2026复变函数理论应用考核试卷及答案

2026复变函数理论应用考核试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分2026复变函数理论应用考核试卷考核对象：数学专业本科三年级学生题型分值分布：-单选题（20分）-填空题（20分）-判断题（20分）-简答题（12分）-应用题（18分）总分：100分一、单选题（每题2分，共10题，总分20分）1.函数\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)处的留数是（）A.1B.-1C.0D.22.函数\(f(z)=\sinz\)在\(z=0\)处的泰勒级数展开式中，\(z^5\)的系数是（）A.0B.1C.\(-\frac{1}{120}\)D.\(\frac{1}{120}\)3.积分\(\int_{|z|=1}\frac{e^z}{z}\,dz\)的值是（）A.0B.\(2\pii\)C.\(\pii\)D.\(-\pii\)4.函数\(f(z)=\frac{z^2-1}{z(z-1)}\)在\(z=1\)处的留数是（）A.0B.1C.-1D.25.函数\(f(z)=\cosz\)在\(z=0\)处的泰勒级数展开式中，\(z^6\)的系数是（）A.0B.1C.\(-\frac{1}{720}\)D.\(\frac{1}{720}\)6.积分\(\int_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz\)的值是（）A.\(0\)B.\(\pii\)C.\(2\pii\)D.\(-\pii\)7.函数\(f(z)=\ln(1+z)\)在\(z=0\)处的泰勒级数展开式中，\(z^3\)的系数是（）A.0B.1C.\(-\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{3}\)8.积分\(\int_{|z|=1}\frac{z^2+1}{z}\,dz\)的值是（）A.0B.\(2\pii\)C.\(\pii\)D.\(-\pii\)9.函数\(f(z)=\sinhz\)在\(z=0\)处的泰勒级数展开式中，\(z^4\)的系数是（）A.0B.1C.\(-\frac{1}{24}\)D.\(\frac{1}{24}\)10.积分\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z(z+1)}\,dz\)的值是（）A.0B.\(2\pii\)C.\(\pii\)D.\(-\pii\)二、填空题（每题2分，共10题，总分20分）1.函数\(f(z)=\frac{1}{z^2+1}\)在\(z=i\)处的留数是_______。2.函数\(f(z)=e^z\)在\(z=0\)处的泰勒级数展开式中，\(z^3\)的系数是_______。3.积分\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,dz\)的值是_______。4.函数\(f(z)=\cosz\)在\(z=0\)处的泰勒级数展开式中，\(z^2\)的系数是_______。5.积分\(\int_{|z|=2}\frac{z}{z^2+1}\,dz\)的值是_______。6.函数\(f(z)=\ln(1-z)\)在\(z=0\)处的泰勒级数展开式中，\(z^2\)的系数是_______。7.积分\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2+z}\,dz\)的值是_______。8.函数\(f(z)=\sinz\)在\(z=0\)处的泰勒级数展开式中，\(z^4\)的系数是_______。9.积分\(\int_{|z|=1}\frac{z^2}{z+1}\,dz\)的值是_______。10.函数\(f(z)=\coshz\)在\(z=0\)处的泰勒级数展开式中，\(z^3\)的系数是_______。三、判断题（每题2分，共10题，总分20分）1.函数\(f(z)=\frac{1}{z}\)在\(z=0\)处有一个一阶极点。（）2.积分\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2}\,dz\)的值是\(2\pii\)。（）3.函数\(f(z)=\sinz\)在\(z=0\)处的泰勒级数展开式是唯一的。（）4.积分\(\int_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz\)的值是\(0\)。（）5.函数\(f(z)=\ln(1+z)\)在\(z=0\)处的泰勒级数展开式是\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{z^n}{n}\)。（）6.积分\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z(z+1)}\,dz\)的值是\(0\)。（）7.函数\(f(z)=\cosz\)在\(z=0\)处的泰勒级数展开式是\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\)。（）8.积分\(\int_{|z|=1}\frac{z^2}{z+1}\,dz\)的值是\(2\pii\)。（）9.函数\(f(z)=\sinhz\)在\(z=0\)处的泰勒级数展开式是\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\)。（）10.积分\(\int_{|z|=1}\frac{1}{z(z^2+1)}\,dz\)的值是\(0\)。（）四、简答题（每题4分，共3题，总分12分）1.解释什么是留数定理，并简述其应用。2.写出函数\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)和\(z=1\)处的留数。3.说明函数\(f(z)=\sinz\)在\(z=0\)处的泰勒级数展开式的收敛半径。五、应用题（每题9分，共2题，总分18分）1.计算积分\(\int_{|z|=1}\frac{z^2+1}{z(z-1)}\,dz\)，并说明计算过程。2.计算积分\(\int_{|z|=2}\frac{e^z}{z^2+1}\,dz\)，并说明计算过程。标准答案及解析---一、单选题答案1.B2.D3.B4.B5.D6.B7.D8.B9.D10.C解析：1.\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)处的留数是\(\lim_{z\to0}z\cdot\frac{1}{z(z-1)}=-1\)。2.\(\sinz\)的泰勒级数展开式是\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\)，\(z^5\)的系数是\(-\frac{1}{120}\)。3.\(\frac{e^z}{z}\)在\(z=0\)处有一个一阶极点，留数是\(e^0=1\)，积分值为\(2\pii\)。4.\(\frac{z^2-1}{z(z-1)}=\frac{z+1}{z}\)，在\(z=1\)处的留数是\(2\)。5.\(\cosz\)的泰勒级数展开式是\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\)，\(z^6\)的系数是\(\frac{1}{720}\)。6.\(\frac{1}{z^2+1}\)在\(z=i\)和\(z=-i\)处各有一个一阶极点，积分值为\(\pii\)。7.\(e^z\)的泰勒级数展开式是\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\)，\(z^3\)的系数是\(\frac{1}{6}\)。8.\(\frac{1}{z^2}\)在\(z=0\)处有一个二阶极点，积分值为\(0\)。9.\(\cosz\)的泰勒级数展开式是\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\)，\(z^2\)的系数是\(-\frac{1}{2}\)。10.\(\frac{z}{z^2+1}\)在\(z=i\)和\(z=-i\)处各有一个一阶极点，积分值为\(0\)。---二、填空题答案1.\(\frac{1}{2i}\)2.\(\frac{1}{6}\)3.\(0\)4.\(-\frac{1}{2}\)5.\(2\pii\)6.\(-2\)7.\(0\)8.\(\frac{1}{24}\)9.\(2\pii\)10.\(\frac{1}{6}\)解析：1.\(\frac{1}{z^2+1}\)在\(z=i\)处的留数是\(\lim_{z\toi}(z-i)\cdot\frac{1}{(z-i)(z+i)}=\frac{1}{2i}\)。2.\(e^z\)的泰勒级数展开式是\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\)，\(z^3\)的系数是\(\frac{1}{6}\)。3.\(\frac{1}{z^2}\)在\(z=0\)处有一个二阶极点，积分值为\(0\)。4.\(\cosz\)的泰勒级数展开式是\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\)，\(z^2\)的系数是\(-\frac{1}{2}\)。5.\(\frac{z}{z^2+1}\)在\(z=i\)和\(z=-i\)处各有一个一阶极点，积分值为\(2\pii\)。6.\(\ln(1-z)\)的泰勒级数展开式是\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{z^n}{n}\)，\(z^2\)的系数是\(-2\)。7.\(\frac{1}{z^2+z}\)在\(z=0\)处有一个二阶极点，积分值为\(0\)。8.\(\sinz\)的泰勒级数展开式是\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\)，\(z^4\)的系数是\(\frac{1}{24}\)。9.\(\frac{z^2}{z+1}\)在\(z=-1\)处有一个一阶极点，积分值为\(2\pii\)。10.\(\coshz\)的泰勒级数展开式是\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n)!}\)，\(z^3\)的系数是\(\frac{1}{6}\)。---三、判断题答案1.√2.×3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.×解析：1.\(\frac{1}{z}\)在\(z=0\)处有一个一阶极点。2.\(\frac{1}{z^2}\)在\(z=0\)处有一个二阶极点，积分值为\(0\)。3.\(\sinz\)的泰勒级数展开式是唯一的。4.\(\frac{1}{z^2+1}\)在\(z=i\)和\(z=-i\)处各有一个一阶极点，积分值为\(\pii\)。5.\(\ln(1+z)\)的泰勒级数展开式是\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{z^n}{n}\)。6.\(\frac{1}{z(z+1)}\)在\(z=0\)和\(z=-1\)处各有一个一阶极点，积分值为\(\pii\)。7.\(\cosz\)的泰勒级数展开式是\(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}\)。8.\(\frac{z^2}{z+1}\)在\(z=-1\)处有一个一阶极点，积分值为\(2\pii\)。9.\(\sinhz\)的泰勒级数展开式是\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\)。10.\(\frac{1}{z(z^2+1)}\)在\(z=0\)、\(z=i\)和\(z=-i\)处各有一个一阶极点，积分值为\(\pii\)。---四、简答题答案1.留数定理：留数定理是复变函数论中的一个重要定理，它指出如果\(f(z)\)在简单闭曲线\(\gamma\)上及其内部除有限个奇点外解析，那么积分\(\int_{\gamma}f(z)\,dz\)等于\(2\pii\)乘以\(f(z)\)在\(\gamma\)内部所有奇点的留数之和。留数定理的应用广泛，例如计算实积分、求解微分方程等。2.\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)处的留数是\(\lim_{z\to0}z\cdot\frac{1}{z(z-1)}=-1\)，在\(z=1\)处的留数是\(\lim_{z\to1}(z-1)\cdot\frac{1}{z(z-1)}=1\)。3.\(\sinz\)在\(z=0\)处的泰勒级数展开式的收敛半径是\(\infty\)，因为\(\sinz\)在整个复平面上解析。---五、应用题答案1.计算积分\(\int_{|z|=1}\frac{z^2+1}{z(z-1)}\,dz\)：\