江苏省扬州市邗江区三校2026届高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

江苏省扬州市邗江区三校2026届高二上数学期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（）A. B.C. D.2．若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为A. B.C. D.3．设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（）A. B.C. D.4．2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案将采取“”模式即语文、数学、英语必考，考生首先在物理、历史中选择1门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，一名同学随机选择3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为（）A. B.C. D.5．过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为M，且FM的中点A在双曲线上，则双曲线离心率e等于（）A. B.C. D.6．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（）A B.C. D.7．等差数列前项和，已知，，则的值是（）.A. B.C. D.8．某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（）A.72元 B.300元C.512元 D.816元9．下列说法或运算正确的是（）A.B.用反证法证明“一个三角形至少有两个锐角”时需设“一个三角形没有锐角”C.“，”的否定形式为“，”D.直线不可能与圆相切10．若直线与圆相切，则（）A. B.或2C. D.或11．双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的焦距等于A. B.C. D.12．抛物线的准线方程为，则实数的值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数，则函数在处切线的斜率为_______________.14．若点为圆上的一个动点，则点到直线距离的最大值为________15．若曲线在处的切线平行于x轴，则___________.16．由曲线围成的图形的面积为_______________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，设椭圆（）的离心率是e，定义直线为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为，长轴长为8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线l交椭圆C于E，F两不同点（点E，F与点A不重合），且满足，若点P满足，求直线的斜率的取值范围.18．（12分）已知椭圆C：的长轴长为，P是椭圆上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆C的上顶点，Q为PA的中点，且直线PA与直线OQ的斜率之积恒为-2.（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k且过上焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当点M，N到y轴距离之和最大时，求直线l的方程.19．（12分）在等差数列中．，（1）求的通项公式：（2）记的前项和为，求满足的的最大值20．（12分）已知在数列中，，且.（1）求，，并证明数列是等比数列；（2）求的通项公式及前n项和.21．（12分）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;（Ⅱ）求数列的前n项和Sn.22．（10分）如图，在四棱锥中，为平行四边形，，平面，且，点是的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上(不含端点)是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】设直线的方程为，其中，设点、、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出、，根据条件可求得的值，即可得出直线的斜率.【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，其中，设点、、，联立可得，，，所以，，，，直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，，因为，则，因为，解得，因此，直线的斜率为.故选：C.2、A【解析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后求出直线的方向向量和平面的法向量，借助向量的运算求出线面角的正弦值【详解】取AC的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设三棱柱的棱长为2，则，∴设为平面的一个法向量，由故令，得设直线AD与平面所成角为，则，所以直线AD与平面所成角的正弦值为故选A【点睛】空间向量的引入为解决立体几何问题提供了较好的方法，解题时首先要建立适当的坐标系，得到相关点的坐标后借助向量的运算，将空间图形的位置关系或数量关系转化为向量的运算处理．在解决空间角的问题时，首先求出向量夹角的余弦值，然后再转化为所求的空间角．解题时要注意向量的夹角和空间角之间的联系和区别，避免出现错误3、B【解析】根据椭圆的定义写出，再根据条件即可解得答案.【详解】根据P为椭圆C：上一点，则有，又，所以，故选：B.4、A【解析】先由列举法计算出基本事件的总数，然后再求出该同学选到历史、地理两门功课的基本事件的个数，基本事件个数比即为所求概率.【详解】由题意，记物理、历史分别为、，从中选择1门；记思想政治、地理、化学、生物为、、、，从中选择2门；则该同学随机选择3门功课，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个基本事件；该同学选到历史、地理两门功课所包含的基本事件有：，，共个基本事件；该同学选到物理、地理两门功课的概率为.故选：A.【点睛】本题考查求古典概型的概率，属于基础题型.5、A【解析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知的斜率，表示出直线方程，求出的坐标进而求得A点坐标，代入双曲线方程整理求得和的关系式，进而求得离心率【详解】：由题意设相应的渐近线：，则根据直线的斜率为，则的方程为，联立双曲线渐近线方程求出，则，，则的中点，把中点坐标代入双曲线方程中，即，整理得，即，求得，即离心率为，故答案为：6、D【解析】设双曲线的方程为，再代点解方程即得解.【详解】解：由得，所以椭圆的焦点为.设双曲线的方程为，因为双曲线过点，所以.所以双曲线的方程为.故选：D7、C【解析】由题意，设等差数列的公差为，则，故，故，故选8、D【解析】设这个箱子的箱底的长为xm，则宽为m，设箱子总造价为f（x）元，则f(x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低总造价【详解】设这个箱子的箱底的长为xm，则宽为m，设箱子总造价为f(x)元，∴f(x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元故选：D9、D【解析】对于A：可以解决；对于B:“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”；对于C：全称否定必须是全部否定；对于D：需要观察出所给直线是过定点的.【详解】A：，故错误；B：“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”，所以用反证法时应假设只有一个锐角和没有锐角两种情况，故错误；C：的否定形式是，故错误；D：直线是过定点（-1，0），而圆，圆心为（2，0），半径为4，定点（-1，0）到圆心的距离为2-（-1）=3＜4，故定点在圆内，故正确；故选：D.10、D【解析】根据圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解.【详解】由圆可得圆心，半径，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理可得：，所以或，故选：D.11、D【解析】不妨设双曲线方程为，则，即设焦点为，渐近线方程为则又解得．则焦距为．选：D12、B【解析】由题得，解方程即得解.【详解】解：抛物线的准线方程为，所以.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】解：因为，所以，所以，所以函数在处切线的斜率为故答案为：14、7【解析】根据给定条件求出圆C的圆心C到直线l的距离即可计算作答.【详解】圆的圆心，半径，点C到直线的距离，所以圆C上点P到直线l距离的最大值为.故答案为：715、【解析】求出导函数得到函数在时的导数，由导数值为0求得a的值【详解】由，得，则，∵曲线在点处的切线平行于x轴，∴，即.故答案为：16、【解析】当时，曲线表示的图形为以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为，根据对称性，可知由曲线围成的图形的面积为考点：本小题主要考查曲线表示的平面图形的面积的求法，考查学生分类讨论思想的运用和运算求解能力.点评：解决此题的关键是看出所求图形在四个象限内是相同的，然后求出在一个象限内的图形的面积即可解决问题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由题意列关于，，的方程，联立方程组求得，，，则椭圆方程可求；（2）分直线轴与直线l不垂直于x轴两种情况讨论，当直线l不垂直于x轴时，设，，直线l：（，），联立直线方程与椭圆方程，消元由，得到，再列出韦达定理，由则，解得，再由，求出的坐标，则，再利用基本不等式求出取值范围；【详解】解：（1）由题意得：，，又，联立以上可得：，，，椭圆C的方程为.（2）由（1）得，当直线轴时，又，联立得，解得或，所以，此时，直线的斜率为0.当直线l不垂直于x轴时，设，，直线l：（，），联立，整理得，依题意，即（*）且，.又，，，即，且t满足（*），，，故直线的斜率，当时，，当且仅当，即时取等号，此时；当时，，当且仅当，即时取等号，此时；综上，直线的斜率的取值范围为.【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题.18、（1）（2）【解析】（1）设点，求出直线、直线的斜率相乘可得，结合可得答案；（2）设直线l的方程为与椭圆方程联立，代入得，设，再利用基本不等式可得答案.【小问1详解】由题意可得，，即，则，设点，∵Q为的中点，∴，∴直线斜率，直线的斜率，∴，又∵，∴，则，解得，∴椭圆C的方程为.【小问2详解】由（1）知，设直线l的方程为，联立化简得，，设，则，易知M，N到y轴的距离之和为，，设，∴，当且仅当即时等号成立，所以当时取得最大值，此时直线l的方程为.19、（1）（2）【解析】（1）根据等差数列的概念及通项公式可得基本量，进而可得解.（2）利用等差数列求和公式计算，解不等式即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，所以，解得，所以数列的通项公式为；【小问2详解】由（1）得，所以，解得，所以的最大值为.20、（1），，证明见解析（2），【解析】（1）根据递推关系求出，，对递推公式变形，即可得证；（2）结合（1）求得通项公式，分组求和.【小问1详解】因为，且所以，，∵，∴，∵，∴，且，∴数列是等比数列.【小问2详解】由（1）可知是以为首项，以3为公比的等比数列，即，即；.21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】本试题考查了等差数列与等比数列的概念以及等比数列的前n项和公式等基本知识（Ⅰ）由题设知公差由成等比数列得解得（舍去），故的通项（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由等比数列前n项和公式得点评：本试题题目条件给的比较清晰，直接．只要抓住概念就可以很好的解决22、（1）见解析（2）存在，【解析】（1）连接交于点，由三角形中位线性质知，由线面平行判定定理证得结论；（2）以为原点建立空间直角坐标系，假设，可用表示出点坐标；根据二面角的向量求法可根据二面角的余弦值构造出关于的方程，从而解得结果.【详解】（1）连接交于点，连接，四边形为平行四边形，为中点，又为中点，，平面，平