数学物理方法（第三版）：傅里叶级数展开法教学课件

第9章傅里叶级数展开法9.1强迫振动的定解问题9.2有源热传导的定解问题9.3泊松方程的定解问题9.4非齐次边界的处理第2篇数学物理方程9.1强迫振动的定解问题我

们

以

一

个

长

为I

的

细

杆

的

振

动

方

程

为

例

，

不

过

这

时

细

杆

受

到

外

界

强

迫

力f(x,t)的

作

用

。

此

外，

我

们

还

假

设

细

杆

的

两端是自由振动的，即对应于第二类齐次边界条件。这样，细杆振动的泛定方程和定解条件为uμ—a²uxx=f(x,t)

(9.1-1)

(9.1-2)

(9.1-3)

由上

一

章的讨论可知，

一

维齐次方程在齐次边界条件下的本征解为三角函数族，它具有完备正交性。因此，本章求解非齐次泛定方程的基本思想是：将非齐次泛定方程的解u(x,t)按

照

对

应

的

齐

次

方

程

在

齐

次

边

界

条

件

下

的

本

征

解X(x)

进

行

傅

里

叶级数展开，即(9.1-4)其中展开系数T,(t)是随时间变化的，由初始条件(9.1-3)来确定。可以看到，非齐次振动方程(9.1-1)所对应的齐次方程的本征解问题为9.1强迫振动的定解问题这样可以将非齐次方程(9.1-1)的通解表示为(9.1-5)为

了

确

定

出

展

开

系

数Tn(t),我们还需要把方程(9

.

1-

1)右边的非齐次项及初始条件(9

.

1-

3)按这个本征函数来展开，即

(9.1-6)

(9.1-7)

(9.1-8)9.1强迫振动的定解问题不难验证，它的本征解为9.1强迫振动的定解问题(9.1-9)(9.1-10)其中展开系数为(n≥1)分

别

把

式(9.1-

5)-(9.1-8)代入泛定方程(9.1-1)及初始条件(9.1-3),则可以得到T,"(t)+(kna)²T,(t)=fn(t)

(9.1-11)

(9.1-12)其中kn=nπ/1。这样通过上述级数展开，我们就把原来的

一

个非齐次二阶偏微分方程的求解问题转化成

一

个非齐次二阶常微分方程的求解问题。接下来，我们采用第六章介绍的拉普拉斯变换来求解方程(9

.

1-

11)。设与T,(t)对应的像函数为T(D),则

借

助

于

拉

普

拉

斯变换，可以把方程(9.

1-

11)转化为如下代数方程(p²+k²a²)Tn(p)一

pTn(0)-Tn'(0)=fn(p)(9.1-13)其

中f,(p)是函

数f,(t)对应的像函数。将初始条件(9.1-12)代入方程(9.1-13),则可以得到

(9.1-14)然后再进行拉普拉斯反演，可以得到9.1强迫振动的定解问题可以看到，一旦给定非齐次项f(x,t)及

初

始

位

移φ(x)和初始速度

ψ(x)

的函数形

式，就

可以

确

定出

展

开

系

数f(1),中

n及

。

的

形

式

，进而可以

确

定出

非

齐

次

振

动

方

程的

解u(x,t)。上面介绍的求

解非齐

次

方

程的

解

法

是

一

种

较

为

普

遍的

方

法，可以

用

来

求

解

任

意

形

式的

线

性

非

齐

次

方

程，只

是

对

于

不

同

形

式的齐次边界条件，本征函数和本征值有所不同。9.1强迫振动的定解问题(9.1-15)(9.1-16)(9.1-17)最后，我们得到非齐次振动方程(9.1-1)的一般解为(n≠0)例

1

求解如下细杆强迫振动的定解问题其

中A,w

及a均为常数。9.1强迫振动的定解问题,以及φ(x)=0和ψ(x)=0,

对应上述齐次边界条件的齐次方程的本征函数解：由于则有φn=ψn=0(0≤x≤l)其

中k₁=π/I及

w₁=πall。由以上讨论可以看出，对于齐次边界条件下的非齐次方程，可以把它的

一

般解按对应的齐次方程的本征函数Xn(x)

展开，即u(x,t)=∑nTn(t)Xn(x),同

时

对

非

齐

次

项

和

初

始

条

件

也

作

类

似

地

展

开

，

这

样

可

以

把

原

来u(x,D)

的

非

齐

次

偏

微

分

方程

转

化

成

关

于T₂(t)的

非

齐

次

常

微

分

方

程

。

然

后

利

用

拉

普

拉

斯

变

换

求

解

该

常

微

分

方

程

，

即

可

以

确

定T₂(t)的

形

式

。上述介绍的傅里叶级数展开法也适用于求解高维非齐次波动方程的问题。A2[usin(wit)—wsin(wt)]cos(k₁x)9.1强迫振动的定解问题将以上结果代入式(9.1-17),则可以得到9.2有源热传导的定解问题对于有源热传导问题，也可以采用上节介绍的傅里叶级数展开法进行处理。考虑如下细杆的热传导问题u,—a²uxπ=f(x,t)

(9.2-1)

(9.2-2)u(x,0)=φ(x)(0≤x≤l)

(9.2-3)其中f(x,t)表示时空依赖的热源，φ(x)为初始温度。可以看到，与上述问题对应的齐次方程的本征函数为sink„x,

其

中

为本征波数(n=0,1,2,…)

。

将非齐

次方程(9.2-1)的一般解按照这个本征函数展开，即

(9.2-4)并代入方程(9.2-1),则可以得到T,'(t)+(ka)²T,(t)=fn(t)(9.2-5)其中

(9.2-6)9.2有源热传导的定解问题9.2有源热传导的定解问题对于初始温度φ(x)也做类似地展开，可以得到Tn(O)=φn其

中采用拉普拉斯变换方法来求解非齐次常微分方程(9.2-5),可以得到pTn(p)-Tn(0)+(k„a)²Tn(p)=fn(p)将初始条件(9.2-7)代入上式，并进行反演，则有(9.2-7)(9.2-8)(9.2-9)(9.2-10)这样，

一旦给定了非齐次项f(x,t)

和初始温度(x)的形式，非齐次热传导方程的解就完全被确定。最后，可以得到非齐次热传导方程(9.2-1)的一般解为9.2有源热传导的定解问题可见在T₂

(1)的表示中，第一部分为弛豫项，随着t→∞,很快衰减为零；第二项为外界热源维持的强迫项，随外界热源

的变化而变化。将式(9.2-11)代入式(9.2-10),即可以得到细杆上任意时刻的温度场分布u(x,t)。例

1在上述非齐次热传导问题中，如果初始温度为零，即φ(x)=0,

以及非齐次项为f(x,t)=Asin(t),求细杆上的温度分布。解：由于φ(x)=0及f(x,t)=Asin(wt),则

有(9.2-11)这样有φn=09.2有源热传导的定解问题其

中f(x,y,t)表示二维瞬时外界热源，φ(x,y)为初始温度分布。由齐次边界条件(9.2-13)可以看出，与齐次方程对应的本征函数

,其中n=1,2,3,….;m=1,下

面

讨

论

利

用

傅

里

叶

级

数

展

开

法

求

解

二

维

有

源

热

传

导

问

题。

考

虑

一

个

长

和

宽

分

别

为a和b的

矩

形

薄

板，

在

外

界

热

源

作

用下，对应的定解问题为2,3,

…。这样可以将非齐次方程(9.2-12)的一般解展开成如下傅里叶级数形式(9.2-12)(9.2-13)(9.2-14)将上式代入方程(9.2-12),并利用三角函数的正交性，则可以得到u(x,y,0)=φ(x,y)(0≤x

≤a;0≤y≤b)(9.2-15)T'′mm(t)+kk2mTm(t)=fmm(t)其中

k2m=(nπ/a)²+(mπ/b)²(9.2-16)(9.2-17)(9.2-18)(9.2-19)9.2有源热传导的定解问题将式(9.2-19)代入式(9.2-15),即可以得到二维非齐次热传导方程(9.2-12)的一般解。利用拉普拉斯变换，很容易得到常微分方程(9.2-16)的解为对初始条件(9.2-14),也可以做类似地展开，有Tmm(0)=φnm其中9.3泊松方程的定解问题9.3泊松方程的定解问题考虑到齐次边界条件(9.3-2),首先可以将函数u(x,y)展开成如下形式其中系数Y(y)待定。将式(9.3-4)代入方程(9.3及边界条件其中f(x,y)为电荷源的空间分布。我

们

再

讨

论

一

下

二

维

泊

松

方

程

的

定

解

问

题

。

考

虑

一

个

长

和

宽

分

别

为a和b的

矩

形

区

域，

静

电

势u(x,y)

满

足

如

下

泊

松

方

程(9.3-4)(9.3-5)(9.3-6)(9.3-1)(9.3-2)(9.3-3)uzx+uyy=f(x,y)9.3泊松方程的定解问题(9.3-7)(9.3-8)(9.3-9)(9.3-10)其中Cm

为待定系数。把式(9.3-8)代入方程(9.3-5),则可以确定出展开系数Cm

为再考虑齐次边界条件(9.3-6),可以进一步地把Yn(y)展开成如下级数形式其中其中在上面的讨论中，我们假定了所有的边界条件都是齐次的。实际上，对于直角坐标系中的二维泊松方程，只要其中的

一对边界条件是齐次的，而另外一对边界条件是非齐次的，就可以利用傅里叶级数展开法进行求解。例如，在x=0及x=a处

的边界条件是齐次的，如式(9.3-2);而在y=0及y=b处的边界条件是非齐次的，为(9.3-12)这时仍然可以将泊松方程(9

.

3

-

1)的解写成式(9

.

3

-

4)的形式，其中系数Y,()也仍然满足方程(9

.

3

-

5),不过方程(9

.

3

-

5)对应的边

界条件不再是式(9.3-6),而是(9.3-13)原

则

上

讲

，

利

用

常

微

分

方

程

的

求

解

方

法

，

可

以

得

到

方

程(

9

.

3

-

5

)

在

非

齐

次

边

界

条

件

下

的

一

般

解

，

进

而

可

以

确

定

出

泊

松

方

程

的

一般解。下

面

再

来

讨

论

圆

形

区

域

内

泊

松

方

程

的

定

解

问

题。

在

平

面

极

坐

标

系中，

齐

次

边

界

条

件

下

泊

松

方

程

的

定

解

问

题

为9.3泊松方程的定解问题这样，一旦知道了非齐次项fx,y)

的具体形式，就可以利用上述方法确定出泊松方程的解。(9.3-11)(9.3-16)其中

(9.3-17)对应的齐次边界条件则变为

A(a)=0

(9.3-18)另外，泊松方程在圆心处(r=0)的解应有限，因此有A(0)=

有

限

(9.3-19)9.3泊松方程的定解问题考虑到周期性边界条件u(r,φ)=u(r,φ+2π),可以将方程(9.3-14)的解按照如下复数形式的傅里叶级数展开将式(9.3-15)代入方程(9.3-14),则可以得到展开系数A,(r)满足的方程为(9.3-14)(9.3-15)其中a

为圆的半径。方程(9.3-16)的一般解为齐次方程(欧拉方程)的通解c₁r+c₂r-¹

与非齐次方程的特解-r³/16之和，即

(9.3-20)考虑边界条件(9.3-19)和(9.3-18),则(9.3-21)而当n≠±1时，方程(9.3-16)变为欧拉方程，其解为A,(r)=d,+

e,

考虑边界条件(9.3-19)和(9.3-18),则有即A,(r)=0(n≠±1)

。

最后，可以得到方程

(9.3-22)9.3泊松方程的定解问题方程(9.3-16)是一个二阶非齐次常微分方程，原则上讲可以求出它在边界条件(9.3-18)和(9.3-19)下的解。下面我们考虑一种简单的情况，即取f(r,φ)=-rcosφ。由式(9.3-17),很容易得到及fn(r)=0(n≠±1)

。当

n=±1

时，可以看到在平面极坐标系中，当函数

f(r,φ)形式比较复杂时，很难得到方程(9.3-16)的解析解。这说明，当所考虑的坐标

系不是直角坐标系时，采用这种傅里叶级数展开法求解泛定方程的解要受到一定的限制。9.4非齐次边界的处理在前面的讨论中，无论方程是齐次的还是非齐次的，我们都假定边界条件是齐次的。那么在非齐次边界条件下，如何确

定泛定方程的定解问题呢?由于所讨论的泛定方程的定解问题都是线性的，因此可以采用叠加原理把边界齐次化，其基本思

路是：选择一个合适的辅助函数v(x,t),且令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)

(9.4-1)使得关于函数w(x,t)的定解问题具有齐次边界条件。首先我们以细杆的自由振动为例来进行讨论，其定解问题如下uμ—a²ux=0(9.4-2)

(9.4-3)

(9.4-4)其中u₁(t)和u₂(t)是时间变量的任意函数，所对应的边界条件为第一类非齐次边界条件。辅助函数v(x,t)的选取所要遵循的基本原则是：在保证能够使得边界条件齐次化的前提下，使得v(x,t)的形式最为简单。

对于上述第一类非齐次边界条件，可以选取v(x,t)是空间变量x

的线性函数，即9.4非齐次边界的处理9.4非齐次边界的处理可以看到，经过上述处理后，原来的非齐次边界条件变成了齐次边界条件，原来的齐次方程变成了非齐次方程。这样，我们就可以利用§9.1节介绍的方法来求解该非齐次方程的定解问题。将u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)

代入定解问题式(9.4-2)-式(9.4-4),则可以得到关于w(x,t)

的定解问题Wu—a²wx=F(x,t)(9.4-5)(9.4-6)(9.4-7)(9.4-8)(9.4-9)(9.4-10)(9.4-11)(0≤x≤l)其

中还需要说明两点：(1)尽管我们是以齐次泛定方程(9.4-2)为例来讨论的，但如果在定解问题中，不仅边界是非齐次的，泛定方程也是非齐次的，我们仍然可以按照上面的方法来把边界齐次化。(2)辅助函数的形式依赖于边界条件的类型，如对于第二类非齐次边界条件

(9.4-12)

可以选取辅助函数v(x,t)的形式为

(9.4-13)

而对于“混合”边界条件

(9.4-14)

(9.4-15)

则对应的辅助函数分别为

v(x,t)=u₂(t)x+u₁(t)(9.4-16)v(x,t)=u₂(t)+u₁(t)(x—l)