2023-2024学年广东深圳福田外国语高级中学高二(上)期中考数学试题含答案

第1页/共5页深圳市福田区外国语高级中学2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学学科（期中考）试题2.在空间直角坐标系中，点A(1,一3,5)关于平面yoz对称点的坐标为()5.圆x2+y2-2x-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是()A.相离B.内含C.相切D.相交第2页/共5页 A.·i2B.C.127.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于直线y=x-1对称，则圆C的方程是()A.2C.2228.若直线l:kx-y-2=0与曲线2=x-1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是A.B.C.D.9.(多选题)若向量a-＝(1，2，0)(－2，0，1)，则下列结论正确的是(10.已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，且短轴长为2，离心率为过焦点F1作y轴的垂线，交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是()22A.椭圆方程为+x2=1B.椭圆方程为+y2=111.已知直线l:(1-2m)x-(m-1)y+7m-4=0，圆C:x2+y2-2x-4y-20=0，则以下命题正确的第3页/共5页A.直线l恒过定点(-3,-1)B.直线l与圆C恒相交C.圆C被x轴截得的弦长为2D.圆C被直线l截得的弦最短时，m=12.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均相等，D，E分别是BC，CC1的中点，点P满足下列选项正确的是()C.当x=y时，上DEP为锐角D.当x-y=时，A1P//平面ADE三、填空题（每题s分）13.已知，是空间两向量，若，则与的夹角为.14.求过点P(4,-3)且与圆(x-1)2+(y-3)2=9相切的直线方程为.15.已知在一个二面角的棱上有两点A,B，线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱2216.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x-4)2+(y-3)2=1上任意一点，则|MN|-MF1的最小值为.（1）求sinB；（2）求c；（3）求△ABC的面积.18.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)（1）求△ABC外接圆的方程；（2）动点D在△ABC的外接圆上运动，点E坐标(7,4)，求DE中点M的轨迹第4页/共5页（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值.（1）求sin上ABC；21.如图所示的几何体P一ABCDE中，△ABP和△AEP均为以A为直角顶点的等腰直角三角形，（3）设N为线段PE上的动点，使得平面ABN//平面MCE，求线段AN的长. 22.已知椭圆的一个顶点为(3,0)，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为1的直线与椭圆C交于A,B两点，②求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）深圳市福田区外国语高级中学2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学学科（期中考）试题【答案】B【解析】【分析】根据直线的两点式方程求解即可.【详解】因为所求直线过点（1．25，3所以直线方程为，即x-4y+7=0.故选：B2.在空间直角坐标系中，点A(1,-3,5)关于平面yoz对称点的坐标为()A.(-1,-3,5)C.(-1,3,-5)D.(【答案】A【解析】【分析】利用空间点关于平面的对称求解.【详解】解：点A(1,-3,5)关于平面yoz对称点的坐标为(-1,-3,5)，故选：A.第2页/共18页【答案】D【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长.【详解】圆心为(一1,2)，圆心到已知直线的距离为故选：D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量垂直的坐标运算得到方程，解之即可求出结果.5.圆x2+y2-2x-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是()A.相离B.内含C.相切D.相交【答案】D【解析】【分析】求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距与半径之差和半径和的关系，可得两个圆相交.【详解】由于圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的圆心为（1，0半径等于2，而圆x2+y2﹣4x+2y+3＝0即（x﹣2）2+（y+1）2＝2，表示以（21）为圆心，半径等于·2的圆.故两个圆相交，故选D.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题.第3页/共18页 2A.2B.22C.1D.【答案】D【解析】【分析】用CD,CA,AB表示出GE, 【详解】因为E，F，G分别是AB,AD,DC的中点，四面体ABCD是正四面体，且棱长-2，所以2故选：D.A.2C.222【答案】A【解析】【分析】利用两点关于直线对称可求得圆心C的坐标，进而可得出圆C的方程.所以，解得即圆心C(2,一3)，第4页/共18页故选：A.8.若直线l:kx-y-2=0与曲线2=x-1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是A.B.【答案】D【解析】【分析】根据题意，化简曲线为(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1)，再由直线l恒过定点P(0,-2)，结合图象和圆心到直线的距离，列出方程，即可求解.=x-1，可得又由直线l:kx-y-2=0，可化为y=kx-2，直线l恒过定点P(0,-2)，作出曲线C与直线l的图象，如图所示，结合图象，可得A(1,0)，所以kPA=2，所以实数k的取值范围为(,2].故选：D.9.(多选题)若向量a-＝(1，2，0)(－2，0，1)，则下列结论正确的是(--2--＝－--2--第5页/共18页【答案】AD【解析】【分析】利用空间向量模的坐标表示以及向量夹角的坐标表示即可求解.由上知A正确，B不正确，D正确．C显然也不正确.故选：AD 10.已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线，交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是()22A.椭圆方程为+x2=1B.椭圆方程为+y2=13【答案】ACD【解析】【分析】由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及ΔPF2Q的周长判断得答案.【详解】由已知得，2b=2，b=1又a222如图：第6页/共18页故选：ACD.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.11.已知直线l:(1-2m)x-(m-1)y+7m-4=0，圆C:x2+y2-2x-4y-20=0，则以下命题正确的A.直线l恒过定点(-3,-1)B.直线l与圆C恒相交C.圆C被x轴截得的弦长为2D.圆C被直线l截得的弦最短时，【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件求出直线l经过的定点及圆C的圆心、半径，再求圆心到直线l的距离，由此判断直线与圆的位置关系，利用弦长公式求弦长即可判断B，C，D.【详解】依题意，直线l：(1-2m)x-(m-1)y+7m-4=0可化为(-2x-y+7)m+x+y-4=0，因为方程x2+y2-2x-4y-20=0可化为(x-1)2+(y-2)2=25，所以圆C的圆心C的坐标为，半径r=5即点P在圆C内，直线l与圆C恒相交，B正确；由于直线l过定点P(3,1)，圆心C(1,2)，则直线PC的斜率第7页/共18页当圆C被直线l截得的弦最短时，由圆的性质知，l丄PC，于是得解得，D错误.故选：BC.12.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均相等，D，E分别是BC，CC1的中点，点P满足下列选项正确的是()【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法逐项求解判断.【详解】建立如图所示空间直角坐标系：设棱长为2，则A，------------------------------------------------D.当xy=时，设平面ADE的一个法(xy)1=0，又A1P丈平面ADE，所以A1P//平面ADE，故正确；第8页/共18页故选：ABD三、填空题（每题s分）【答案】【解析】【分析】利用平方的方法化简已知条件，从而求得a-与的夹角.【详解】设a-与的夹角为θ,所以根据.cosθ,即cosθ=，故答案为：=9相切的直线方程为.【答案】x＝4或3x+4y＝0【解析】【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4即kx－y－4k－3＝0，由题意得解得此时直线方程为3x+4y＝0，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4此时圆心(1,3)到直线x＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.故答案为：x＝4或3x+4y＝0.15.已知在一个二面角的棱上有两点A,B，线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱【答案】90第9页/共18页【解析】设二面角的大小为θ,根据展开计算得到cosθ=0，得到答案.如图，设则二面角的大小为θ,故2222因此所求二面角的度数为90o.----2 22BD----2 22BD2216.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x4)2+(y3)2=1上任意一点，则|MN|MF1的最小值为. 【答案】325【解析】（当且仅当M、N、E共线时取等号最后根据|ME|+MF2≥EF2求得|MN|—MF1的最小值.【详解】解：如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x—4)2+(y—3)2=1上任意一点，第10页/共18页则MF1=4,MN≥ME1（当且仅当M、N、E共线时取等号当且仅当M、N、E、F2共线时等号成立. ∴|MN|MF1的最小值为325. 故答案为：325.【点睛】本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，在平时备考中要注意多总结.（1）求sinB；（2）求c；（3）求△ABC的面积. 【解析】【分析】（1）由正弦定理求解即可；（2）由余弦定理求解即可；（3）由三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】由正弦定理可得，即【小问2详解】。，由余弦定理可得：a222-2bccosA，即9=4+c2-2×2c. 【小问3详解】18.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)（1）求△ABC外接圆的方程；（2）动点D在△ABC的外接圆上运动，点E坐标(7,4)，求DE中点M的轨迹【解析】【分析】（1）由已知求得AB的垂直平分线的方程，BC的垂直平分线的方程，联立两直线方程解得圆心坐标，再根据两点的距离公式求得半径，由此可求得△ABC外接圆的方程；（2）设M(x,y),D(x0,y0)，由中点公式表示出再代入(x-2)2+(y-1)2=25得DE中点M的轨迹方程，可得DE中点M的轨迹.直平分线的方程为x=2；kBC==-7，BC的中点为，则BC的垂直平分线的方程为即x-7y+5=0；所以△ABC外接圆的方程为：(x-2)2+(y-1)2=25；第12页/共18页（2）设M(x,y),D(x0,y0)，由中点公式得则，代入2=25得DE中点M的轨迹方程为2=25，即所以DE中点M的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆.（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）DE与平面AD1E所成角的正弦值为.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线AC,D1E的方向向量，结合数量积的性质证明AC⊥D1E；（2）求直线DE的方向向量和平面AD1E的法向量，求两向量的夹角可得DE与平面AD1E所成角的正弦值.【小问1详解】x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，第13页/共18页=2，E为BB1中点.所以【小问2详解】设直线DE与平面AD1E所成角为θ,则 所以DE与平面AD1E所成角的正弦值为.（1）求sin上ABC；第14页/共18页 ）； 【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=，然后由余弦定理可得cosB=最后由同角三角函数基本关系可得sinB=(2)由题意可得则S△ACD=S△ABC，据此即可求得△ADC的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：22-2bccosA。【小问2详解】由三角形面积公式可得21.如图所示的几何体P-ABCDE中，△ABP和△AEP均为以A为直角顶点的等腰直角三角形，第15页/共18页（2）求二面角M-CE-D的大小；（3）设N为线段PE上的动点，使得平面ABN//平面MCE，求线段AN的长.【解析】【分析】（1）根据题意，得出PA丄AB，PA丄AE，根据线面垂直的判定定理得出PA丄平面ABCDE，则AB丄AE，建立以A为原点，AB，AE，AP为x，y，z轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明（2）求出平面MEC的法向量和平面DEC的一个法向量，利用向量法能求出二面角M-CE-D的大小；（3）设=λ，[λ∈[0，1])，求出N(0，2λ,2-2λ)，令丄，则.=0，解得N为PE的中点，利用向量法能求出线段AN的长.【详解】解：依题意得，△ABP和△AEP均为以A为直角顶点的等腰直角三角形，又AB丄AE，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图第16页/共18页→→→(x,y,z)ln.M