3.1.1椭圆及其标准方程 解析版

3.1.1椭圆及其标准方程【考点梳理】考点一：椭圆的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．焦点：两个定点F1，F2.3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.考点二：椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝a2－c2考点三：求轨迹方程的方法直译法——“四步一回头”，四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标；

（2）写出适合条件的点M的集合；

（3）将“翻译”成代数方程；（4）化简代数方程为最简形式.【题型归纳】题型一：利用椭圆的定义求方程1．（2023·江苏·高二）若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用两点距离公式的几何意义，结合椭圆的定义即可得解.【详解】因为动点满足关系式，所以该等式表示点到两个定点，的距离的和为12，而，即动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，即，又，，所以动点M的轨迹方程为.故选：C.2．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）已知动点到两个定点的距离之和为6，则动点轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据椭圆定义即可求出答案.【详解】根据椭圆的定义知动点M轨迹为以A，B为焦点的椭圆，，，，即动点轨迹方程为.故选：D.3．（2022秋·辽宁沈阳·高二校联考期中）椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆定义列出方程，求出a＝5，根据焦点坐标求出c＝3，，得到椭圆标准方程.【详解】因为的周长为20，由椭圆定义可知：4a＝20，即a＝5，又因为c＝3，所以，所以该椭圆的标准方程为.故选：B.题型二：椭圆的焦点三角形问题4．（2023·全国·高二专题练习）直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（

）A．10 B．16 C．20 D．不能确定【答案】C【分析】由图形结合椭圆定义可得答案.【详解】设椭圆两个焦点为，由题可得，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为.故选：C5．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出，再求出等腰三角形的面积作答.【详解】椭圆中，，由及椭圆定义得，

因此为等腰三角形，底边上的高，所以的面积为.故选：D6．（2023·全国·高二专题练习）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件根据向量夹角公式求，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，则，，即.设，所以由椭圆的定义可得：①.因为，所以由数量积的公式可得：，所以.在中，所以由余弦定理可得：②，由①②可得：，所以.故选：A.题型三：根据方程表示椭圆求参数问题7．（2023秋·高二课前预习）“”是“方程表示椭圆”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由方程表示椭圆求出参数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若方程表示椭圆，则，解得且，因此，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：A8．（2023秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围.【详解】依题意，方程表示椭圆，则，解得或，即实数m的取值范围是.故选：B9．（2023春·四川南充·高二校考期中）对于常数，“”是“方程的曲线是椭圆”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】运用椭圆方程的一般形式求得m、n的范围，结合两集合的包含关系判断即可.【详解】因为“方程的曲线是椭圆”，则，又因为，但，所以“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选：B.题型四：椭圆的标准方程的求法10．（2023·全国·高二专题练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（

）A． B．或C． D．以上都不对【答案】B【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得，由焦点到椭圆上点的最短距离为，结合可得.【详解】

由题意，当椭圆焦点在轴上，设椭圆方程为：，由题意，，所以，，，，所以椭圆方程为：，当椭圆焦点在轴上时，同理可得：，故选：B11．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据的周长可得，由的中点坐标求得M坐标，代入椭圆方程可得关系式，解方程可得的值，即可求得答案【详解】因为的周长为，所以，则，又,的中点为，所以M的坐标为，故，则，结合，，解得，所以椭圆C的标准方程为，故选：A12．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆，分别是椭圆C的焦点，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根据椭圆的定义可求，，结合条件可求.【详解】设椭圆的长半轴为，则，由椭圆定义可得，，又，所以.故选：D.题型五：与椭圆有关的轨迹问题13．（2023·江苏·高二专题练习）已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案.【详解】由圆，则其圆心，半径为，设动圆的圆心为，半径为，由圆在圆的内部与其相切，则，由圆过点，则，即，所以动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，，，所以其轨迹方程为.故选：D.14．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，,，利用为线段的中点，得到点坐标与动点坐标之间的关系，将点坐标用点坐标表示，然后代入圆的方程即可得到动点的轨迹方程；【详解】设，,，则,．为线段的中点，，即，．又点在圆上，，即．故点的轨迹方程为．故选：A15．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆：（圆心为），点，点Р在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的定义求得正确答案.【详解】圆：的圆心，半径.由于，所以在圆内，根据垂直平分线的性质可知，所以，所以点的轨迹是椭圆，且，所以点的轨迹方程是.故选：C题型六：椭圆的最值问题16．（2023秋·全国·高二期中）已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【分析】由椭圆的定义可得，结合，即可求解.【详解】由椭圆，可得，所以，又由椭圆的定义可得，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.故选：D.17．（2018秋·河北衡水·高二河北阜城中学阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意，根据椭圆的定义，结合勾股定理以及等面积法，可得答案.【详解】由题意作图，∵|PF1|+|PF2|=2a，又∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴，设点P到x轴的距离为d，则|PF1|·|PF2|=|F1F2|·d，故2b2=2cd，故，故选：D．18．（2023·全国·高二专题练习）设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（

）A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11【答案】C【分析】求出两圆圆心和半径，得到圆心和刚好为椭圆的两个焦点，从而利用椭圆定义求出，可得的最大值为，的最小值为，求出答案.【详解】的圆心为，的圆心为，两圆半径均为，由于，，所以椭圆的两个焦点分别为和，由椭圆定义可知：，所以的最大值为，的最小值为.故选：C题型七：椭圆方程的综合问题19．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆C：，左，右焦点分别为，，椭圆C经过，．(1)求椭圆C的方程；(2)若点P使得，求的面积．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由题意可知，，代入椭圆的标准方程进行求解即可；（2）假设椭圆C上存在点，使得，则，可求出，根据计算可得结果.【详解】（1）因为椭圆C经过，．则，解得，．所以椭圆C的方程为．（2）由（1）知，，假设椭圆C上存在点，使得，则，即，联立，解得，．∴椭圆C上存在点P使得．∴．20．（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)，；(2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；(3)焦点在x轴上，，且经过点；(4)，且经过点.【答案】(1)或(2)(3)(4)或【分析】(1)直接联立方程组，求出、的值，再利用椭圆的基本性质求出的值，然后分别讨论焦点所在的坐标轴，直接写出标准方程即可；(2)由椭圆的定义，直接写出、的值，并可判断焦点所在坐标轴，再利用椭圆的基本性质求出的值，即可直接写出椭圆的标准方程；(3)由题意，设出椭圆的标准方程，再把点代入求解即可；(4)由题意结合椭圆的性质，可列出、的关系式，再设出椭圆的标准方程，然后把点代入求解即可.【详解】（1）由题意，联立，解得：，则由椭圆的性质得：，所以当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：；当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：，故椭圆的标准方程为：或.（2）由题意可得，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，即，又椭圆的两个焦点坐标为，，则，且焦点落在轴上，所以由椭圆的性质得：，故椭圆的标准方程为：.（3）因为椭圆的焦点在轴上，且，所以可设椭圆的标准方程为，又因为椭圆经过点，所以，解得：，故椭圆的标准方程为：.（4）因为，由椭圆的性质得，则，所以可设椭圆的标准方程为或又因为椭圆经过点，所以或，解得：或，所以，当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：；当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：，故椭圆的标准方程为：或.21．（2023秋·高二课时练习）已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点．(1)若，求；(2)若的面积为9，求的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用椭圆的定义、三角形面积公式、余弦定理进行求解即可；（2）根据（1）中三角形的面积公式进行求解即可.【详解】（1）设，设，由，则，所以有，由余弦定理可知：，所以有，即（2）由（1）可知：，因为，所以，因此，即.【双基达标】一、单选题22．（2023秋·陕西渭南·高二渭南市瑞泉中学校考阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的标准方程得到方程组，解得答案.【详解】方程表示椭圆，则，解得.故选：B23．（2023·全国·高二专题练习）已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（

）A．20 B．16 C．18 D．14【答案】C【分析】由椭圆的定义求解．【详解】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选：C24．（2023秋·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期末）如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是（

）．A．4 B．14 C．12 D．8【答案】B【分析】根据椭圆标准方程确定，再结合椭圆的定义可得答案.【详解】椭圆中，所以由椭圆的定义可得，又，所以.即点到另一个焦点的距离是.故选：B.25．（2023·全国·高二专题练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标分别为，，经过点；(2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为.(3)两个焦点坐标分别是和，并且经过点.(4)已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程.【答案】(1)(2)(3)(4)或.【分析】（1）（2）（3）（4）由已知，结合椭圆标准方程的特征分别求解．【详解】（1）设椭圆的标准方程为，依题可得，将代入到方程中得，故，所以椭圆的标准方程为.（2）设椭圆的标准方程为，依题可得，即，所以，所以椭圆的标准方程为（3）易知，焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为：，将代入标准方程解得，则椭圆的标准方程为：.（4）因为，，解得：，又因为，所以，椭圆的标准方程为或.26．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求：(1)椭圆的标准方程(2)的面积．【答案】(1)(2)【分析】设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求出椭圆方程；利用椭圆定义以及余弦定理、面积公式求得结果.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由已知得解得，，，故椭圆的标准方程为．（2）如图，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，整理得，又，所以，故．【高分突破】一、单选题27．（2023·江苏·高二）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由椭圆的面积和两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形求解即可.【详解】由题意得，解得，所以椭圆的标准方程是.故选：A．28．（2023秋·高二课时练习）点为椭圆上任意一点，分别为左、右焦点，则的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．不存在【答案】B【分析】设，利用向量的坐标运算得，结合点在椭圆上得坐标关系，即可得最值.【详解】

设，所以，所以当时，取到最大值，最大值为3．故选：B．29．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，且经过点P，同时，则椭圆的标准方程为（

）A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【答案】A【分析】代入点的坐标，以及联立条件，结合，即可求解椭圆方程.【详解】由已知，可设椭圆的方程为，则，又，由椭圆定义得，，即，因为，所以，，所以椭圆的标准方程为，故选：A.30．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为椭圆C的左顶点，以为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M，N，若直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出两点的坐标，根据已知条件列方程组，求得，从而求得椭圆的标准方程.【详解】设，则，依题意，，解得，所以椭圆的标准方程为.故选：B

31．（2023·全国·高二专题练习）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆，得，，.

设，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故选：C.32．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为.若点关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据点关于直线的对称点求法求出点，再根据距离公式可得，从而判断出为直角，再根据椭圆的定义以及勾股定理计算得出，从而得解．【详解】设关于直线的对称点，由，得．

可知，又知，所以，则为直角，由题意，点恰好在上，根据椭圆定义，得，，设，则，在直角三角形中，，解得，从而，所以.故选：D．二、多选题33．（2023秋·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（

）A．曲线C可能是圆B．若，则C为椭圆C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则【答案】AD【分析】根据方程为圆列式求解判断A，排除B，根据椭圆标准方程的特征列不等式求解范围即可判断CD.【详解】当即时，方程为，表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误；若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C错误；若C为椭圆，且焦点在y轴上，则，解得，故选项D正确.故选：AD.34．（2023秋·高二课时练习）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（

）．A．B．P到最小的距离是2C．面积的最大值为6D．P到最大的距离是9【答案】AD【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可.【详解】由椭圆方程可得：，则，对A：根据椭圆的定义可得，A正确；对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，最小值为，B错误；对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，最大值为，C错误；对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大，最小值为，D正确.故选：AD.35．（2023·江苏·高二专题练习），是椭圆的两个焦点，A是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（

）A．9 B．C． D．【答案】AB【分析】对的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.【详解】由得，不妨，，则，当时，则①平方减去②得，∴，当(或者)时，，令，则，解得，则，.故选：AB.

36．（2023秋·高二单元测试）已知点，直线l：，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）A．点P的轨迹方程是B．直线是“最远距离直线”C．平面上有一点，则的最小值为5D．点P的轨迹与圆C：没有交点【答案】ABC【分析】设点，根据题意列方程化简可得方程，可判断A；判断直线与点P的轨迹方程是否有交点可判断B；将转化为，结合图形可判断C；结合图形可直接判断D.【详解】设，因为点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半，所以，化简得，故A正确；由可得，解得，故存在，所以直线是“最远距离直线”，故B正确；过P作PB垂直直线l：，垂足为B，则由题可得，则，则由图可知，的最小值即为点A到直线l：的距离，距离为5，故C正确；由可得，即圆心为，半径为1，易得点P的轨迹与圆C交于点，故D错误．故选：ABC.

三、填空题37．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为.【答案】【分析】根据椭圆定义可得答案.【详解】由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为，，故，，所以椭圆C的标准方程为.故答案为：.

38．（2023秋·高二课时练习）设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为.【答案】11【分析】先确定焦点的坐标，再利用椭圆的定义转化，结合线段差的特点可得答案.【详解】由题意可得，，所以,因为，所以;因为，所以.故答案为：11.

39．（2023·江苏·高二假期作业）椭圆的两焦点分别为，点在椭圆上，若，则的大小为．【答案】【分析】根据椭圆的定义和标准方程，可得，，在中，由余弦定理，即可求解.【详解】由椭圆，可得，则，因为，可得，，在中，由余弦定理得，因为，所以.故答案为：40．（2023·江苏·高二专题练习）已知分别是椭圆的左、右