2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市（第四届）九年级（下）核心素养发展营活动竞赛数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市（第四届）九年级下学期核心素养发展营活动竞赛数学试卷一、选择题（每小题5分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）在中考长跑测试中，某班前30名学生成绩的平均分为8分，方差为25.6分2，后10名同学的成绩分别为（单位：分）：5，6，8，9，6，9，10，9，8，10，则该班40名同学成绩的方差为（）A．19.9分2 B．20.1分2 C．20.3分2 D．20.5分22．（5分）图1是由边长为1的小正方形构成的5种基本图形，现通过平移、旋转、轴对称等方式，用基本图形中的1种或几种去铺满图2中4×4的单位网格，要求图形不重叠、无空隙，每种基本图形可以重复使用，则下列哪个组合不能把4×4的网格铺满？该组合是（）A．④ B．④⑤ C．①②⑤ D．①③④3．（5分）对于实数x，y定义“※”运算：当x≥y时，x※y＝x+y；当x＜y时，x※y＝x2﹣xy+y2，若（﹣1）※a＝2，则a3+2a+3的值为（）A．15 B．25 C．±25 4．（5分）如图，△ABC的顶点均在反比例函数y=kx(k≠0，k为常数）图象上，∠ACB＝90°，AB过点O，BC分别与x轴、y轴交于D、E两点，若E点坐标为（0，﹣2），△ABCA．22 B．2 C．325．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝10，AC＝6，点P，Q分别在BC，AB边上运动，且BP＝AQ，连接AP，CQ，则AP+CQ的最小值为（）A．14 B．63 C．237 6．（5分）已知ax﹣2b＝by﹣2a＝22a+22b，ab≠0，x，y为正整数，则符合条件的（x，y）共有（）A．12组 B．21组 C．34组 D．42组二、填空题（每小题5分，共30分）7．（5分）计算：24+23-8．（5分）方程（x﹣1）2+b＝a+2|x﹣1|+3有3个实数根，则a﹣b的值为．9．（5分）定义平面内任意两点P（x，y），Q（x2，y2）之间的距离dPQ＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，dPQ称为这两点之间的曼哈顿距离．已知点A坐标为（3，0），点P为直线y＝kx﹣4上一点，若dAP＝2，则k的取值范围为．10．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，D为AB中点，E为边BC上一点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，使△A′DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的14，则BE的长为11．（5分）设正数a，b，c是三角形三条边的长，则称（a，b，c）是三角形数．若（m，n，t）和(1m，1n，1t)均为三角形数，且m12．（5分）如图1，有一长方体容器，其截面为矩形ABCD，底边长AB为10cm，容器内盛有一定量的水，将容器放在水平桌面上，并将容器绕底部垂直于截面的一条棱旋转（如图2），且不使水溢出．若旋转前容器内水的高度为hcm，旋转后水的高度的最大值为2hcm，则h的值为．三、解答题（第13题12分，第14、15题各15分，第16题18分，共60分）13．（12分）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：x2（1）把下列假分式化成带分式：①xx-1=②x4+1（2）若x3-x（3）若11x-63-2x和1x同时为整数，求满足条件的所有实数14．（15分）如图1，在正方形ABCD中，AB＝6，E是AB边上一点，连接CE，将△BCE沿CE翻折得到△FCE．连接DF并延长，交AB于点G．（1）若F为DG中点，求EG的长度；（2）如图2，连接A并延长，交CE于点H，AG＝3GE．①证明：G为AB中点；②求FH的长度．15．（15分）观察下列按规律生长的“枝繁叶茂”图，其中图1中线段的条数记为a1，图2中线段的条数记为a2，图3中线段的条数记为a3…，图n中线段的条数记为an显然a1＝1，a2＝5．（1）当n≥2时，请直接写出an﹣1和an之间的关系；（2）用n表示出an；（3）若ap﹣aq＝4212，求pq的值．四、综合学习型试题16．（18分）同学们，我们已经知道，三角形的三条角平分线交于一点，我们把这个点记作“I”，该点到三角形三边的距离相等，我们把这个距离记作r0．【知识储备】：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，证明：r0（2）如图2，在平面直角坐标系中，△AOB顶点A的坐标为（3a，4a），B的坐标为（4b，﹣3b），a＞0，b＞0；【思考探究】：①求OI所在直线的函数表达式；【延伸拓展】：②若I的纵坐标为2024，a，b为整数，求符合条件的△AOB的个数．

2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市（第四届）九年级下学期核心素养发展营活动竞赛数学试卷答案一、选择题（每小题5分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．【答案】A【解答】解：前30名学生成绩分别为x1、x2、、x30，后10名同学的成绩的平均成绩为110∵前30名学生成绩的平均分为8分，∴该班40名同学的平均成绩为8分，∴该班40名同学成绩的方差=140[（x1﹣8）2+...+（x30﹣8）2+（5﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）∵前30名学生成绩的平均分为8分，方差为25.6分2，∴130[（x1﹣8）2+...+（x30﹣8）2∴（x1﹣8）2+...+（x30﹣8）2＝768，∴该班40名同学成绩的方差=140[768+（5﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）故选：A．2．【答案】A【解答】解：选项A：图形④由4个小正方形组成，尝试用其铺满4×4网格，会发现其形状无法通过平移、旋转、轴对称无重叠、无空隙地铺满，故A不能铺满；选项B：图形④和⑤可通过组合、变换铺满网格；选项C：图形①、②、⑤可通过组合、变换铺满网格；选项D：图形①、③、④可通过组合、变换铺满网格，故选：A．3．【答案】B【解答】解：①当﹣1≥a即a≤﹣1时，∵（﹣1）※a＝2，∴﹣1+a＝2，∴a＝3（不合题意，舍去）；②当﹣1＜a即a＞﹣1时，（﹣1）※a＝（﹣1）2﹣（﹣1）•a+a2＝2，整理得a2+a﹣1＝0，∴a=-1±∵a＞﹣1，∴a=-1+∵a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴a3+2a+3＝a3+a2﹣a2﹣a+3a+3＝a（a2+a）﹣（a2+a）+3a+3＝a﹣1+3a+3＝4a+2＝4×-1+＝﹣2+25+＝25，故选：B．4．【答案】D【解答】解：∵AB过原点O，且A、B在反比例函数y=kx(k≠0根据反比例函数的中心对称性，设A（a，ka）（a＞0），则B（﹣a，-由于∠ACB＝90°，且A、C在反比例函数上，C的坐标为（ka，a设直线BC的解析式为y＝mx+n，将B（﹣a，-ka）和C（ka得-ma+n=-k解得m=1n=a-因此，直线BC的解析式为y＝x+a-k已知E（0，﹣2）在直线BC上，将x＝0，y＝﹣2代入解析式，得a-ka=-因为O是AB的中点，所以S△ABC＝2S△AOC，对于A（a，ka）、O（0，0）、C（ka，利用坐标法求三角形面积：S△AOC=1因此，S△ABC＝|a^2，已知S△ABC＝8，即|a^28②，由式①可得ka-a＝2，令t=ka，则t﹣a＝2，将a＝t﹣2和k＝at代入式②，|（t﹣2）2﹣t2|＝8，即|﹣4t+4|＝8，分情况讨论：若﹣4t+4＝8，解得t＝﹣1（舍去，因为t=k若﹣4t+4＝﹣8，解得t＝3．因此，a＝t﹣2＝3﹣2＝1，k＝at＝3，故选：D．5．【答案】B【解答】解：作∠ABD＝60°，作BD＝AC＝6，连接PD，如图，∵∠ACB＝120°，∴∠ABC+∠BAC＝60°，而∠ABC+∠DBP＝60°，∴∠PBD＝∠QAC，在△BDP和△ACQ中，BP=AQ∠DBP=∠CAQ∴△BDP≌△ACQ（SAS），∴PD＝CQ，∴AP+CQ＝PA+PD，∵AP+PD≥AD，∴AP+PD的最小值为AD的长度，∵当AD⊥BD时，AD最短，此时AD=3BD＝63∴AP+CQ的最小值为63．故选：B．6．【答案】B【解答】解：由ax﹣2b＝22a+22b得：a（x﹣22）＝24b，由by﹣2a＝22a+22b得：b（y﹣22）＝24a，∴ab（x﹣22）（y﹣22）＝24b•24a，∵ab≠0，∴（x﹣22）（y﹣22）＝576，当x﹣22＞0，y﹣22＞0时，∵576＝26×32，∴576的正因数个数为（6+1）×（2+1）＝21个，∴有21对（x，y）满足（x﹣22）（y﹣22）＝576；当x﹣22＜0，y﹣22＜0时，∵x，y为正整数，∴0＜x＜22，0＜y＜22，∴x﹣22＞﹣22，y﹣22＞﹣22，∴（x﹣22）（y﹣22）＜（﹣22）×（﹣22），即（x﹣22）（y﹣22）＜484，此时（x﹣22）（y﹣22）＝576不可能成立；综上所述，有21对（x，y）满足（x﹣22）（y﹣22）＝576；故选：B．二、填空题（每小题5分，共30分）7．【答案】3+【解答】解：原式＝23+2＝2(＝2（3+1）＝23+2=3故答案为：3+8．【答案】﹣3．【解答】解：令t＝|x﹣1|（t≥0），则原方程（x﹣1）2+b＝a+2|x﹣1|+3可转化为：t2+b＝a+2t+3，整理为：t2﹣2t+（b﹣a﹣3）＝0，∵原方程有3个实数根，而t＝|x﹣1|，当t＞0时，x有两个解，当t＝0时，x有一个解，因此，方程t2﹣2t+（b﹣a﹣3）＝0的根需满足一个根为t＝0，另一个根为t＞0，将t＝0代入方程t2﹣2t+（b﹣a﹣3）＝0，得0﹣0+（b﹣a﹣3）＝0，即a﹣b＝﹣3，综上，a﹣b的值为﹣3，故答案为：﹣3．9．【答案】23≤【解答】解：如图，B（1，0），C（3，﹣2），D（5，0），E（3，2），正方形BCDE边上的点到点A的曼哈顿距离为2，所以直线y＝kx﹣4与正方形BCDE有交点即可．当y＝kx﹣4经过B（1，0）时，k＝4，当y＝kx﹣4经过C（3，﹣2）时，k=2∴23≤故答案为：23≤10．【答案】52或【解答】解：如图，当∠ADE＞90°时，连接AA'，延长ED交AA'于点M∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，∴AB=∵D为AB中点，∴AD＝DB=∵将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，∴AD＝A'D，AE＝A'E∴ED垂直平分AA'∴EM⊥AA'，∵AD＝DB＝DA'=∴△ABA'是直角三角形∴∠AA'B＝90°，即AA'⊥A'B∴ME∥A'B∴∠MEF＝∠FA'B，∵△A′DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的14∴S△DEF=14S△∴DF=14AB∴DF＝FB，且∠MEF＝∠FA'B，∠A'FB＝∠EFD∴△A'FB≌△EFD（AAS）∴EF＝A'F，且DF＝FB，∠EFB＝∠A'FD∴△BFE≌△DFA'（SAS）∴AD＝BE=若∠ADE＜90°时，如图，同理可求：AE＝A'E＝BD=5∴CE=A∴BE＝BC﹣CE=3故答案为：52或311．【答案】3-5【解答】解：∵m≤n≤t，∴1m∵（m，n，t）和(1∴m+n＞t，1n∴n＞t﹣m，1n∴t﹣m＜n＜mt∴t2+m2﹣3mt＜0，令a=mt，则a2﹣3∴3-52＜∵m≤t，∴mt故答案为：3-512．【答案】52【解答】解：如图，设BE＝a，BF＝b，斜边EF上的高为h1，则S△BEF所以ab＝20h，由1h∴h1的最大值为10h，故10h=2h解得h=5故答案为：52三、解答题（第13题12分，第14、15题各15分，第16题18分，共60分）13．【答案】（1）①1+1x-1，②（2）﹣2，﹣1，2，3（3）1，13【解答】解：（1）①将分子改写为分母的形式：xx-1②用多项式除法分解：x4故答案为：1+1x-1，（2）将分式化为带分式：x3要求6x(x-1)为整数，即x（x解得x＝﹣2，﹣1，2，3．故答案为：﹣2，﹣1，2，3；（3）由1x为整数，得x=1k（k化简为11-6k3k-2要求11-6k3k-2解得k＝1和k＝3，对应x＝1和x=1故答案为：1，1314．【答案】（1）EG＝43-6（2）①证明：如图2，延长EF交AD于点M，连结CM交DG于点N，由折叠的性质可知∠CFE＝∠B＝90°，CB＝CF＝CD，∴∠CFM＝∠CDM＝90°，∵CM＝CM，∴Rt△CFM≌Rt△CDM（HL），∴FM＝DM，CM⊥DG，∴∠DCM＝∠GDA＝90°﹣∠CDG，∵∠CDM＝∠GAD＝90°，CD＝AD，∴△CDM≌△DAG（ASA），∴DM＝AG，设EG＝x，则FM＝DM＝AG＝3x，AM＝6﹣3x，EF＝BE＝6﹣4x，EM＝EF+FM＝6﹣x，在Rt△AEM中，（4x）2+（6﹣3x）2＝（6﹣x）2，解得x1＝1，x2＝0（舍掉），∴AG=3=1∴G为AB中点；②FH=6【解答】（1）解：如图1，延长EF，CD相交于点H，∵F为DG中点，∴GF＝DF，∵AB∥CD，∴∠FEG＝∠H，∵∠EFG＝∠HFD，∴△EFG≌△DFH（ASA），∴EF＝FH，由折叠的性质可知∠CFE＝∠B＝90°，∴∠CFE＝∠CFH，∵CF＝CF，∴△CEF≌△CHF（SAS），∴∠BCE＝∠FCE＝∠FCH＝30°，∴CH＝CE=BCcos30°=∴EG＝DH＝CH﹣CD＝43-（2）①证明：如图2，延长EF交AD于点M，连结CM交DG于点N，由折叠的性质可知∠CFE＝∠B＝90°，CB＝CF＝CD，∴∠CFM＝∠CDM＝90°，∵CM＝CM，∴Rt△CFM≌Rt△CDM（HL），∴FM＝DM，CM⊥DG，∴∠DCM＝∠GDA＝90°﹣∠CDG，∵∠CDM＝∠GAD＝90°，CD＝AD，∴△CDM≌△DAG（ASA），∴DM＝AG，设EG＝x，则FM＝DM＝AG＝3x，AM＝6﹣3x，EF＝BE＝6﹣4x，EM＝EF+FM＝6﹣x，在Rt△AEM中，（4x）2+（6﹣3x）2＝（6﹣x）2，解得x1＝1，x2＝0（舍掉），∴AG=3=1∴G为AB中点；②解：由①知，EF＝2，FM＝DM＝3，∴CM=35∵M是AD中点，N是DF中点，∴MN∥AF，即CM∥FH，∴△EFH∽△EMC，∴FHCM=EF∴FH=615．【答案】（1）an＝3an﹣1+2；（2）an（3）40．【解答】解：（1）由所给图形可知，a1＝1，a2＝5＝3a1+2，a3＝17＝3a2+2，a4＝53＝3a3+2，…，由此可见，an＝3an﹣1+2，所以an﹣1和an之间的关系为an＝3an﹣1+2；（2）由（1）知，an＝3an﹣1+2＝3（3an﹣2+2）+2…=3＝2×（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+…+31+30）﹣3n﹣1=2×3＝3n﹣3n﹣1﹣1，所以an（3）由ap﹣aq＝4212得，3p﹣3p﹣1﹣1﹣（3q﹣3q﹣1﹣1）＝4212，整理得，3p﹣5﹣3q﹣5＝26，则3p﹣5﹣3q﹣5＝27﹣1，所以p﹣5＝3，q﹣5＝0，则p＝8，q＝5，所以pq＝40．四、综合学习型试题16．【答案】（1）如图，过I作AB、AC、BC的垂线段，垂足分别为E、F、G，连接IA、IB、IC，则IE＝IF＝IG＝r0，在Rt△AIE和Rt△AIF中，IE=IFIA=IA∴