2023-2024学年广东深圳南山为明学校高二(上)期中考数学试题含答案

第1页/共6页深圳市南山为明学校2023—2024学年第一学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.1.已知直线l与x轴的夹角为30。，则直线l的斜率为()A.B.C.或-D.或-2.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m的值()A.-1B.1C.-2D.23.圆的一条直径的两个端点是(2,0),(2,-2)，则此圆的方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C(x+2)2+(y-1)2=1D.(x+2)2+(y+1)2=1.4.如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则第2页/共6页5.设=2-+，=+3-2，=-2+-3，=3+2+5，(其中、、是两两垂直的单位向量)，若=λ1+μ+o，则实数λ、μA.1，-2，-3B.-2，1，-3D.-1，2，36.已知空间直角坐标系O-xyz中有一点A(-1,-1,2)，点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点，则A,B两点的最短距离是()7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别为上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，则点D到平面AEF的距离为()A.B.C.D.8.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上运动，则△ABP面积第3页/共6页 A.6要求，全部选对的得5分，部分选对的得2A.圆心为(1,2)B.半径为2 C.圆C与直线3x+4y+5=0相离D.圆C被直线x=0所截弦长为23(2,4,a)是平面α的一个法向量，则下列说法正确的A.B.D.则下列说法正确的有()A.直线l过定点(2,3)B.当|AB|取得最大值时，m=1C.当上ACB最小时，其余弦值为4D.AB.AC的最大值为2414.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A12则直线l关于点A对称的直线的方程为.15.若过点P(m,n)的直线与圆x2+y2=10相切，则点P坐标应满足的关系为：.第4页/共6页16.已知点P（0，2圆O∶x2+y2=16上两点M(x1,y1)，N(x2,y2)满足=λ(λ∈R)，则2BCD18.根据下列条件，分别求相应圆的方程.（1）求异面直线EC1，DB1所成角的余弦值；（2）求平面EB1C1与平面FAD所成角的余弦值.20.直线xy1=0与圆x2+y2=13是否相交？如果相交，求出交点.（1）求圆C的标准方程；第5页/共6页（2）过点A(-3,3)作圆C的切线，求此切线的方程.22.如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA丄菱形ABCD所在的平面，上ABC=60O，点E、F分别是BC、PC的中点，M是线段PD上的点.（1）求证：平面AEM丄平面PAD； （2）当AB=AP时，是否存在点M，使直线EM与平面ABF所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.深圳市南山为明学校2023—2024学年第一学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.1.已知直线l与x轴的夹角为30。，则直线l的斜率为()A.B.D.或-【答案】C【解析】【分析】分直线l与x轴正方向和负方向的夹角为30。两种情况讨论，从而确定直线l的倾斜角，然后确定斜率.【详解】①当直线l与x轴正方向的夹角为30。时，此时倾斜角为30。，斜率为tan30。=②当直线l与x轴负方向的夹角为30。时，此时倾斜角为150。，斜率为tan150o=-综上，直线l的斜率为或-.故选：C.2.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m的值()第2页/共18页A.1B.1C.2D.2【答案】B【解析】【分析】根据两直线垂直的公式，即可计算结果.【详解】因为两条直线互相垂直，则1×2+(—2)m=0，得m=1.故选：B3.圆的一条直径的两个端点是(2,0),(2,—2)，则此圆的方程是()A.(x2)2+(y1)2=1B.【答案】B【解析】【分析】用中点坐标公式求出圆心，再求出直径，即可得到圆的方程.则半径为1，故选：B4.如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则A.ADB.AFC.A.ADB.AFC.FAD.EM【答案】B【解析】第3页/共18页【详解】解：“E是边BC的中点，:2AB+2AC=AE；故选：B.【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查学生的分析能力；属于基础题.两两垂直的单位向量)，若a4=λa1+μa2+oa3，则实数λ、μ【答案】B【解析】【分析】根据条件可得(2λ+μ—2o)+(—λ+3μ+o)+(λ—2μ—3o)=3+2+5，对应建立方程求解即可.【详解】=+)+μ(+32)+o(2+3)=3+2+5，即(2λ+μ—2o)+(λ+3μ+o)+(λ2μ3o)=3+2+5，故选：B6.已知空间直角坐标系O—xyz中有一点A(—1,—1,2)，点B是平面xOy内的直线A,B两点的最短距离是() A.B.C.3D.【答案】B第4页/共18页【解析】【分析】根据给定条件，设出点B的坐标，再利用空间两点间的距离公式结合二次函数最值求解作答.【详解】依题意，设点B(x,1-x,0)，而A(-1,-1,2)，所以A,B两点的最短距离是.故选：B7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别为上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，则点D到平面AEF的距离为()B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法得出点D到平面AEF的距离.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系第5页/共18页)则点D到平面AEF的距离为故选：A8.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上运动，则△ABP面积 A.6B.4C.2D.4-2·2【答案】C【解析】【分析】首先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，减去半径最小，再利用三角形的面积公式即可求解.由圆(x-2)2+y2=2得圆心M(2，0)，半径r=，设点P到直线AB的距离为h，点M到直线AB的距离为d，则d==2·、i2，所以h≥d-y故选：C.要求，全部选对的得5分，部分选对的得29.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0，下列说法正确的是()A.圆心为(1,2)B.半径为2 C.圆C与直线3x+4y+5=0相离D.圆C被直线x=0所截弦长为23【答案】BD【解析】【分析】把方程化为圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，可判定A错误，B正确；由点到直线的距离公第6页/共18页式，可判定C错误；根据圆的弦长公式，可判定D正确.【详解】将圆C:x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程得(x+1)2+(y-2)2=4，可知圆心C(-1,2)，半径R=2，故A错误，B正确；由圆心C(-1,2)到直线3x+4y+5=0的距离即R=d，直线与圆相切，故C错误；圆心C(-1,2)到直线x=0的距离为d1=1，-d22-12故选：BD.(-1,2,5)是直线l的一个方向向量，n-=(2,-4,a)是平面α的一个法向量，则下列说法正确的A.若l//α,则a=2【答案】AD【解析】【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的关系逐一判断即可.故选：ADA.B.C.D.【答案】BC【解析】第7页/共18页【分析】根据斜率和截距对选项进行分析，从而确定正确答案.:{，所以A选项错误.:{，所以B选项正确.:{，所以C选项正确.:{，所以D选项错误.故选：BC12.设动直线l:mxy2m+3=0(m∈R)交圆C:(x4)2+(y5则下列说法正确的有()A.直线l过定点(2,3)B.当|AB|取得最大值时，m=1C.当上ACB最小时，其余弦值为4D.AB.AC的最大值为24【答案】ABD【解析】【分析】A选项，将直线方程整理为m(x—2)—(y—3)=0，然后得到解方程即可得到定点；B选项，根据弦长最大是直径得到AB最大时经过圆心，然后列方程求解即可；C选项，根据几何知识得到当直线l与过点(4,5)和(2,3)的直线垂直时上ACB最小，然后利用勾股定理和余弦定理求余弦值即可；D选项，根据外心的结论得到然后求最值即可.即直线l过定点(2,3)，即选项A正确；对于选项B，当|AB|取得最大值时，直线l过点，即m=即选项B正确；对于选项C，当上ACB最小时，此时|AB|最小，当|AB|最小时，直线l与过点(4,5)和(2,3)的直线垂直，第8页/共18页选项C错误；故选：ABD. 【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算法则求出a+b 故答案为：-35.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算法则以及利用坐标求模，熟练掌握向量的坐标运算法则是解决此题的关键.14.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A12则直线l关于点A对称的直线的方程为.【答案】2x－3y－9＝0【解析】【分析】在l上任取两点，求出其关于点A的对称点坐标，再利用两点式即可求出直线l关于点A对称的直线的方程.【详解】法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M（1,1N（4,3则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上，易知M′35N′67由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二设P（x，y）为l′上任意一点，第9页/共18页则P（x，y）关于点A12）的对称点为P′2－x4－y∵P′在直线l上，∴22－x34－y1＝0，即2x－3y－9＝0.故答案为：2x－3y－9＝0.【点睛】本题考查直线关于点的对称直线，关键是对称点的求解，是基础题.15.若过点P(m,n)的直线与圆x2+y2=10相切，则点P坐标应满足的关系为：.【解析】【分析】过点P的直线与圆相切，只能点P在圆外或者圆上，从而确定P坐标应满足的关系.【详解】若过点P(m,n)的直线与圆x2+y2=10相切，则点P应该在圆外或者圆上，16.已知点P（0，2圆O∶x2+y2=16上两点M(x1,y1)，N(x2,y2)满足=λ(λ∈R)，则2【答案】48【解析】【分析】将原式化为，而分别表示M,N到直线l:3x+4y+25=0的距离，取MN的中点T，设T在直线l:3x+4y+25=0的射影为T1，则原式=10|TT1|，根据圆的性质可以知道T在以OP为直径的圆C上，其中C(0,1)，进一步即可得到答 案.【详解】由题意，M,P,N三点共线，设T为MN的中点，M,T,N在直线l:3x+4y+25=0的射影分第10页/共18页(55,22(55,||-1=，当C,T,共线，且T在C,之间时取“=”.2故答案为：48.【点睛】本题突破口有两点，一是将原式转化为距离的问题，这需要我们对距离公式非常熟悉；二是取MN的中点T，这就需要对圆的性质要敏感，提到弦立马要想到弦心距，进而问题才能得解. （2）0【解析】，利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得；（2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得.【小问1详解】【小问2详解】18.根据下列条件，分别求相应圆的方程.；2+(y1)2=6(x3)2+(y1)2=5或(x3)2+(y+1)2=5.【解析】【分析】（1）求出圆的半径r=AC=6，再代入标准方程即可求得结果；（2）易知圆心在线段AB的垂直平分线上，求出圆心坐标代入标准方程即可.【小问1详解】2+第12页/共18页【小问2详解】因为圆与x轴相交于A(1,0)、B(5,0)两点，故圆心在线段AB的垂直平分线上，)，所以线段AB的垂直平分线为x=3，不妨设圆心坐标为(3,a)，当圆心为(3,1)时，圆方程为(x-3)2+(y-1)2=5；当圆心为(3,-1)时，圆方程为(x-3)2+(y+1)2=5；因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5或(x-3)2+(y+1)2=5.19.(请用空间向量求解)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA上的点，且满足AE=2EA1，CF=2FC1.（1）求异面直线EC1，DB1所成角的余弦值；（2）求平面EB1C1与平面FAD所成角的余弦值. 【解析】【分析】（1）以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（2）利用向量法求解即可.【小问1详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，第13页/共18页所以设异面直线EC1，DB1所成角为， 所以异面直线EC1，DB1所成角的余弦值为；【小问2详解】设平面EB1C1的一个法向量为=(x1,y1,z1)，设平面FAD的一个法向量为=(x2,y2,z2)，则有z2所以所以面EB1C1与面FAD所成角的余弦值为.20.直线x-y-1=0与圆x2+y2=13是否相交？如果相交，求出交点.【答案】直线与圆相交，交点坐标为(-2,-3)，(3,2).【解析】第14页/共18页 【分析】根据点到直线的距离公式可得d=小于半径，可得相交，联立两方程可得交点坐标. 【详解】圆心坐标(0,0)，半径r=·13，则圆心到直线的距离所以直线与圆相交，联立解得即交点坐标为(-2,-3)，(3,2).21.已知圆C过点M(-3,2)，圆心C在直线x-y+3=0上，且圆C与x轴相切.（1）求圆C的标准方程；（2）过点A(-3,3)