2023-2024学年广东深圳北师大南山附属学校高二(上)期中考数学试题含答案

第1页/共5页2023-2024学年第一学期高二年级期中考试数学试卷A.πB.πC.πD.πA.2B.-3C.2或-3D.-2或-3 A.14B.C.5.若点P（1，-1）在圆C：x2+y2-x+y+m=0的外部，则实数m的取值范围是()6.已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA丄平面ABCD，PA=AB=1，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是()第2页/共5页7.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若B1F∥平面A1BE，则λ=()A.B.C.D.-2上，则3x-4y+4的取值范围为()A.9.下面四个结论正确的是()B.若空间四个点P,A,B,C则A,B,C三点共线.C.已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底(-3,x,9)，若x<，则,为钝角.A.直线l过定点−1,1B.当k=1时，l关于x轴的对称直线为x+D.直线l一定经过第四象限11.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是()第3页/共5页A.A1CB.C到平面EFG的距离为 C.过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是32D.平面EGF与平面BCC1B1夹角余弦值为12.在平面直角坐标系xOy中，圆C:x2+y2=1，点P为直线l:x-y-2=0上的动点，则()A.圆C上有且仅有两个点到直线l的距离为B.圆C与曲线：x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=9C.过点P作圆C的一条切线，切点为Q，上OPQ可以为60oD.过点P作圆C的两条切线，切点为M,N，则直线MN恒过定点三、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.已知直线l的方向向量为(2,m,1)，平面α的法向量为，且l//α,那么m=14.已知圆C：x2+y2-4x-2y+1=0，圆C的弦AB被点P(2,0)平分，则弦AB所在的直线方程是.________)是空间直角坐标系O-xyz内一点，则点P关于x轴的对称点Q的坐标为．若点P在平面xOy上的射影为M，则四面体O-PQM的体积为.16.已知点P(-3,0)在动直线mx+ny-(m+3n)=0上的投影为点M，若点N则iMNi的最大值第4页/共5页18.已知直线l过点P(4,1)且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B.（1）当△OAB面积为8时（O为坐标原点求直线l的方程；（2）求直线l在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线的方程.E，F分别是BC，PC的中点.（2）若PA=2，求二面角E-AF-C的余弦值.-3.（2）判断P，A，B，C四点是否共面，并说明理由.21.已知圆C:x2+y2-Dx-Ey-4=0关于直线y=x+1对称，且(4,2)在圆上.第5页/共5页（1）求圆C的标准方程；·（2）若直线l:(m+1)x-(2m+1)y-m-2=0与圆C交于点A，B，求VABC面积的最大值，并求此时直线l的方程.△PBC为等边三角形，点E是棱BC上的一动点.(Ⅰ)求证：CD丄平面PBD；(Ⅱ)求直线PE与平面PAD所成角的正弦值的最大值.第1页/共22页2023-2024学年第一学期高二年级期中考试数学试卷A.πB.πC.πD.π【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量求出线线角的余弦即可得解.而0≤θ≤,所以θ=.故选：CA.2B.3C.2或3D.2或3【答案】C【解析】【分析】依题意可得2×3—(m+1)m=0，求出m的值，再检验即可.故选：C向圆C作切线，切点为B，则AB=()第2页/共22页 A.14B.【答案】C【解析】【分析】以勾股定理即可求得线段AB的长.【详解】圆(x-1)2+(y+2)2=4的圆心C(1,-2)，半径r=2，又A(-2,-1)， i102-22=故选：C4.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，AB=a，AD=b【答案】A【解析】故选：A.5.若点P（1，-1）在圆C：x2+y2-x+y+m=0的外部，则实数m的取值范围是()【答案】C第3页/共22页【解析】·【分析】将P点代入圆可得m的不等式，结合圆的一般方程构成圆的条件，可得m的取值范围.【详解】解：若点P（1，-1）在圆C：x2+y2-x+y+m=0的外部，有1+111+m＞0，且由x2+y2-x+y+m=0构成圆的条件可知：(12)+124m＞0，可得：m＞0且m＜，即：0＜m<,故选C.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系及圆的一般方程，相对简单.6.已知四棱锥PABCD的底面为正方形，PA丄平面ABCD，PA=AB=1，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.所以第4页/共22页所以点E到直线PD的距离是故选：D.7.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且若B1F∥平面A1BE，则λ=()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求平面A1BE的法向量，根据线面平行可得n.B1F=0，运算求解即可.【详解】如图所示，以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可得第5页/共22页又因为，则，故选：C.2上，则3x4y+4的取值范围为()【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，问题转化为半圆上的点到定直线的距离的5倍，进而求出结果.44x2|3x4y+4|表示点(x,y)到直线3x4y+4=0距离的5倍，故选：B第6页/共22页9.下面四个结论正确的是()B.若空间四个点P,A,B,C，PC=4PA+4PB，则A,B,C三点共线.(-3,x,9)，若x<，则,为钝角.【答案】BC【解析】【分析】根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若非零空间向量,,满足丄,丄，不一定满足//，所以A不正确；又因为–与–B有公共点，所以A,B,C三点共线，所以B正确；所以,,可以作为一个空间基底，所以C正确；对于D中，若,为钝角，则.<0，且与不共线，当与不共线得x≠-3，所以当x<且x≠-3时，,为钝角，所以D错误.故选：BCA.直线l过定点−1,1B.当k=1时，l关于x轴的对称直线为x+C.点P(3,-1)到直线l的最大距离为2D.直线l一定经过第四象限第7页/共22页【答案】ABC【解析】【分析】化简直线方程y-1=k(x+1)，联立方程组，可判定A正确；由直线l:y=x+2，结合对称性和直线方程，可判定B正确；结合直线MP丄l时，点P(3,-1)到直线l的距离最大，可判定C正确；根据直线l不一定经过第四象限，可判定D错误.联立方程组解得所以直线l过定点−1,1，所以A正确；在直线l上取两点A(0,2),B(-2,0)，则点A(0,2)关于x轴对称的点A,(0,-2)，点B(−2,0)关于x轴对称的点B,(-2,0)，对于C，由A项知直线l过定点M(-1,1)，则当直线MP丄l时，点P(3,-1)到直线l的距离最大，对于D，直线l不一定经过第四象限，比如：当k=1时，直线l：y=x+2不经过第四象限，所以D错误.故选：ABC.11.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是()第8页/共22页A.A1CB.C到平面EFG的距离为 C.过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是3233D.平面EGF与平面BCC1B1夹角余弦值为3【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，对于A，用空间向量计算证明垂直即可判断；对于B，用空间向量求平面EFG对于D，用空间向量求平面的法向量再计算二面角的余弦值即可判断.【详解】以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，向量A1C为平面EFG的法向量，且所以C到平面EFG的距离为第9页/共22页作C1D1中点N，BB1的中点M，DD1的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，则正六边形EFMGNT为对应截面面积，正六边形边长为·,故选：ABD.A.圆C上有且仅有两个点到直线l的距离为C.过点P作圆C的一条切线，切点为Q，上OPQ可以为60oD.过点P作圆C的两条切线，切点为M,N，则直线MN恒过定点【答案】BD【解析】【分析】对A，求出圆心到直线的距离，将圆上点到直线的最短距离与比较即可；对B，转化为两圆外 切即可；对C，求出sin上OPQ最大值为，即上OPQ最大为45o；对D切点弦MN方程，不论x0如何变化，直线MN恒过定点.【详解】选项A，由题知，圆心(0,0)到直线的距离为圆的半径为1，第10页/共22页+42当oP最小时，sin上OPQ取最大值，上OPQ最大，过点O作OP,丄l，垂足为P,，此时oP最小，最小值为，即sin上OPQ最大值为，上OPQ最大为45。，不可能为60o，故C选项D，设点P(x0,y0)，切点M(x1,y1),N(x2,y2)，可得切线MP方程为x1x+y1y=1，由点P在切线上，得x1x0+y1y0=1，故点M(x1,y1),N(x2,y2)都在直线x0x+y0y=1上，即直线MN的方程为x0x+y0y=1，又由点P(x0,y0)在直线l:x-y-2=0上，则y0=x0-2，代入直线方程整理得(x+y)x0-2y-1=0，由解得即直线MN恒过定点，故D正确.故选：BD.第11页/共22页三、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.已知直线l的方向向量为(2,m,1)，平面α的法向量为，且l//α,那么m=【答案】-8【解析】【分析】根据题意，得到直线的方向向量与平面法向量互相垂直，结合向量的数量积列出方程，即可求解.【详解】由直线l的方向向量为(2,m,1)，平面α的法向量为，因为l//α,可得直线的方向向量与平面法向量互相垂直，所以2+m+2=0，故答案为：-814.已知圆C：x2+y2-4x-2y+1=0，圆C的弦AB被点P(2,0)平分，则弦AB所在的直线方程是.________【解析】得到kAB=0，由点斜式求解即可.【详解】因为圆C：x2+y2-4x-2y+1=0，所以化为标准方程为：(x-2)2+(y-1)2=4，所以圆心C(2,1).又圆C的弦AB被点P(2,0)平分，故AB丄PC，而直线PC斜率不存在，所以kAB=0，由于AB过点P(2,0)，故直线AB的方程为：y=0.第12页/共22页)是空间直角坐标系O-xyz为．若点P在平面xOy上的射影为内一点，则点P关于x轴的对称点Q的坐标M，则四面体O-PQM的体积为.【答案】①.（123）②.2【解析】【分析】由空间直角坐标系中的点的对称性质求解，利用棱锥的体积公式直接求解【详解】P(1,2,3)是空间直角坐标系O-xyz内一点，则点P关于x轴的对称点Q的坐标为（1，-23因为点P在平面xOy上的射影为M，所以M(1,2,0)，故答案为123216.已知点P(-3,0)在动直线mx+ny-(m+3n)=0上的投影为点M，若点N则MN的最大值【答案】##5.5【解析】【分析】化简直线为m(x-1)+n(y-3)=0，得到恒过定点M,(1,3)，根据题意，得到点M落在以PM,为直径的圆上，其中半径为结合MNmax=AN+r，即可求解.由方程组，解得x=1,y=3，可得直线恒过定点M,(1所以点M落在以PM,为直径的圆上，其中圆的半径为设PM,的中点为A，可得A(-1,)，第13页/共22页故答案为：.2【答案】证明见解析【解析】垂直，即线线垂直.由（1）－（2）得OA.OC-OC.OB=018.已知直线l过点P(4,1)且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B.第14页/共22页（1）当△OAB面积为8时（O为坐标原点求直线l的方程；（2）求直线l在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线的方程.【解析】【分析】（1）设直线方程y-1=k(x-4)，其中(k<0)，求出与坐标轴的交点，根据三角形面积求出k即可得解；（2）根据均值不等式求出截距和的最小值，求出取等号时的k即可得直线方程.【小问1详解】由题意可设直线l的方程为y-1=k(x-4)，其中(k<0)它与x轴、y轴正半轴分别交于点由题意得解得.故所求直线方程为x+4y-8=0.【小问2详解】由（1）知直线l在两坐标轴上的截距之和为当且仅当即时取等号，此时直线方程为x+2y-6=0.E，F分别是BC，PC的中点.第15页/共22页（2）若PA=2，求二面角E-AF-C的余弦值. 【答案】（1）证明见解析2）.【解析】【分析】（1）通过证明PA⊥AE和AE⊥AD，可证得AE⊥平面PAD，从而得证；（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一个法向量，平面AFC的一个法向量．通过空间向量夹角余弦公式求解二面角的余弦值.【详解】（1）证明：由四边形ABCD为菱形，上ABC=60。，可得VABC为正三角形，而PA面PAD，AD面PAD，且PA∩AD=A又PA面PAD，∴AE丄PD.（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F,0,0设平面AEF的法向量为第16页/共22页则y1取z1.5【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量4）将空间位置关系转化为向量关系5）根据定理结论求出相应的角和距离..（2）判断P，A，B，C四点是否共面，并说明理由.（2）P，A，B，C四点不共面，理由见解析【解析】第17页/共22页–A,–B–→,–l-1=2m-n22-3（2）根据共面向量定理，结合第（1）问验证系数和不等于1，不满足条件，得到四点不共面.【小问1详解】-3所以{2=m+n，方程组无解，所以{2=m+n，方程组无解，l-1=2m-n–A,–B–→,–可以构成空间的一组基底，所以，得-e2=a--c-a-c+a--c-e2=a--c-a-c+a--c【小问2详解】第18页/共22页21.已知圆C:x2+y2DxEy—4=0关于直线y=x+1对称，且(4,2)在圆上.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l:(m+1)x(2m+1)ym2=0与圆C交于点A，B，求VABC面积的最大值，并求此时直线l的方程.(x1)22（2xy2=0或7xy20=0.【解析】求得D,E的值，即可求解；时，VABC面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得m的值，即可求解.【小问1详解】(DE)(22,(DE)(22,【小问2详解】又由由（1）圆心为C(1,2)，可得PC=·i5，因为S△ABC=sinLACB，所以当LACB=90。时，VABC面积最大，第19页/共22页此时VABC为等腰直角三角形，VABC面积最大值