2026届山东省济南市金柱数学高一上期末达标检测试题含解析

2026届山东省济南市金柱数学高一上期末达标检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列关系中，正确的是（）A. B.C D.2．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）A. B.C. D.3．关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间单调递减；③在有个零点；④的最大值为.其中所有正确结论的编号是（）A.①②④ B.②④C.①④ D.①③4．已知等边的边长为2，为内（包括三条边上）一点，则的最大值是A.2 B.C.0 D.5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是（）A. B.C. D.6．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为（）A. B.C. D.7．已知角的终边与单位圆的交点为，则（）A. B.C. D.8．已知，，c=40.1，则（）A. B.C. D.9．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A. B.C. D.10．已知四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB=6，CD=8，EF=5，则AB与CD所成角的度数为A.30° B.45°C.60° D.90°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的最大值是__________12．函数中角的终边经过点，若时，的最小值为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间.13．函数f（x），若f（a）＝4，则a＝_____14．数据的第50百分位数是__________.15．定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________16．在直角坐标系中，直线的倾斜角________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．一家货物公司计划在距离车站不超过8千米的范围内征地建造仓库，经过市场调查了解到下列信息：征地费用（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：千米）的关系为.为了交通方便，仓库与车站之间还要修一条道路，修路费用（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：千米）成正比.若仓库到车站的距离为3千米时，修路费用为18万元.设为征地与修路两项费用之和.（1）求的解析式；（2）仓库应建在离车站多远处，可使总费用最小，并求最小值18．已知函数.（1）求的定义域；（2）若函数，且对任意的，，恒成立，求实数a的取值范围.19．计算求值：（1）（2）20．已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）若，求的取值范围.21．已知是函数的零点，.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】根据对数函数的性质判断A，根据指数函数的性质判断B，根据正弦函数的性质及诱导公式判断C，根据余弦函数的性质及诱导公式判断D；【详解】解：对于A：因为，，，故A错误；对于B：因为在定义域上单调递减，因为，所以，又，，因为在上单调递增，所以，所以，所以，故B正确；对于C：因为在上单调递减，因为，所以，又，所以，故C错误；对于D：因为在上单调递减，又，所以，又，所以，故D错误；故选：B2、C【解析】先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.【详解】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为，底面为直角梯形，上下底分别为、，梯形的高为，因此几何体的体积为，选C.【点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等.3、A【解析】利用偶函数的定义可判断出命题①的正误；去绝对值，利用余弦函数的单调性可判断出命题②的正误；求出函数在区间上的零点个数，并利用偶函数的性质可判断出命题③的正误；由取最大值知，然后去绝对值，即可判断出命题④的正误.【详解】对于命题①，函数的定义域为，且，则函数为偶函数，命题①为真命题；对于命题②，当时，，则，此时，函数在区间上单调递减，命题②正确；对于命题③，当时，，则，当时，，则，由偶函数的性质可知，当时，，则函数在上有无数个零点，命题③错误；对于命题④，若函数取最大值时，，则，，当时，函数取最大值，命题④正确.因此，正确的命题序号为①②④.故选A.【点睛】本题考查与余弦函数基本性质相关的命题真假的判断，解题时要结合自变量的取值范围去绝对值，结合余弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.4、A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，设点P的坐标为，则故令，则t表示内（包括三条边上）上的一点与点间的距离的平方．结合图形可得当点与点B或C重合时t可取得最大值，且最大值为，故的最大值为．选A点睛：通过建立坐标系，将问题转化为向量的坐标运算可使得本题的解答代数化，在得到向量数量积的表达式后，根据表达式的特征再利用数形结合的思路求解是解题的关键，借助图形的直观性可容易得到答案5、D【解析】利用函数的奇偶性求在上的表达式.【详解】令，则，故，又是定义在上的奇函数，∴.故选：D.6、A【解析】确定三角形三点在平面ADD1A1上的正投影，从而连接起来就是答案.【详解】点M在平面ADD1A1上的正投影是的中点，点N在平面ADD1A1上的正投影是的中点，点D在平面ADD1A1上的正投影仍然是D，从而连接其三点，A选项为答案，故选：A7、A【解析】利用三角函数的定义得出和的值，由此可计算出的值.【详解】由三角函数的定义得，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.8、A【解析】利用指对数函数的性质判断指对数式的大小.【详解】由，∴.故选：A.9、A【解析】先求出该球面的半径，由此能求出该球面的表面积【详解】棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，该球面的半径，该球面的表面积为故选A【点睛】本题考查球面的表面积的求法，考查正方体的外接球、球的表面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题10、D【解析】取BC的中点P，连接PE，PF，则∠FPE（或补角）是AB与CD所成的角，利用勾股定理可求该角为直角.【详解】如图，取BC的中点P，连接PE，PF，则PF//CD，∠FPE（或补角）是AB与CD所成的角，∵AB=6，CD=8，∴PF=4，PE=3，而EF=5，所以PF2+P故选：D.【点睛】本题考查异面直线所成的角，此类问题一般需要通过平移构建平面角，再利用解三角形的方法求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】由题意得，令，则，且故，，所以当时，函数取得最大值，且，即函数的最大值为答案：点睛：（1）对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，当其中一个式子的值知道时，其余二式的值可求，转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα（2）求形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的函数的最值（或值域）时，可先设t＝sinx±cosx，转化为关于t的二次函数求最值（或值域）12、（1）（2），【解析】（1）根据角的终边经过点求，再由题意得周期求即可；（2）根据正弦函数的单调性求单调区间即可.【小问1详解】因为角的终边经过点，所以，若时，的最小值为可知，∴【小问2详解】令，解得故单调递增区间为：，13、1或8【解析】当时，，当时，，分别计算出的值，然后在检验.【详解】当时，,解得，满足条件.当时，,解得，满足条件所以或8.故对答案为：1或8【点睛】本题考查分段函数根据函数值求自变量，属于基础题.14、16【解析】第50百分位数为数据的中位数,即得.【详解】数据的第50百分位数，即为数据的中位数为.故答案为：16.15、【解析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得，由减函数的定义可得，解得的范围，即可得答案【详解】根据题意，，则，根据单调性可得先减后增，所以当时，取得最小值2，则有，则，因为为减函数，必有，解可得：，即m的取值范围为；故答案为．【点睛】本题考查函数单调性、函数最值的计算，关键是求出c的值．16、##30°【解析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角【详解】试题分析：直线化成，可知，而，故故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）当仓库建在离车站5千米时，总费用最少，最小值为70万元.【解析】（1）先设，依题意求参数，即得的解析式；（2）先整理函数，再利用基本不等式求最值，即得函数最小值及取最小值的条件.【详解】解：（1）根据题意，设修路费用，，解得，.，；（2）=，当且仅当即时取等号.当仓库建在离车站5千米时，总费用最少，最小值为70万元.18、（1）.（2）（2，+∞）.【解析】（1）使对数式有意义，即得定义域；（2）命题等价于，如其中一个不易求得，如不易求，则转化恒成立，再由其它方法如分离参数法求解或由二次不等式恒成立问题求解【详解】（1）由题可知且，所以.所以的定义域为.（2）由题易知其定义域上单调递增.所以在上的最大值为，对任意的恒成立等价于恒成立.由题得.令，则恒成立.当时，，不满足题意.当时，，解得，因为，所以舍去.当时，对称轴为，当，即时，，所以；当，即时，，无解，舍去；当，即时，，所以，舍去.综上所述，实数a的取值范围为（2，+∞）.【点睛】本题考查求对数型复合函数的定义域，不等式恒成立问题．解题时注意转化与化归思想的应用19、（1）（2）1【解析】（1）以实数指数幂运算规则解之即可；（2）以对数运算规则解之即可.【小问1详解】【小问2详解】20、（1）是奇函数，证明见解析（2）【解析】（1）先求函数的定义域，再利用奇偶性的定义进行判定；（2）先解关于的一元二次不等式得到，再利用对数函数的单调性转化为分式不等式进行求解.【小问1详解】解：是奇函数，证明如下：令，即，解得，即的定义域为；对于任意，都有，且，即，所以是奇函数.【小问2详解】解：因为，所以，则，即，所以，因为，所以，所以可化为，解得，即的取值范围为.21、(Ⅰ)1；(Ⅱ)；(Ⅲ)【解析】Ⅰ利用是函数的零点，代入解析式即可求实数的值；Ⅱ由不等式在上恒成立，利用参数分类法，转化为二次函数求最值问题，即可求实数的取值范围；Ⅲ原方程等价于，利用换元法，转化为一元二次方程根的个数进行求解即可【详解】Ⅰ是函数的零点，，得；Ⅱ，，则不等式在上恒成立，等价为，，同时除以，得，令，则，