2026年最值问题求解方法归纳含答案

2026年最值问题求解方法归纳含答案一、函数最值问题（共4题，每题5分）题目1（5分）：已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值分别是多少？请给出求解步骤。题目2（5分）：设函数g(x)=|x-1|+|x+2|，求g(x)在实数范围内的最小值及取值点。题目3（5分）：某工厂生产某种产品，成本函数为C(q)=0.1q²+5q+100（q为产量），求产量q在[0,100]范围内使平均成本最低的产量及最低平均成本。题目4（5分）：已知函数h(x)=sin(x)+cos(x)，求其在[0,2π]区间上的最大值和最小值。二、几何最值问题（共3题，每题6分）题目5（6分）：在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点B在直线x=4上运动，求△OAB（O为原点）周长的最小值。题目6（6分）：一个矩形内接于边长为10的正方形，求该矩形对角线长度的最小值。题目7（6分）：在半径为R的球内嵌入一个圆柱，求圆柱体积的最大值。三、实际应用最值问题（共5题，每题7分）题目8（7分）：某城市计划修建一条连接A、B两地的道路，A在河边，B在距河岸5km的C点，河岸直线距离BC=10km。若沿河岸修建道路成本为10元/km，沿陆地修建成本为15元/km，求道路修建成本最低的方案及最低成本。题目9（7分）：某商场销售某商品，进价为50元，市场调查发现销售量y与价格x满足关系y=100-2x（5≤x≤50）。求定价多少时，利润最大？最大利润是多少？题目10（7分）：某农场计划用100m长的篱笆围成一个矩形鸡舍，且鸡舍要靠墙（墙长足够）。求鸡舍面积的最大值。题目11（7分）：某企业投资一个项目，初始投资为100万元，年收益率为r，但需考虑连续5年内的风险因素，风险函数为f(r)=0.01r²-0.1r+5。求预期收益最大时的年收益率及最大预期收益。题目12（7分）：某城市自来水公司供水管道铺设成本为每公里80万元，若采用地下铺设，则成本为每公里120万元。现需从水厂D到居民区E铺设管道，D在河边，E在距河岸8km的F点，DF=12km。求总铺设成本最低的方案及最低成本。答案与解析一、函数最值问题题目1答案与解析：最大值：2，最小值：-5步骤：1.求导数f'(x)=3x²-6x2.令f'(x)=0得x=0或x=23.计算端点和驻点处的函数值：f(-1)=0,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=24.最大值为max{0,2,-2,2}=2，最小值为min{0,2,-2,2}=-5题目2答案与解析：最小值：3，取值点：x=-0.5步骤：1.分段函数：g(x)=-x-1(x<-2)3(-2≤x≤1)x+1(x>1)2.各段导数分别为：g'(x)=-1(x<-2),g'(x)=1(x>1)3.g(x)在x=-2和x=1处连续，计算得g(-2)=3,g(1)=34.最小值为3，取值点为x=-0.5（绝对值函数的对称中心）题目3答案与解析：最优产量：50，最低平均成本：7步骤：1.平均成本函数A(q)=C(q)/q=0.1q+5+100/q2.求导数A'(q)=0.1-100/q²3.令A'(q)=0得q=100√0.1=31.62（取整为50）4.验证二阶导A''(50)=0.02>0，为极小值5.最低平均成本A(50)=7题目4答案与解析：最大值：√2，最小值：-√2步骤：1.h(x)=√2sin(x+π/4)2.最大值为√2，当x=3π/4,7π/43.最小值为-√2，当x=π/4,5π/4二、几何最值问题题目5答案与解析：最小周长：√65步骤：1.AB=√(3²+4²)=52.周长L=OA+OB+AB≥√(OA²+OB²)+AB=√653.等号成立条件：AB垂直平分OA，B(4,3)题目6答案与解析：最小对角线：5√2/2步骤：1.设矩形长宽为a,b，a²+b²=1002.对角线d=√(a²+b²)=103.但实际求的是内接于正方形的最小对角线4.最小值出现在a=b=5√2/2时，d=5√2/2题目7答案与解析：最大体积：πR³/3步骤：1.圆柱高h=2√(R²-x²)2.体积V=πx²h=2πx²√(R²-x²)3.令t=x²，V=2πt√(R²-t)4.对t求导得t=R²/2时取最大值5.最大体积πR³/3三、实际应用最值问题题目8答案与解析：最低成本：220万元步骤：1.设河边点D距B为x，则BD=10-x2.成本C=10(10-x)+15√(x²+25)3.求导数C'(x)=0得x=6.44.最小成本220万元（计算过程略）题目9答案与解析：定价：35元，最大利润：450元步骤：1.利润P=(x-50)y=(x-50)(100-2x)2.P=-2x²+200x-50003.最大值在x=50/2=25时取到，但需考虑约束条件4.重新求导得最优定价35元，最大利润450元题目10答案与解析：最大面积：1250平方米步骤：1.设长宽分别为x,y，x+2y=1002.面积S=xy=y(100-2y)3.最大值在y=25时取到，S=1250题目11答案与解析：最优收益率：10%，最大预期收益：4.5步骤：1.预期收益E=100(1+r)-f(r)2.对r求导E'=1-0.02r+0.13.令E'=0得r=10%，E=4.5题目12答案与解析：最低成本：840万元步骤：1