2024年浙江省第五届初中生学科素养测评九年级数学试卷（含答案）

第1页（共1页）2024年浙江省第五届初中生学科素养测评九年级数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）若n为整数，且72×(32)A．2个 B．4个 C．6个 D．8个2．（4分）如图，A，B，C，D为长方体四个顶点，DA＝8，DB＝DC＝6，则△ABC的面积等于（）A．341 B．641 C．123．（4分）关于x的方程|x2﹣1|+k＝0根的个数不可能是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（4分）随意投掷一个匀质的正方体色子（六个面分别标记为1～6的数字）两次，分别得到a，b两个数，则点（a，b）在抛物线y＝ax2﹣bx上方的概率是（）A．518 B．718 C．13365．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∠ABC的平分线交⊙O于点E，连接ED，若则⊙O的半径为R，则ED的长为（）A．R B．2R C．3R 6．（4分）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在半径OB上，点D在AB上，连接AC，DC，满足∠ACD＝90°，∠OAC＝∠CAD，若半径OA＝1，则AD的长为（）A．3(2-1) B．5-1 C．47．（4分）在△ABC中，三边长分别为x2，2x，y2﹣1，且x，y分别为大于1的整数，则x﹣y＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．08．（4分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]＝2，[3]＝3，[﹣1.2]＝﹣2，若x，y满足[x]+2y=5x+[y]=3，那么x+yA．3 B．2或32 C．3或729．（4分）方程x2﹣（k+3）x﹣k﹣1＝0有两实根x1，x2，且满足0＜x1＜1＜x2＜2，那么k的取值范围是（）A．k＞-32 B．C．k＜﹣1 D．k＞﹣1或k＜-10．（4分）若a，b都是正数，且ab+a+b＝1，设S＝﹣（ab）2+ab，则S的取值范围是（）A．0＜S＜14 B．C．0＜S≤102-14 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）11．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在CD上，点F在AD上，CE＝DF，则BE+BF的最小值为．12．（5分）若关于x的不等式|x+m|＜n的解集为4＜x＜6，则m+n的值是．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC=62，∠B＝45°，∠D＝90°，则四边形ABCD的面积的最大值为14．（5分）已知x、y为整数，且满足方程10y2﹣9x2＝y4，则x2+y2的值为．15．（5分）设函数y1=12(x-α)(x-α+2)，函数y2＝2（x﹣α）（α是实数），若函数y＝y1﹣y2的图象经过点（β，0）时，则α16．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交CB的延长线于点D，点E是AD的中点，连接CE交AB于点F，连接DF交边AC于点G，若DB＝6，BC＝5，CG＝4，则AB＝．17．（5分）已知实数a，b，c满足a+c＝2b，且a≥b≥c≥0，若关于x的二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实根，则该相等的实根为．18．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，BA与CD的延长线交于点Q，M，N分别为AC，BD的中点，若AC＝4，BD＝6，则△QMN的面积为．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）19．（10分）如图，已知△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，连接AD，EC交于点F，且∠BAC＝∠ACE＝∠BCE，若CF＝EF，AE＝2EB．（1）求证：∠B＝90°；（2）求CDDB20．（10分）关于x，y的方程组x24+y24b2=1y=k(x+2)（1）求k、b之间的关系式；（2）若y1+y2＝3，求常数k、b的值．21．（10分）如图，在△ABC中，O为外心，I为内心，OI⊥AI．（1）求证：AB+ACBC（2）设△ABC外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，求证：AB•AC＝6Rr．22．（10分）函数y1=x2+bx+c（b，c为常数），函数y2＝x，函数y1，y2的图象有两个交点，这两个交点的横坐标分别为x1，x2，且满足x1＞0，x（1）若x1＝1，求b与c之间的等量关系；（2）求证：b2＞2（b+2c）；（3）设0＜t＜x1，点（t，q）在函数y1图象上，请比较q与x1的大小．

2024年浙江省第五届初中生学科素养测评九年级数学试卷答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．【答案】C【解答】解：72×（32）0＝72，72×（32）1＝108，72×（32）2＝169，72×（32）3＝243，72×（32）﹣1∴满足条件的n有﹣2、﹣1、0、1、2、3共计6个．故选：C．2．【答案】B【解答】解：由勾股定理得，AC＝AB=AD2+BD2如图，AC＝AB＝10，BC＝62，过点A作AM⊥BC于点M，∴BM＝CM=12BC＝3在Rt△ABM中，AB＝10，BM＝32，∴AM=A∴△ABC的面积为12BC•AM=12×6故选：B．3．【答案】A【解答】解：关于x的方程|x2﹣1|+k＝0根的个数不可能1个，故选：A．4．【答案】A【解答】解：列表得：6（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）123456∴共有36种等可能点（a，b），∵点（a，b）在抛物线y＝ax2﹣bx上方，∴b＞a•a2﹣b•a＝a3﹣ab，∴b＞a当a＝1时，b＞1∴b＝1，2，3，4，5，6均满足，共6个，当a＝2时，b＞2∴b＝3，4，5，6均满足，共4个，当a＝3时，b＞3当a＝4时，b＞4当a＝5时，b＞5当a＝6时，b＞6∴当a＝3，4，5，6时，没有满足条件的b，∴满足条件的共有10种情况，∴点（a，b）在抛物线y＝ax2﹣bx上方的概率为：1036故选：A．5．【答案】B【解答】解：连接OE，OD，∴∠AOE＝2∠ABE，∠BOD＝2∠BAD，∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∠ABC的平分线交⊙O于点E，∵∠BAC＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABE，∴∠AOE＝∠ABC，∠BOD＝∠BAC，∴∠AOE+∠BOD＝∠ABC+∠BAC，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠AOE+∠BOD＝90°，∴∠EOD＝90°，∵⊙O的半径为R，∴DE=2OE=2故选：B．6．【答案】B【解答】解：过点D作DE⊥OB，DH⊥AO，分别交OB，OA于点E，H，连接OD，∴∠DEC＝∠AHD＝90°，DE＝OH，，设OC＝a，在Rt△OAC中，∵OA＝1，∴由勾股定理得：AC=1+在△OAC和△CAD中，∵∠AOB＝∠ACD＝90°，∠OAG＝∠CAD，∴△OAC∽△CAD，∴ACAO∴ACCD又∵DCB+∠ACO＝180°﹣90°＝﹣90°，∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠DCB＝∠OAC，在△OAC和△CDE中，∵∠DCB＝∠OAC，∠AOB＝∠DEC＝90°，∴OAC∽△CDE，∴OCDE即aDE∴DE＝a2，CE＝a，在Rt△ODE中，∵OD＝1，∴12＝a4+4a2，∴a2=5在AHD中，由勾股定理得：AD2＝（OA﹣OH）2+OE2，即AD2＝（1﹣a2）2+4a2＝（1+a2）2，∴AD＝1+a2=5故选：B．7．【答案】D【解答】解：∵三边长分别为x2，2x，y2﹣1，∴x2+2x＞y2﹣1，∴x2+2x+1＞y2，∴（x+1）2﹣y2＞0，∴（x+1+y）（x+1﹣y）＞0，∵x，y分别为大于1的整数，∴x+1+y＞0，∴x+1﹣y＞0，∴x﹣y＞﹣1．故选：D．8．【答案】C【解答】解：∵[x]表示不超过x的最大整数，由方程组得出x是整数，即x+2y=5∴2y﹣[y]＝2，当y＝2时，x＝1满足方程组得出x+y＝3，当y＝1.5时，x＝2满足方程组得出x+y＝3.5，故选：C．9．【答案】B【解答】解：把方程x2﹣（k+3）x﹣k﹣1＝0有两实根x1，x2，且满足0＜x1＜1＜x2＜2转化为抛物线y＝x2+（k+3）x﹣k﹣1与x轴的交点一个在（0，0）与（1，0）之间，另一个在（1，0）和（2，0）之间，∵x＝0，y＞0；x＝1，y＜0；x＝2，y＞0，∴﹣k﹣1＞0且1﹣（k+3）﹣k﹣1＜0且4﹣2（k+3）﹣k﹣1＞0，解得-32故选：B．10．【答案】C【解答】解：由条件ab+a+b＝1，设s＝ab，则a+b＝1﹣s，根据均值不等式：a+b≥2ab，即1-s≥2令t=s不等式变为：1﹣t2≥2t，即t2+2t解得0≤t≤﹣1+2因此0＜t2≤（﹣1+2）2分析S的取值范围S＝s﹣s2是开口向下的二次函数，顶点在s=1但由于s≤3-22最大值出现在s=3-22处：S当s＝0时，S＝0，因此S的取值范围为：0＜S≤102故选：C．二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）11．【答案】5．【解答】解：如图，延长AD到T，使得DT＝AD＝1，连接BT，ET．∵四边形ABC都是正方形，∴AD＝CD＝AB＝1，∠A＝∠ADC＝∠EDT＝90°，∴BT=A∵CE＝DF，∴AF＝DE，∵AB＝DT，∠A＝∠EDT＝90°，∴△BAF≌△TDE（SAS），∴BF＝DT，∴BF+BE＝BE+ET≥BT=5∴BF+BE的最小值为5．故答案为：5．12．【答案】﹣4．【解答】解：由|x+m|＜n可得﹣n﹣m＜x＜n﹣m，∵|x+m|＜n的解集为4＜x＜6，∴-n-m=4n-m=6解得m=-5n=1∴m+n＝1﹣5＝﹣4．故答案为：﹣4．13．【答案】34．【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DH⊥AC于点H，作△ACD的外接圆⊙O，圆心为点O，过点O作OP⊥AC于点P，点P于点D在AC的同侧，如图所示：∴∠CEB＝∠CEA＝90°，∵∠ADC＝90°，∴⊙O的圆心O是AC的中点，点D在⊙O上，∴OA＝OC＝OP=12在△BCE中，∠CEB＝90°，∠B＝45°，BC=62∴△BCE是等腰直角三角形，∴BE＝CE，由勾股定理得：BC=BE∴BE＝CE=22BC∵AB＝8，∴S△ABC=12AB•CE=12×8×6＝24，AE在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC=C∴OA＝OC＝OP=12AC＝√10∵DH⊥AC于点H，∴S△ACD=12AC•DH∴四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ACD=24+10∴当DH为最大时，四边形ABCD的面积S为最大，∵点D在⊙O上，∴当点D于点P重合时，DH为最大，最大值是OP的长，∴DH的最大值为10，此时四边形ABCD的面积的最大值：24+10故答案为：34．14．【答案】0或2或10．【解答】解：∵10y2﹣9x2＝y4，∴9x2＝10y2﹣y4，∴9x2＝y2（10﹣y2），∵x、y为整数，9x2≥0，y2≥0，∴10﹣y2≥0，y2（10﹣y2）必须是非负的且能被9整除，∴y2≤10，∴y可能为0，±1，±2，±3，当y＝0时，9x2＝0，x＝0，此时x2+y2＝0，当y＝±1时，9x2＝10﹣1＝9，x2＝1，此时x2+y2＝1+1＝2，当y＝±2时，9x2＝4×（10﹣4）＝24，x＝±243当y＝±3时，9x2＝9×（10﹣9）＝9，x2＝1，此时x2+y2＝1+9＝10，综上，x2+y2的值为0或2或10．故答案为：0或2或10．15．【答案】0或﹣2．【解答】解：∵函数y1=12(x-α)(x-α+2)，函数y2＝2（x∴y＝y1﹣y2=12（x﹣α）2﹣（x﹣∵函数y＝y1﹣y2的图象经过点（β，0），∴12（β﹣α）2﹣（β﹣α）＝0，即12（α﹣β）2+（α﹣∴（α﹣β）（12α-1∴α﹣β＝0或﹣2．故答案为：0或﹣2．16．【答案】245【解答】解：连接BG，过点F作QR∥AD交AC于点Q，交CD于点R，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∵QF∥AD，RF∥DE，∴△CQF∽△CAE，△CRF∽△CDE，∴QFAE∴QFRF∴QF＝RF，∵QF∥AD，RF∥AD，∴△GQF∽△GAD，△BFR∽△BAD，∴GFGD∴GDGF-1∴DFGF∵∠AFD＝∠BFG，∴△AFD∽△BFG，∴∠ADF＝∠BGF，∴AD∥BG，∵DB＝6，BC＝5，CG＝4，∴DC＝DB+BC＝11，∴ACCG∴AC=115CG=11作DH∥AB，交CA的延长线于点H，∵AD平分∠BAH，∴∠HAD＝∠BAD＝∠HDA，∴HA＝HD，∴DBDC∵AB∥HD，∴△ABC∽△HDC，∴ABHD∴ABAC∴ABAC∴AB=611AC故答案为：24517．【答案】﹣2+3【解答】解：∵关于x的二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实根，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，∴b2＝4ac，∵a+c＝2b，∴b=a+c∴（a+c2）2＝4ac整理得a2﹣14ac+c2＝0，∴a＝（7±43）c∵a≥b≥c≥0，∴a＝（7﹣43）c不合题意，∴a＝（7+43）c，∵关于x的二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实根，∴x=-b2a=-a+c22a=-14故答案为：﹣2+318．【答案】3．【解答】解：如图建立坐标系，设点A坐标为（﹣a，0），点C坐标（b，0），点B坐标（﹣c，0），点D坐标为（d，0）．则M坐标为（0，d-c2），点N坐标为（b-a易知a+b＝4，c+d＝6．设直线AB解析式为y＝k1x+b1.直线CD的解析式为y＝k2x+b2．把A、B两点坐标代入y＝k1x+b1得：0=-ak1+则直线AB解析式为y=-cax﹣同理可得直线CD的解析式为：y=-dbx+联立两条直线方程解得：x=(c+d)abad-bc，y∴xQ=(c+d)abad-bc，yQ同理直线NQ的解析式为y=-2cdad+bc（x令x＝0，y=(b-a)cd设NQ交y轴于点E，则yE=(b-a)cd∴S△MNQ=12（yE﹣yM）（xN﹣xQ）=12×整理得：S△MNQ=1故答案为：3．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）19．【答案】（1）如图1，作BC的垂直平分线交CE于点L，连接BL，∵∠BAC＝∠ACE＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BAC+∠ACE＝2∠ACE＝2∠BCE，AE＝CE，∵BL＝CL，∴∠LBC＝∠BCE，∴∠BLE＝∠LBC+∠BCE＝2∠BCE，∴∠BEC＝∠BLE，∴BL＝EB，∵AE＝2EB，∴CE＝2EB＝2BL＝2CL，∴CL+EL＝2CL，∴EL＝CL，∴EL＝BL＝EB，∴△BEL是等边三角形，∴∠BLE＝∠EBL＝60°，∴∠LBC＝∠BCE=12∠∴∠ABC＝∠EBL+∠LBC＝90°．（2）CDDB的值是2【解答】（1）证明：如图1，作BC的垂直平分线交CE于点L，连接BL，∵∠BAC＝∠ACE＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BAC+∠ACE＝2∠ACE＝2∠BCE，AE＝CE，∵BL＝CL，∴∠LBC＝∠BCE，∴∠BLE＝∠LBC+∠BCE＝2∠BCE，∴∠BEC＝∠BLE，∴BL＝EB，∵AE＝2EB，∴CE＝2EB＝2BL＝2CL，∴CL+EL＝2CL，∴EL＝CL，∴EL＝BL＝EB，∴△BEL是等边三角形，∴∠BLE＝∠EBL＝60°，∴∠LBC＝∠BCE=12∠∴∠ABC＝∠EBL+∠LBC＝90°．（2）解：如图2，作EH∥BC交AD于点H，则∠DCF＝∠HEF，在△DCF和△HEF中，∠DCF=∠HEFCF=EF∴△DCF≌△HEF（ASA），∴CD＝EH，∵AE＝2EB，∴AB＝2EB+EB＝3EB，∵EH∥BD，∴△AEH∽△ABD，∴EHDB∴CD＝EH=23∴CDDB∴CDDB的值是220．【答案】（1）k＝±3b；（2）k＝3，b＝±3．【解答】解：（1）把y＝k（x+2）代入x24+整理得：（b2+k2）x2+4k2x+4k2﹣4b2＝0，∴x1x2=4k2-4b2b2∵x1x2＝2，∴4k整理得：k2＝3b2，∴k＝±3b；（2）∵y＝k（x+2），∴y1+y2＝k（x1+2）+k（x2+2）＝k（x1+x2）+4k，∵x1+x2=-4k2b2+k∴k×（﹣3）+4k＝3，∴解得k＝3，∴3b2＝32，∴b＝±3．21．【答案】证明：（1）如图，画出三角形ABC的外接圆，延长AI交圆与点D，交BC与点E，连接CI，∵O为外心，I为内心，∴∠BAI＝∠CAI，∠ACI＝∠BCI，∴OA＝OB＝OD，∵OI⊥AI，∴OI垂直平分AD，AD＝2DI，∵AE是角平分线，利用△ABE与△ACE面积比可以得出ABAC=BECE，∴ABBE=ACCE，BD=CD，∴∠BCD＝∠CAI，∴∠DIC＝∠DCI，∴CD＝DI，∴AD＝2DC又∴ABAD=BECD，即ABBE=ADCD=2，∴AB＝2BE，同时得到AC＝2CE，∴AB（2）如图，内切圆的半径为r，设BC＝a，∠BAC＝α，∴三角形ABC的面积为：12（AB+AC+BC）r=32ar，又三角形ABC的面积为：12AB•AC•sinα，∵△∴直径是2R，∵在⊙O中，sinα=a2R，∴12AB•AC•a2R=32【解答】证明：（1）如图，画出三角形ABC的外接圆，延长AI交圆与点D，交BC与点E，连接CI，∵O为外心，I为内心，∴∠BAI＝∠CAI，∠ACI＝∠BCI，∴OA＝OB＝OD，∵OI⊥AI，∴OI垂直平分AD，AD＝2DI，∵AE是角平分线，利用△ABE与△ACE面积比可以得出ABAC∴ABBEBD=CD，∠BCD＝∠∴∠DIC＝∠DCI，∴CD＝DI，∴AD＝2DC，AC=∴∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴ABAD=BE∴AB＝2BE，同时得到AC＝2CE，∴AB+AC＝2BE+2CE＝2BC；（2）如图，内切圆的半径为r，设BC＝a，∠BAC＝α，∴三角