1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 原卷版

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系【考点梳理】考点一：空间中点、直线和平面的向量表示1.空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))来表示．我们把向量eq\o(OP,\s\up6(→))称为点P的位置向量．2.空间中直线的向量表示式直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，①把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．3.空间中平面的向量表示式平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我们称为空间平面ABC的向量表示式．考点二：空间中平面的法向量平面的法向量如图，若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称a为平面α的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．考点三：空间中直线、平面的平行1.线线平行的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.2.线面平行的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.面面平行的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.考点四：空间中直线、平面的垂直1.线线垂直的向量表示设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.2.线面垂直的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.知识点三面面垂直的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.【题型归纳】题型一：平面的法向量的求法1．（2023春·江西赣州·高二校考）已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（

）A． B． C． D．2．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）已知向量，则平面的一个法向量（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高二专题练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（

）

A． B． C． D．题型二：空间中直线、平面的平行4．（2023秋·高二单元测试）已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（

）A．2或 B． C．3 D．或35．（2023·全国·高二专题练习）如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（

）A． B． C． D．16．（2023·全国·高二专题练习）在正方体中，点P为线段上的动点，M，N分别为棱的中点，若平面，则（

）A． B． C． D．题型三：空间中直线、平面的垂直7．（2023秋·高二单元）已知直线的方向向量，平面的法向量，若，则（）A． B． C． D．8．（2023秋·全国·高二）已知，，，若，且平面，则（

）A． B． C． D．9．（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（

）A． B． C． D．题型四：空间向量研究直线、平面的位置综合问题10．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，⊥底面，E，F分别是的中点，，.

求证：(1)平面；(2)平面⊥平面.11．（2023秋·高二单元测试）如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点．求证：

(1)；(2)平面.12．（2023秋·高二单元测试）如图，在多面体中，四边形是正方形，，且，二面角是直二面角．

(1)求证：平面；(2)求证：平面.【双基达标】一、单选题13．（2023秋·高二课时练习）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（

）A．－3 B．－4C．3 D．414．（2023秋·高二课时练习）已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（

）A． B．C． D．15．（2023秋·吉林通化·高二校考阶段练习）已知空间中三点，，，则（

）A．与是共线向量 B．的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是16．（2023秋·高二课时练习）如图，在正三棱柱中，是的中点，求证：平面．17．（2023秋·高二课时练习）如图，在矩形ABCD中，，P，Q分别为线段AB，CD的中点，平面ABCD.

(1)求证：∥平面CEP；(2)求证：平面平面DEP.【高分突破】一、单选题18．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则（

）A． B． C． D．19．（2023秋·新疆·高二校联考期末）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，分别为的中点，，，若平面，则（

）

A． B． C． D．20．（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（

）A． B． C． D．21．（2023·全国·高二专题练习）如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中正确的是（

）①平面平面

②

③

④平面A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④22．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．423．（2023·全国·高二专题练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（

）A． B．17 C． D．二、多选题24．（2023秋·全国·高二随堂练习）（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（

）A． B． C． D．25．（2023秋·高二课时练习）（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（）A． B．C． D．26．（2023秋·高二课时练习）如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，得出如下四个结论，其中正确的是（

）

A． B．C． D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直27．（2023春·江苏连云港·高二统考期末）在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方体的面内（含边界）移动，点为线段上的动点，设，则（

）A．当时，平面B．为定值C．的最小值为D．当直线平面时，点的轨迹被以为球心，为半径的球截得长度为1三、填空题28．（2023秋·高二课时练习）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线l与平面的位置关系是．29．（2023秋·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知，若平面的一个法向量为，则直线的一个方向向量为．30．（2023春·江苏常州·高二统考期中）如图，三棱柱的各条棱长均为是2，侧棱与底面ABC所成的角为60°，侧面底面ABC，点P在线段上，且平面平面，则．

31．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）如图，点在长方体内部运动，点在棱上，且，动点满足为棱的中点，为线段的中点，若，则动点到平面距离的最小值为.

四、解答题32．（2023春·福建漳州·高二统考期末）如图所示的几何体中，平面平面为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，.

(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点满足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.33．（2023秋·全国·高二随堂练习）如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．

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