2026届上海建平中学高二上数学期末综合测试模拟试题含解析

2026届上海建平中学高二上数学期末综合测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知下列四个命题，其中正确的是（）A. B.C. D.2．在等差数列中，，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n=（）A.2021 B.2022C.4041 D.40423．关于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A.如果，则，，成等差数列B.如果，则，，成等比数列C.如果，则，，成等差数列D.如果，则，，成等差数列4．设a，b，c非零实数，且，则（）A. B.C. D.5．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.6．已知空间向量，，且，则的值为（）A. B.C. D.7．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，.则使得的值为（）A. B.C. D.8．已知向量与平行，则（）A. B.C. D.9．设是定义在R上的函数，其导函数为，满足，若，则（）A. B.C. D.a，b的大小无法判断10．在等比数列中，，且，则t＝（）A.-2 B.－1C.1 D.211．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（）A. B.C. D.12．已知命题“”为真命题，“”为真命题，则（）A.为假命题，为真命题 B.为真命题，为真命题C.为真命题，为假命题 D.为假命题，为假命题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．“第七届全国画院美术作品展”于2021年12月2日至2022年2月20日在郑州美术馆展出.已知某油画作品高2米，宽6米，画的底部离地有2.7米（如图所示）.有一身高为1.8米的游客从正面观赏它（该游客头顶E到眼睛C的距离为10），设该游客离墙距离CD为x米，视角为.为使观赏视角最大，x应为___________米.14．已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.15．已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________.16．若圆C：与圆D2的公共弦长为，则圆D的半径为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线C:（1）若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标；（2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，求证：直线l过定点18．（12分）已知椭圆的离心率为，以为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点和平面内一点，过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，，试求，满足的关系式.19．（12分）已知数列的前n项和为，且满足（1）证明数列是等比数列；（2）若数列满足，证明数列的前n项和20．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2（1）求椭圆的方程；（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，求当的面积取得最大值时的值21．（12分）已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（）（1）求圆C的方程；（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线的距离的最小值；22．（10分）已知命题p：方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程无实根.若p或q为真，￢q为真，求实数m的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则即可求解判断.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B.2、C【解析】根据等差数列的性质易得，，再应用等差数列前n项和公式及等差中项、下标和的性质可得、，即可确定答案.【详解】因为是等差数列且，，所以，，.故选：C.3、B【解析】根据给定条件结合取特值、推理计算等方法逐一分析各个选项并判断即可作答.【详解】对于A，若，取，而，即，，不成等差数列，A不正确；对于B，若，则，即，，成等比数列，B正确；对于C，若，取，而，，，不成等差数列，C不正确；对于D，a，b，c是实数，若，显然都可以为负数或者0，此时a，b，c无对数，D不正确.故选：B4、C【解析】对于A、B、D：取特殊值否定结论；对于C：利用作差法证明.【详解】对于A：取符合已知条件，但是不成立.故A错误；对于B：取符合已知条件，但是，所以不成立.故B错误；对于C：因为，所以.故C正确；对于D：取符合已知条件，但是，所以不成立.故D错误；故选：C.5、B【解析】取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出【详解】如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，所以，平面的一个法向量为设AM与平面所成角为，向量与所成的角为，所以，即AM与平面所成角的正弦值为故选：B6、B【解析】根据向量垂直得，即可求出的值.【详解】.故选：B.7、B【解析】由，求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.【详解】数列的前项和满足，当时，；当时，，当时，适合上式，所以，则，所以.故选：B.8、D【解析】根据两向量平行可求得、的值，即可得出合适的选项.【详解】由已知，解得，，则.故选：D.9、A【解析】首先构造函数，再利用导数判断函数的单调性，即可判断选项.【详解】设，，所以函数在单调递增，即，所以，那么，即.故选：A10、A【解析】先求出，利用等比中项求出t.【详解】在等比数列中，，且，所以所以，即，解得：.当时，，不符合等比数列的定义，应舍去，故.故选：A.11、B【解析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出【详解】对A，，当时，，所以A错误；对B，，在上恒成立，所以B正确；对C，，，所以C错误；对D，，，因为，所以D错误故选：B12、A【解析】根据复合命题的真假表即可得出结果.【详解】若“”为真命题，则为假命题，又“”为真命题，则至少有一个真命题，所以为真命题，即为假命题，为真命题.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设，进而得到，，从而求出，再利用基本不等式即可求得答案.【详解】设，则，，所以，当且仅当时取“=”.所以该游客离墙距离为米时，观赏视角最大.故答案为：.14、【解析】当时，利用及求得函数的解析式.【详解】当时，，由于函数是奇函数，故.【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性以及轴一侧的解析式，求另一侧的解析式，属于基础题.15、【解析】根据的中点是圆心，是半径，即可写出圆的标准方程.【详解】因为和，故可得中点为，又，故所求圆的半径为，则所求圆的标准方程是：.故答案为：.16、【解析】首先根据圆与圆的位置关系得到公共弦方程，再根据弦长求解即可.【详解】根据得公共弦方程为：.因为公共弦长为，所以直线过圆的圆心.所以，解得.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解析】（1）由抛物线的定义，可得点的坐标；（2）可设直线的方程为，，，，与抛物线联立，消，利用韦达定理求得，，再根据，可得，从而可求得参数的关系，即可得出结论.【小问1详解】解：设，，由抛物线的定义可知，即，解得，将代入方程，得，即的坐标为；【小问2详解】证明：由题意知直线不能与轴平行，可设直线的方程为，与抛物线联立得，消去得，设，，，则，，由，可得，即，即，即，又，解得，所以直线方程为，当时，，所以直线过定点18、（1）；（2）.【解析】（1）根据直线与圆相切可得，再结合离心率及间的关系可得的值，进而得到椭圆的方程；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况考虑，分别求出点的坐标后再求出的值，进而得到，最后根据斜率公式可得所求的关系式【详解】（1）因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离，即所以，又由题意得所以，所以椭圆的标准方程为（2）①当直线的斜率不存在时，可得直线方程为，由，解得或，不妨设，，所以，又，所以，所以，整理得所以满足的关系式为.②当直线的斜率存在时，设直线，由消去并整理得，设点，则有，所以.所以，所以，整理得综上可得满足的关系式为【点睛】（1）判断直线与椭圆的位置关系时，一般把二者方程联立得到方程组，判断方程组解的个数，方程组有几个解，直线与椭圆就有几个公共点，方程组的解对应公共点的坐标（2）对于直线与椭圆位置关系的题目，注意设而不求和整体代入方法的运用．解题步骤为：①设直线与椭圆的交点为；②联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x或y的一元二次方程；③利用根与系数的关系设而不求；④利用题干中的条件转化为，或，，进而求解.19、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）可根据已知的与的递推关系，利用求解出数列的首项，然后当时，递推做差，利用消掉，即可得到与之间的关系，从而完成证明；（2）利用第（1）问求解出的数列的通项公式，带入到中，再使用错位相减法进行求和，根据最后计算的结果与比较即可完成证明.【小问1详解】由题意得，当时，，∴，当时，，∴，∵，∴，于是有，故数列是以3为首项，3为公比的等比数列.得证.【小问2详解】由（1）可知，∴，，①，②，②−①得：，∴，∵，故，∴得证.20、（1）；（2）.【解析】（1）由短轴长得，由离心率处也的关系，从而可求得，得椭圆方程；（2）设，，直线的方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，由弦长公式得弦长，求出原点到直线的距离，得出三角形面积为的函数，用换元法，基本不等式求得最大值，得值【详解】解：（1）由题意得，，所以，，椭圆的方程为（2）直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得由题意，，设，则，弦长，点到直线的距离，所以的面积，令，则，当且仅当时取等号．所以，对应的，可解得，满足题意21、（1）（2）【解析】（1）由圆C的圆心在坐标原点，且过点，求得圆的半径，利用圆的标准方程，即可求解；（2）由点到直线的距离公式，求得圆心到直线l的距离为，进而得到点P到直线的距离的最小值为，得出答案.【详解】（1）由题意，圆C的圆心在坐标原点，且过点，所以圆C的半径为，所以圆C的方程为.（2）由题意，圆心到直线l的距离为，所以P到直线的距离的最小值为.【点睛】本题主要考查了圆标准方程的