6 B．6 C．3 D．−314．（2023·全国·高二专题练习）平行六面体ABCD−A1B1C1DA．322 B．6 C．3 15．（2023·全国·高二专题练习）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，A．−2 B．−1 C．1 D．16．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知四棱锥P−ABCD的各棱长均为2，则AP⋅BC=A．23 B．3 C．1 17．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1)OA⋅OB(2)EF18．（2023·全国·高二专题练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是(1)求CD1⋅CD；(2)求AO与CB的夹角的余弦值(3)判断【高分突破】一：单选题19．（2023·全国·高二专题练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则PA⋅PB的最大值为（A．−2 B．−3 C．−1 D．020．（2023·全国·高二专题练习）已知空间向量a=13，b=5，且a与b夹角的余弦值为−91365，则A．−91313b B．9131321．（2024秋·高二课时练习）空间有一四面体A-BCD，满足AD⊥AB，AD⊥AC，则所有正确的选项为（

）①DB⋅②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；④若AB<DA且AC<A．② B．①③ C．②④ D．②③④22．（2023·全国·高二专题练习）已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长AB=1，A．−12,0 B．−34,023．（2023·全国·高二专题练习）如图已知矩形ABCD,AB=1,BC=3，沿对角线AC将△ABC折起，当二面角B−AC−D的余弦值为−13时，则B与DA．1 B．2 C．3 D．10二、多选题24．（2023·江苏·高二专题练习）已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，则以下结论中一定成立的是（

）A．AB+AC+AD=ABC．AB+AC+AD25．（2023·全国·高二专题练习）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1如图所示，其中AB=BC=2，AA1=3，∠BAD=∠A1AD=∠BAAA．EO=−23C．|EO|=3 26．（2024秋·高二课时练习）如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，则（

）A．AB⋅AC=2C．BC⋅EF=127．（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，M,N分别是A1B,BA．MN=13C．A1B⊥28．（2023秋·高二单元测试）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB=2，ACA．B1M=−C．B1M=29．（2023·全国·高二专题练习）已知正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别是AB和CD的中点，下列说法正确的是（

）A．直线BD与直线AC互相垂直 B．线段EF的长为2C．直线AB与平面BCD所成角的正弦值为63 D．正四面体ABCD内存在点到四个面的距离都为三、填空题30．（2023春·江苏淮安·高二江苏省郑梁梅高级中学校考阶段练习）四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面31．（2022秋·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则向量PB在向量BC上的投影向量是

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32．（2023秋·高二课时练习）已知向量a，b满足a+b=a−2b，其中b是单位向量，则33．（2023春·福建宁德·高二统考期末）如图，60°的二面角α−AB−β的棱上有A、B两点，射线AC、BD分别在两个半平面内，且都垂直于棱AB．若AB=1，AC=1，BD=2．则CD

四、解答题34．（2022秋·安徽马鞍山·高二校联考期中）如图，在空间四边形OABC中，2BD=DC，点E为AD的中点，设OA=a

(1)试用向量a，b，c表示向量OE；(2)若OA=OB=OC=2，∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，求OE⋅35