2.5.1直线与圆的位置关系 （解析版）

2.5.1：直线与圆的位置关系【考点梳理】考点一：直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0考点二：直线与圆的方程解决实际问题仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．【题型归纳】题型一：判断直线与圆的位置关系1．（2023春·贵州·高二校联考期末）圆：与直线：的位置关系为（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定【答案】A【分析】由圆心到直线的距离等于半径可判断相切.【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，由得，圆心到直线的距离为：，故圆与直线相切，故选：A2．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，直线，则圆C与直线l（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心【答案】B【分析】根据题意只需判断圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断．【详解】由可得，故圆心，半径，则圆心到直线的距离，故直线与圆C相切．故选：B3．（2023·全国·高二专题练习）圆上到直线距离为的点有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个【答案】B【分析】求出圆心到直线的距离，再结合图象分析可得结果.【详解】因为化为标准方程为，所以圆心，圆的半径，又因为圆心C到直线的距离为，所以，所以过圆心平行于直线的直线与圆有2个交点，另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示，所以圆C上到直线的距离为的点共有3个.故选：B.题型二：由直线与圆的位置关系求参数4．（2023·全国·高二专题练习）“”是“直线与圆相离”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据直线和圆相离求得参数a的取值范围，比较该范围和的关系，即可判断出答案.【详解】将配方，即，表示圆需满足，所以或，其圆心为，半径为，因为直线与圆相离，故圆心到直线的距离，解得，结合或可得或，（）则成立推不出直线与圆相离；反之成立，故“”是“直线与圆相离”的必要不充分条件，故选：B5．（2023·全国·高二专题练习）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围．【详解】根据题意得为恒过定点的直线，由曲线，可得，所以曲线表示圆心为，半径为的上半圆，如图所示，

当直线与圆相切时，有，解得（舍去）或，把代入得，解得，因为直线与曲线恰有两个公共点，由图可得，即的取值范围是．故选：B．6．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数的取值范围是（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】将转化为点到直线的距离，数形结合，可求出的取值范围.【详解】依题意表示到两条平行直线和的距离之和的5倍．因为这个距离之和与x，y无关，故两条平行直线和在圆的两侧，如图所示，故圆心到直线的距离，解得或.当时，直线在圆的右下方，不满足题意，所以舍去.所以.故选：A

题型三：圆的弦长问题7．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）直线与圆相交于、两点，若，则等于（

）A．0 B． C．或0 D．或0【答案】D【分析】求出到圆心的距离和圆心到直线的距离，即可求出的值.【详解】由题意，∵，∴到圆心的距离为，∴圆心到直线的距离为：，即.解得：或，故选：D.8．（2023·全国·高二专题练习）若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，由条件可知，当最短时，直线，即可得到，从而得到结果.【详解】

当最短时，直线，所以.又，所以，所以的方程为，即.故选：D9．（2023·全国·高二专题练习）已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据垂径定理，分析出圆心和连线的直线垂直于直线时，所截得弦长最短.【详解】

由于，故点在圆内，化为标准方程：.如图，设，垂足为，设直线和圆的交点是，根据垂径定理，，为使得最小，必须最大，显然，重合的时候取得等号，此时，由于，所以直线的斜率为，故直线的方程为，即.故选：C题型四：圆的弦长求参数或者切线方程10．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，过圆内一点的直线被圆所截得的最短弦的长度为2，则（

）A．2 B． C． D．3【答案】D【分析】求出圆心和半径，由几何关系得到当过圆内一点的直线与垂直时，被圆所截得的弦长最短，由垂径定理列出方程，求出答案.【详解】整理得，故圆心为，半径为，当过圆内一点的直线与垂直时，被圆所截得的弦长最短，

其中，由垂径定理得，即，解得，故选：D11．（2023秋·高二单元测试）设，均为正实数，若直线被圆截得的弦长为2，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用直线与圆的位置关系及基本不等式，结合一元二次不等式的解法即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为，由题意可知，圆心到直线的距离为，两边平方并整理，得，由基本不等式可知，，即，解得或，当且仅当时，取等号，于是有或,的取值范围是.故选：C.12．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知圆，直线与交于两点，则当最小时，实数的值是（

）A．2 B．-2 C． D．【答案】C【分析】由直线方程得直线所过定点坐标，由几何性质知当与直线垂直时，弦长最小，由斜率关系可得．【详解】直线方程为知直线过定点，圆标准方程为，圆心为，半径为5，，在圆内部，因此当直线与垂直时，最小，，∴，．故选：C．题型五：直线与圆的应用13．（2023春·广东·高二统考阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意得到，解得答案.【详解】小岛到航线的距离为，解得.故选：C14．（2022秋·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长.【详解】如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则，以为圆心，为半径作圆，则圆的方程为，当台风进入圆内，则城市处于危险区，又台风的运动轨迹为，设直线与圆的交点为，，圆心到直线的距离，则，所以时间，故选：C.15．（2022·高二课时练习）已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（

）A．5h B．h C．h D．4h【答案】B【分析】先求得台风中心距离城市A的最短距离，再利用直线截圆的弦长即可求得城市A受台风影响的时间【详解】如图，，，台风中心沿方向以的速度移动，台风中心距离城市A的最短距离为又台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则台风中心在以城市A为圆心半径为km的圆内时，城市A受台风影响以城市A为圆心半径为km的圆截直线所得弦长为km则城市A受台风影响的时间为故选：B题型六：直线与圆的位置求距离的最值问题16．（2023·全国·高二专题练习）已知直线l：与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线：和：交于点P，则的面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据所过定点和位置关系可得点P轨迹方程，然后利用点到直线的距离公式和两点间的距离公式可得面积最小值.【详解】根据题意可知，动直线过定点，动直线：，即过定点，因为，所以无论m取何值，都有，所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为，设，则点P的轨迹方程为，圆心到直线l的距离为，则P到直线l的距离的最小值为．由题可知，，则，所以的面积的最小值为．故选：B

17．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值.【详解】圆，设，则，则，，则，所以圆心到直线的距离是，，得，．故选：A．18．（2023秋·高二课时练习）（1）如果实数x，y满足，求的最大值和最小值；（2）已知实数x，y满足方程，求的取值范围．【答案】（1）最大值、最小值分别为；（2）【分析】（1）解法一：如图，当过原点的直线l与圆相切于上方时最大，相切于下方时最小，结合图形求出直线的倾斜角可得答案，解法二：令，将与联立，化简后由可求出结果，（2）可以看成圆上的点到的距离，然后结合图形可求得结果.【详解】（1）解法一：如图，当过原点的直线l与圆相切于上方时最大，过圆心作切线l的垂线交于B，

在中，．∴切线l的倾斜角为，∴的最大值为．同理可得的最小值为．解法二：令，将与联立，消去y得，，即，∴，即的最大值、最小值分别为．（2）可以看成圆上的点到的距离．圆心到的距离为．由图可知，圆上的点到的距离的范围是，则的取值范围是．

题型七：直线与圆的位置定点定值问题综合应用19．（2023·全国·高二专题练习）已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B．(1)若P点坐标为，求(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是，【分析】（1）利用特殊角的三角函数和对称性即可得到答案；（2）设，计算出中点坐标，写出圆的方程，整理，利用方程恒成立得到方程组，解出即可.【详解】（1）因为点坐标为，所以，又因为，所以,故.（2）设的中点，因为为圆的切线，所以经过三点的圆是以为圆心，为半径的圆，故其方程为化简得，由，解得（舍）或所以经过三点的圆经过异于点的定点.

20．（2022秋·福建宁德·高二统考期中）已知直线过定点，且与圆交于两点．(1)求直线的斜率的取值范围；(2)若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)定值【分析】（1）法一：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意，则直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由求解；法二：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意，则直线的斜率存在，设直线的方程为，与圆的联立，根据直线与圆相交，由求解.（2）设，，设直线的方程为，与圆的方程联立，结合韦达定理求解.【详解】（1）解：法一：圆的标准方程为，圆心为，半径为．若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意．所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即由题意可得，解得．

因此，直线的斜率的取值范围是．法二：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意．所以，直线的斜率存在，设直线的方程为．联立，得，其中因为直线与圆相交，所以，解得，

因此，直线的斜率的取值范围是．（2）设，，设直线的方程为．联立，得，其中，所以，，则，所以为定值．21．（2023·全国·高二专题练习）已知圆过点，且与直线相切于点．(1)求圆的标准方程；(2)若，点在圆上运动，证明：为定值．【答案】(1)(2)证明过程见详解【分析】（1）设圆心，半径为，根据题意列出方程，求出圆心和半径，进而求出圆的方程；（2）先将圆的标准方程化为一般方程，设点，再根据题意分别求出，，进而即可证明结论．【详解】（1）设圆心，半径为，因为点，，所以直线的中垂线方程是，过点且与直线垂直的直线方程是，由，解得，圆心，，圆的标准方程是．（2）证明：由（1）知圆的标准方程为，则其一般方程为，即，设点，且点在圆上运动，则，，于是，为定值．【双基达标】一、单选题22．（2023·全国·高二）过点且倾斜角为的直线交圆于两点，则弦的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】写出直线的方程，求圆心到直线的距离，再利用弦长公式进行求解即可.【详解】过点且倾斜角为的直线的方程为即又圆即，所以圆心，半径则圆心到直线的距离直线被圆截得的弦故选：23．（2023·全国·高二专题练习）圆：与直线：的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【答案】A【分析】求出圆心坐标与半径，再将直线方程化为一般式，根据圆心到直线的距离即可判断.【详解】圆：的圆心为，半径，直线：即，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.故选：A24．（2023春·河南周口·高二统考期中）经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】当所求圆的直径就是圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小．然后将结合图形求解圆心和半径即可求解；【详解】

由题可知，当所求圆的直径就是圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小．圆，即圆，所以圆心坐标为，半径为3，弦心距，弦长为，则所求圆的半径为2,接下来求解所求圆的圆心位置P：所以，过圆的圆心和直线垂直的直线方程为：，即．最小圆的圆心为与直线的交点，解方程组可得，所求面积最小的圆方程为．故选：C．25．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线与圆相交于A，B两点.(1)求线段的长；(2)求线段中点的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）方法一：根据题意结合垂径定理运算求解；方法二：根据题意利用韦达定理运算求解；（2）根据中的坐标公式结合韦达定理运算求解.【详解】（1）方法一：圆的圆心，半径为3，如图所示，设的中点为M，根据垂径定理可知，因此是个直角三角形.

由点到直线的距离公式可知，又因为是圆的半径，因此，在中，有.因此.方法二：设，则.因为都是直线上的点，所以两式相减可得，因此，从而联立方程，消去y整理可得，且是这个方程的两个根，因此由韦达定理可知，所以，因此，从而可知.（2）设，且线段的中点坐标为，则.由（1）中的方法二可知，又因为直线l的方程可以化为，所以，因此所求中点坐标为.26．（2023秋·江苏·高二南京市人民中学校联考开学考试）已知直线和圆，(1)当为何值时，截得的弦长为2；(2)若直线和圆交于两点，此时，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用弦长求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式即可列式求解；（2）先利用平面几何知识求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式即可列式求解.【详解】（1）设为圆心到直线的距离，则由题意知，即，所以，又由于圆的圆心为，所以圆心到直线的距离，所以，即当时，直线被圆截得的弦长为2.（2）由于，所以组成等腰直角三角形，

所以圆心到直线的距离，所以，所以，即当时，直线和圆交于两点，且.27．（2023秋·江苏镇江·高二统考开学考试）已知圆C经过､两点，且圆心在直线上.(1)求圆C的标准方程；(2)过点的直线l与圆C相交于P､Q两点，且，求直线l的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据题意利用待定系数法运算求解；（2）利用数量积的定义及直角三角形求出圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式求解斜率，即可求解直线方程.【详解】（1）设圆C的标准方程为，可知其圆心为，由题意可得，解得，所以圆C的标准方程为.（2）由题意，过点的直线l与圆C相交于P､Q两点，且，则，所以，所以，所以圆心C到直线l的距离，由题意直线l的斜率存在，设直线为，即，所以，化简得，解得或，所以直线l的方程为或.

【高分突破】一、单选题28．（2023秋·江苏扬州·高二统考）已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（

）A．5 B．4 C．10 D．2【答案】C【分析】先判定直线过定点，再由弦长公式计算即可.【详解】由，，即过定点，由得，半径，则当时，C到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小，最小值为.故选：C

29．（2023秋·江苏镇江·高二统考开学考试）已知A，B是圆C：上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．7【答案】D【分析】设P、C到直线AB的距离分别为，根据题意结合垂径定理可得，再根据结合几何关系分析求解.【详解】由题意可知：圆C：的圆心，半径，则，设P、C到直线AB的距离分别为，因为，解得，分别过P、C作，垂足分别为，再过C作，垂足为，显然当P、C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，

则，当且仅当，即直线AB与直线PC垂直时，等号成立，所以点P到直线AB距离的最大值为7.故选：D.30．（2023春·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校联考期末）已知是圆上不同的两个动点，为坐标原点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知条件，结合弦长公式，即可求解的中点的轨迹方程，根据向量的运算可得，再结合点与圆的位置关系，即可求解.【详解】圆的圆心坐标，半径，设圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式，可得，即，解得，设的中点为，点的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆，的轨迹方程为，因为，又，，即,即的取值范围为.故选：C

31．（2023·全国·高二专题练习）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出与直线平行且到直线的距离为的直线的方程分别为、，由题意可知，这两条直线与圆都相交，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为，设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为，则，解得或，所以，直线、均与圆相交，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故选：C.32．（2023春·山东青岛·高二校考开学考试）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出点的轨迹方程，数形结合得到最小距离为圆心到直线的距离减去半径，结合点到直线距离公式求出答案.【详解】设，则，化简得，即点的轨迹方程为以为圆心，为半径的圆，则点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即，点到直线的距离最小值为.故选：A二、多选题33．（2023秋·广西贵港·高二校联考开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（

）A．南偏西方向 B．南偏西方向C．北偏西方向 D．北偏西方向【答案】BCD【分析】以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立直角坐标系，再数形结合求解轮船航线所在直线的方程与受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程相切的临界条件，再逐个选项判断即可.【详解】如图，以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，1km为单位长度，建立如图所示的直角坐标系，则轮船所在的位置为，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为，设轮船航线所在直线的方程为，即，

由，得或．因为，所以该轮船的行驶路线可以是南偏西30°方向，北偏西30°方向，北偏西25°方向．故选：BCD34．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线与圆，若点为直线l上的一个动点，下列说法正确的是（

）A．直线l与圆相交B．若点Q为圆上的动点，则的取值范围为C．与直线l平行且截圆的弦长为2的直线为或D．圆C上存在两个点到直线的距离为【答案】BD【分析】根据圆心到直线的距离即可求解ABD，由平行的斜率关系，结合弦长公式即可求解C.【详解】对于A:圆心到直线的距离为，故直线与圆相离，A错误，对于B，圆上的点到直线的最小距离为，故的取值范围为，B正确，对于C，设与平行的直线为，由于圆心到直线的距离为，所以，故直线为或，故C错误，对于D，由于圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，而，故圆C上存在两个点到直线的距离为，D正确，故选：BD35．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）已知圆直线：，点P在直线上运动，直线PA，PB分别与圆切于点A，B．则下列说法正确的是（

）A．四边形的面积最小值为 B．|PA|最短时，弦AB长为C．|PA|最短时，弦AB直线方程为 D．直线AB过定点【答案】ABD【分析】A选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，又因切线长定理可知，当最短时，面积最小．B选项，由圆的弦长公式结合锐角三角函数即可求解．C选项，两垂直直线的斜率相乘等于，两平行直线斜率相等．D选项，由向量积公式求定点坐标．【详解】对于A，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即，最短时，面积最小，故当时，最短，即，，故A正确．

由上述可知，时，最短，故最小，且最小值为，所以,故B正确，当|PA|最短时，则，又，所以，，，可设的直线方程为，圆心到直线的距离，解得，，由于直线在圆心的右侧，且在直线的左侧，所以，所以，（舍去）即直线的方程为．故C错误．设圆上一点为,，,，,，,，,，,，易知，由于，所以同理，．，，将代入得等号成立，故直线过定点为，故D正确．故选：ABD．36．（2023春·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）设，过定点的动直线：，和过定点的动直线：交于点，是圆：上的任意一点，则下列说法正确的有（

）A．直线与圆相切时B．到距离的最大值是C．直线与圆相交的最短弦长为D．的最大值为【答案】BCD【分析】对于A，根据直线与圆相切判定，利用点到直线的距离公式，建立方程，可得答案；对于B，根据圆上点到圆外直线最值问题，作图，根据图中几何性质，可得答案；对于C，根据点到过定点直线的距离问题，作图，利用弦长公式，可得答案；对于D，根据直线的方程明确直线的位置关系，利用基本不等式，可得答案.【详解】对于A，由圆，则圆心，半径，圆心到直线的距离为，由圆与直线相切，则，化简可得：，解得或，故A错误；对于B，由直线，当时，，则，当时到的距离最大，如下图：

最大值为，此时到距离的最大值为，故B正确；对于C，由选项A所得：圆心，半径，由直线，整理可得：，当时，，则，当时所得弦长最短，如下图：

则到直线的距离为，所以弦长为，故C正确；对于D，由，，当时，的斜率不存在，的斜率为零，则；当时，的斜率为，的斜率为，由，则.所以，如下图：

在中，，由，则，所以，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：BCD.37．（2023秋·江苏盐城·高二盐城中学校考阶段练习）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．过点作曲线的切线，则切线方程为【答案】BD【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确.【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为，对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方，所以它的最大值为，所以A错误；对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即，由圆心到直线的距离，解得，所以的最大值为，所以B正确；对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误；对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上，则点与圆心连线的斜率为，根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为，所以切线方程为，即，所以D正确.故选：BD.三、填空题38．（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上．过原点引圆C的切线，则切线长为．【答案】【分析】设出圆心的坐标，用两种角度表示出半径的表达式，列方程即可求出圆心坐标还有半径，然后求切线长即可.【详解】设圆心坐标为，圆的半径为，由题意，圆心到的距离为，即，又圆心到的距离也是，即，故，整理得，即，则圆心坐标为，半径为，原点到圆心的距离是，于是过原点作圆的切线长为：.故答案为：39．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为.【答案】【分析】由直线与圆的位置关系数形结合计算即可.【详解】，即过定点，，即曲线为原点为圆心，2为半径的半圆，如图所示，设与曲线切于点C，曲线与横轴负半轴交于点B，

则，，故.故答案为：.40．（2023秋·高二课时练习）如果圆关于直线对称，则圆的圆心坐标为．【答案】【分析】由题意圆关于直线对称可知圆心在直线上，只需将圆心坐标代入直线方程即可求解.【详解】由题意圆的圆心为，由分析可知圆心在直线上，将圆心坐标代入即得，解得，所以圆心坐标为.故答案为：.41．（2023秋·高二单元测试）从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为．【答案】【详解】设，易知的极线方程为，即可得弦必过，易得圆上，过的最短的弦长为．42．（2023·全国·高二课堂例题）已知点，，若直线上存在点P，使，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】设，由可知点在圆上，又点P在直线上，则直线和圆有公共点，可知弦心距小于等于半径，则实数a的取值范围可求.【详解】设，点，，且，，化简可得，可知点在圆上，又点在直线上，可知直线与圆相交，则到的距离，解得.故答案为：.四、解答题43．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为.经过坐标原点的直线与圆交于，两点.(1)求圆的方程；(2)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设圆的标准方程，把点的坐标代入，结合弦长公式求解即可；（2）设，由解方程组的方法用的