2026复变函数解析延拓技巧试卷及答案

2026复变函数解析延拓技巧试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026复变函数解析延拓技巧试卷考核对象：数学专业本科二年级学生题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-案例分析（3题，每题6分）总分18分-论述题（2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.解析函数的导数仍然是解析函数。2.如果函数在区域D内解析且不为常数，则其解析延拓唯一。3.解析延拓过程中，两个解析函数的公共解析区域越大，延拓的可能性越高。4.罗朗级数展开式的收敛半径等于其中心点至奇点的距离。5.解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程。6.解析延拓可以通过将函数定义在更大区域来实现，但无法改变函数的本质性质。7.如果函数在单连通区域内解析，则其积分与路径无关。8.解析延拓后的函数在延拓区域内的性质与原函数完全相同。9.罗朗级数展开式中的负幂项表示函数在奇点附近的渐近行为。10.解析延拓过程中，函数的解析性可能被破坏。二、单选题（每题2分，共20分）1.下列哪个函数在复平面上处处解析？A.\(f(z)=\frac{1}{z}\)B.\(f(z)=\sqrt{z}\)（分支割线未指定）C.\(f(z)=\sinz\)D.\(f(z)=\lnz\)（分支割线未指定）2.函数\(f(z)=\frac{z^2-1}{z-1}\)在\(z=1\)处的性质是？A.可去奇点B.极点C.本性奇点D.解析点3.解析函数\(f(z)\)在\(z_0\)处的泰勒级数展开式收敛于？A.\(z_0\)处的值B.\(z_0\)处的导数值C.\(z_0\)处的解析延拓D.\(z_0\)处的罗朗级数4.函数\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)和\(z=1\)处的奇点类型分别是？A.可去奇点，极点B.极点，可去奇点C.本性奇点，本性奇点D.极点，极点5.解析延拓的柯西积分定理要求区域满足？A.多连通B.单连通C.闭区域D.开区域6.罗朗级数\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_nz^n\)的收敛域是？A.\(|z|<R\)B.\(|z|>R\)C.\(R_1<|z|<R_2\)D.\(|z|=R\)7.解析函数\(f(z)\)的虚部\(v(x,y)\)满足的偏微分方程是？A.\(\frac{\partialu}{\partialx}=\frac{\partialv}{\partialy}\)B.\(\frac{\partialu}{\partialy}=-\frac{\partialv}{\partialx}\)C.\(\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialv}{\partialy}=0\)D.\(\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialv}{\partialx}=0\)8.解析延拓的保角性要求函数满足？A.单叶性B.对称性C.周期性D.可微性9.函数\(f(z)=e^z\)在复平面上的解析延拓是？A.\(f(z)=e^{-z}\)B.\(f(z)=z^2\)C.\(f(z)=\lnz\)D.\(f(z)=e^z\)（自身）10.解析函数\(f(z)\)的积分\(\int_{|z|=1}f(z)\,dz\)的值取决于？A.\(f(z)\)在\(|z|=1\)内的奇点B.\(f(z)\)在\(|z|=1\)上的值C.\(f(z)\)的导数D.\(f(z)\)的实部三、多选题（每题2分，共20分）1.解析函数的下列性质哪些正确？A.解析函数的导数仍解析B.解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程C.解析函数的积分与路径无关D.解析函数的泰勒级数处处收敛2.解析延拓的常见方法包括？A.通过边界条件延拓B.通过函数关系式延拓C.通过罗朗级数延拓D.通过积分公式延拓3.罗朗级数\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_nz^n\)的收敛域可能是？A.\(|z|<R\)B.\(|z|>R\)C.\(R_1<|z|<R_2\)D.\(|z|=R\)4.解析函数的下列性质哪些正确？A.解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程B.解析函数的积分与路径无关C.解析函数的泰勒级数处处收敛D.解析函数的导数仍解析5.解析延拓的柯西积分公式在延拓区域的应用条件是？A.延拓区域为单连通B.延拓区域包含被积函数的奇点C.延拓区域为多连通D.延拓区域边界封闭6.罗朗级数\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_nz^n\)的收敛域可能是？A.\(|z|<R\)B.\(|z|>R\)C.\(R_1<|z|<R_2\)D.\(|z|=R\)7.解析函数的下列性质哪些正确？A.解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程B.解析函数的积分与路径无关C.解析函数的泰勒级数处处收敛D.解析函数的导数仍解析8.解析延拓的常见方法包括？A.通过边界条件延拓B.通过函数关系式延拓C.通过罗朗级数延拓D.通过积分公式延拓9.罗朗级数\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_nz^n\)的收敛域可能是？A.\(|z|<R\)B.\(|z|>R\)C.\(R_1<|z|<R_2\)D.\(|z|=R\)10.解析函数的下列性质哪些正确？A.解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程B.解析函数的积分与路径无关C.解析函数的泰勒级数处处收敛D.解析函数的导数仍解析四、案例分析（每题6分，共18分）1.设函数\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在区域\(|z|<1\)内解析，试通过解析延拓将其延拓到区域\(1<|z|<2\)。2.函数\(f(z)=\frac{1}{z^2+1}\)在\(z=i\)处有极点，试求其在\(|z|>2\)内的解析延拓。3.设函数\(f(z)=\lnz\)在\(z=1\)处展开为泰勒级数，试通过解析延拓将其延拓到\(|z|>1\)区域。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述解析延拓的条件和意义，并举例说明解析延拓的应用场景。2.详细解释罗朗级数的收敛域及其物理意义，并说明如何通过罗朗级数分析函数的奇点性质。---标准答案及解析一、判断题1.√解析函数的导数仍解析，这是解析函数的基本性质。2.√解析函数的解析延拓唯一性由柯西积分定理保证。3.√公共解析区域越大，延拓的可能性越高，因为更多条件可用于确定函数关系。4.√罗朗级数的收敛半径等于中心点至奇点的距离。5.√柯西-黎曼方程是解析函数的必要条件。6.√解析延拓不改变函数的本质性质，仅扩展定义域。7.√单连通区域内解析函数的积分与路径无关。8.√解析延拓后的函数在延拓区域内的性质与原函数相同。9.√负幂项表示函数在奇点附近的渐近行为。10.×解析延拓过程中，函数的解析性不会被破坏。二、单选题1.C\(\sinz\)在复平面上处处解析。2.A\(z=1\)处为可去奇点，因为\(f(z)=z+1\)在\(z=1\)处解析。3.A泰勒级数收敛于\(z_0\)处的值。4.B\(z=0\)处为极点，\(z=1\)处为可去奇点。5.B柯西积分定理要求区域单连通。6.C罗朗级数的收敛域为\(R_1<|z|<R_2\)。7.A柯西-黎曼方程为\(\frac{\partialu}{\partialx}=\frac{\partialv}{\partialy}\)。8.A解析延拓的保角性要求函数单叶。9.D\(e^z\)的解析延拓是自身。10.A积分值取决于\(f(z)\)在\(|z|=1\)内的奇点。三、多选题1.ABC解析函数的导数仍解析，实部和虚部满足柯西-黎曼方程，积分与路径无关。2.ABC解析延拓可通过边界条件、函数关系式、罗朗级数实现。3.C\(R_1<|z|<R_2\)是罗朗级数的典型收敛域。4.ABC解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程，积分与路径无关，泰勒级数处处收敛。5.AD柯西积分公式要求单连通区域和封闭边界。6.C\(R_1<|z|<R_2\)是罗朗级数的典型收敛域。7.ABC解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程，积分与路径无关，泰勒级数处处收敛。8.ABC解析延拓可通过边界条件、函数关系式、罗朗级数实现。9.C\(R_1<|z|<R_2\)是罗朗级数的典型收敛域。10.ABC解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程，积分与路径无关，泰勒级数处处收敛。四、案例分析1.解析延拓过程：在\(|z|<1\)内，\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}=\frac{1}{z}-\frac{1}{z-1}\)。在\(|z|>1\)内，\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z}\)。延拓后的函数在\(1<|z|<2\)内仍解析。2.解析延拓过程：在\(|z|>2\)内，\(f(z)=\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{z^2}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{z^2}}\)。展开为罗朗级数：\(f(z)=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z^4}+\cdots\)。3.解析延拓过程：在\(|z|>1\)内，\(f(z)=\lnz=\ln|z|+i\argz\)。延拓后的函数在\(|z|>1\)内仍解析。五、论述