2.4圆的方程 （解析版）

2.4圆的方程【考点归纳】考点一：圆的标准方程(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.考点二：点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点M在圆内|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2考点三：圆的一般方程1．圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆【题型归纳】题型一：求圆的标准方程1．（2023春·陕西榆林·高二校联考期末）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【详解】圆经过点，，可得线段的中点为，又，所以线段的中垂线的方程为，即，由，解得，即，圆的半径，所以圆的方程为.故选：A.2．（2023·全国·高二专题练习）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设出圆心坐标，根据对称关系列出方程组，求出圆心坐标，结合半径为3，即可求解.【详解】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直，结合的斜率为1，得直线的斜率为，所以，化简得①再由的中点在直线上，，化简得②联立①②，可得，所以圆心的坐标为，所以半径为3的圆的标准方程为.故选：C3．（2023秋·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的标准方程.【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.故选：A.题型二、圆的一般方程4．（2023·全国·高二专题练习）过三点的圆的一般方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案.【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程，整理可得，解得，故所求的圆的一般方程为，故选：D．5．（2023·全国·高二专题练习）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先将圆的一般方程写出，然后利用待定系数法即可求解.【详解】设圆的一般方程为，圆心坐标为，因为圆经过两点，，且圆心在直线上，所以，解得，所以圆的方程为.故选：C.6．（2021秋·山西太原·高二校考期中）过点，且经过圆与圆的交点的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，设所求圆的方程为，再待定系数求解即可．【详解】解：由圆系方程的性质可设所求圆的方程为，因为所求圆过点，所以，解得：所以所求圆的方程为：故选：A题型三：二元二次方程表示曲线与圆问题（参数）7．（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案.【详解】因为方程，即表示圆，等价于0，解得或.故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.故选：A8．（2023·全国·高二专题练习）已知表示的曲线是圆，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方程配方后得，根据圆的半径大于0求解.【详解】由方程可得，所以当时表示圆，解得.故选：C.9．（2022秋·海南海口·高二琼山中学校考期中）已知方程表示圆，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意得到，再解不等式即可.【详解】因为方程表示圆，所以，解得.故选：D题型四：圆过定点问题10．（2023·全国·高二专题练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.【详解】设点，则线段的中点为，圆的半径为，所以，以为直径为圆的方程为，即，即，由，解得或，因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.故选：D.11．（2023·全国·高二专题练习）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为．【答案】或【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标．【详解】解：，即，令，解得，，或，，所以定点的坐标是或．故答案为：或.12．（2023·全国·高二专题练习）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为【答案】【分析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标.【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、，由题意可知，由韦达定理可得，，所以，线段的中点为，设圆心为，由可得，解得，，则，则，所以，圆的方程为，整理可得，方程组的解为.因此，的外接圆恒过的定点坐标为.故答案为：.题型五：圆的对称问题13．（2023·全国·高二专题练习）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（

）A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为【答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由，得，所以圆心为，半径为，由题意可得直线经过圆心，故有，即，所以半径为，当时，圆C的半径的最小值为.故选：C.14．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据反射光线经过圆心和关于轴对称的点，可利用两点式整理得到所求直线方程.【详解】由圆的方程得：圆心为，反射光线恰好平分圆的圆周，反射光线经过点；关于轴对称的点为，反射光线所在直线经过点，反射光线所在直线方程为，即.故选：A.15．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程.【详解】圆的圆心坐标为，半径为3设点关于直线的对称点为，则，解之得则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为则该圆的方程为，故选：D．题型六：圆的方程综合性问题16．（2023秋·高二课时练习）写出满足下列条件的圆的方程：(1)圆心为点，且过原点；(2)圆心在y轴上，半径为3，且与x轴相切；(3)圆心在x轴上，半径为3，且与圆外切；(4)圆心在直线上，且过点，半径为5.【答案】(1)(2)或.(3)或.(4)或.【分析】根据题意，设出圆的标准方程，结合题设条件，确定圆心坐标和半径，即可求解.【详解】（1）解：因为圆心为点，设所求圆的方程，又因为圆过原点，可得圆的半径，所以所求圆的方程为.（2）解：因为圆心在y轴上，半径为3，设所求圆的方程，又因为圆与x轴相切，可得，所以所求圆的方程为或.（3）解：因为圆心在轴上，半径为3，设所求圆的方程为，又因为圆与圆外切，可得圆心距等于两圆的半径之和，即，解得，所以圆的方程为或.（4）因为圆心在直线上，且半径为，设圆的方程为，又因为圆过点，可得，解得或，所以所求圆的方程为或.17．（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上.(1)求圆心为的圆的一般方程；(2)已知，为圆上的点，求的最大值和最小值.【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为.【分析】由和的坐标，求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为求出线段垂直平分线的斜率，再由和的坐标，利用线段中点坐标公式求出线段的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率，得出线段垂直平分线的方程，与直线联立组成方程组，求出方程组的解集得到圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程，再化为一般方程即可;（2）先确定点在圆外，求得可求的最大值和最小值．【详解】（1）∵，，∴,∴弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为，∴弦的垂直平分线的方程为，即，与直线：联立，解得：，圆心坐标为，∴圆的半径，则圆的方程为.∴圆的一般方程为；

（2）由（1）知圆的方程为，所以,∴在圆外，的最大值为，最小值为.18．（2023秋·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上.(1)求圆C方程；(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意利用待定系数法运算求解；（2）根据题意利用相关点法运算求解.【详解】（1）设圆C的标准方程为，可知其圆心为，由题意可得，解得，所以圆C的标准方程为.（2）设，由及M为线段EF的中点得，解得，即，又因为点E在圆C：上，则，化简得：，故所求的轨迹方程为．

【双基达标】单选题19．（2023秋·安徽滁州·高二校考期末）直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得.【详解】由可知圆心为，又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，由点斜式得直线，化简得直线的方程是．故选：D．20．（2023秋·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意建立坐标系，由题意可得点M的轨迹方程，进而可得M点的轨迹长．【详解】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，

则，设点，由，得，化简并整理得：，于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为，所以M点的轨迹长为.故选：A.21．（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点；乙：该圆的圆心为；丙：该圆的半径为5；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】假设乙、丙同学的结论正确，求出圆的方程，再依次检验丁的结论与甲的结论是否成立即可.【详解】若乙、丙同学的结论正确，则该圆的方程为，当，时，成立，此时丁的结论正确，当，时，不成立，此时甲的结论错误.故选：A.22．（2023秋·高二课时练习）方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆，则的值分别为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得圆的标准方程，再转化为一般方程，从而求得.【详解】以为圆心，为半径的圆的标准方程为，即，所以.故选：D23．（2023秋·高二课时练习）若圆与圆关于直线对称，且过点C（－a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用对称求得，再根据题意给出的几何特征建立方程化简即可.【详解】设圆的圆心关于直线y＝x－1的对称点是，则由题意可得，计算可得，由题知它是圆的圆心，所以a＝2.设点P的坐标为（x，y），则有，化简得.故选：C24．（2023春·广东深圳·高二校考期中）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设出点坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程.【详解】设点的坐标为，因为点是线段的中点，可得，点在圆上，则，即.故选：A.25．（2023秋·高二课时练习）写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点的单位圆；(2)圆心为，半径是5；(3)圆心为，经过点；(4)圆心在x轴上，经过与两点．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据题意，找出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程．【详解】（1）圆心为，半径为1，圆的方程为．（2）圆心为，半径为5，圆的方程为．（3）圆心为，半径为，圆的方程为．（4）和两点构成的线段的中垂线所在的方程为，由于圆心在轴上，所以圆心为，所以半径为，所以圆的方程为．26．（2023秋·高二课时练习）的顶点B，C的坐标分别是，，顶点A在圆上运动，求的重心G的轨迹方程.【答案】【分析】重心G的轨迹方程是指点G的坐标满足的关系式，点A在已知圆上运动，点A的坐标满足圆的方程，建立点G与点A坐标之间的关系，就可以建立点G的坐标满足的条件，进而求出点G的轨迹方程.【详解】设的重心G的坐标是，点A的坐标是.已知点B，C的坐标分别是，，则的重心G的坐标满足，.因此有，.①因为点A在圆上运动，所以点A的坐标满足方程，即满足方程.②将①代入②，得.即所求轨迹方程为.

【高分突破】一、单选题27．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省阜南实验中学校考开学考试）已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再求出点P到直线距离的最大值作答.【详解】圆的圆心，半径，直线的方程为：，于是点到直线：的距离，而点在圆上，因此点到直线距离的最大值为，又，所以面积的最大值为.故选：D

28．（2023·全国·高二专题练习）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果.【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以圆的标准方程为.故选：A29．（2023·全国·高二专题练习）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由的最小值为的最小值求解.【详解】解：圆：与圆：的圆心分别为：，由题意得的最小值为的最小值，设关于直线的对称点为，则，解得，则，如图所示：

当三点共线时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为，故选：B30．（2022秋·安徽马鞍山·高二校联考期中）若直线：平分圆：的面积，则的最小值为（

）．A．8 B． C．4 D．6【答案】A【分析】根据题意可知：直线：过圆心，进而可得，再利用基本不等式运算求解.【详解】由题意可知：圆：的圆心为，若直线：平分圆：的面积，则直线：过圆心，可得，即，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8.故选：A.31．（2022秋·四川绵阳·高二校考期中）已知圆，过原点作圆的弦，则的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设点，其中，则点，将点的坐标代入圆的方程，化简可得点的轨迹方程.【详解】设点，其中，则点，将点的坐标代入圆的方程可得，即，所以，点的轨迹方程为.故选：C.二、多选题32．（2023·全国·高二专题练习）已知曲线（

）A．若，则C是圆B．若，，则C是圆C．若，，则C是直线D．若，，则C是直线【答案】BC【分析】根据圆的一般方程对选项一一判断即可.【详解】对于A，当时，，若，则C是圆；若，则C是点；若，则C不存在.故A错误.对于B，当时，，且，则C是圆，故B正确.对于C，当时，，且，则C是直线，故C正确.对于D，当，时，，若，则表示一元二次方程，若，则表示抛物线，故D错误.故选：BC33．（2022秋·全国·高二期末）已知方程，则下列说法正确的是（

）A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切【答案】BCD【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，方程，可化为，可圆的圆心坐标为，A中，当时，此时半径为，所以A错误；B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确；C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确；D中，当时，可得，方程表示的圆半径为，又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确．故选：BCD.34．（2023秋·高二课时练习）设有一组圆，下列说法正确的是（

）A．这组圆的半径均为1B．直线平分所有的圆C．存在直线被所有的圆，截得的弦长相等D．存在一个圆与x轴和y轴均相切【答案】ABC【分析】由圆的方程可得圆心及半径，利用圆的性质即可判断.【详解】对A：圆的圆心，半径，故这组圆的半径均为1，A正确；对B：∵，即圆心在直线上，故直线平分所有的圆，B正确；对C：由选项B可得：圆心在直线上，此时直线与圆截得的弦长均为直径，故弦长均为，故存在直线被所有的圆，截得的弦长相等，C正确；对D：圆与x轴和y轴均相切，则，该方程无解，故不存在一个圆与x轴和y轴均相切，D错误；故选：ABC.35．（2023秋·高二单元测试）设是圆心为的圆：上的动点，是圆的切线，且，则下列说法正确的是（

）A．圆的圆心为B．C．点到距离的最小值为6D．点到距离的最大值为12【答案】ABD【分析】根据圆的标准方程可知圆的圆心和半径，根据圆与切线的几何性质即可求出点P的轨迹方程，即可得到点P与圆的位置关系，判断选项B、C、D.【详解】由题知，圆的圆心为，半径为，又，，点的轨迹方程为，故点到的距离的最大值为，最小值为．故选：ABD36．（2023·全国·高二专题练习）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是（

）A．圆的圆心是B．圆的半径是2C．D．的取值范围是【答案】ABCD【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出A、B；根据已知可知圆心在直线上，代入即可得出C；根据C的结论得，代入根据二次函数的性质，即可得出D项.【详解】对于A、B，将圆的方程化为标准方程可得，所以，圆心为，半径为，故A、B正确；对于C项，由已知可得，直线经过圆心，所以，整理可得，故C项正确；对于D项，由C知，所以，所以的取值范围是，故D项正确.故选：ABCD.三、填空题37．（2023秋·广西贵港·高二校联考开学考试）已知圆的半径为3，则.【答案】【分析】化简圆的方程为圆的标准方程，根据题意列出方程，即可求解.【详解】将圆的方程转化为，因为圆的半径为3，所以，即.故答案为：.38．（2023春·河北唐山·高二校考期末）点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为.【答案】【分析】设，利用中点坐标公式可用x，y表示出，再根据点A在圆上，即可得到答案．【详解】设，又点，则，所以，，又点A在圆上，则，即，所以线段AB的中点P的轨迹方程为．故答案为：．39．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为.【答案】【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可.【详解】由题意，表示圆，故，即或，点A（1，2）在圆C：外，故，即故实数m的取值范围为或，故答案为：.40．（2023秋·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆心在x轴上的圆C同时经过圆C1和圆C2的圆心，则圆C的方程是．【答案】【分析】根据圆的性质求出线段中垂线与横轴的交点即可得出圆心坐标，再求半径即可.【详解】由圆的性质可知，线段的垂直平分线过圆心，易知，则线段的中点坐标为，即，直线的斜率，所以线段的垂直平分线方程为，令，即圆心的坐标为，其半径，所以圆的方程为.故答案为：41．（2023春·上海浦东新·高二校考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为.【