2025年山东省春季高考数学试卷试题真题（含答案解析）

山东省2025年普通高校招生(春季)考试数学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01。卷一(选择题，共60分)一、选择题(本大题20个小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上)1.已知集合A={-1,0,1},集合B={-1,1},则A∩B=()A.{0} B.{1} C.{-1,1} D.{-1,0,1}2.已知复数Z=(m-1)+(m+1)i为纯虚数,则实数m的值是 ()A.2 B.1 C.0 D.-13.已知a∈R,则sinx>0是sin(π-x)>0的什么条()A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要4.已知点A(3,4),B(-1,2),则直线AB的斜率是 ()A.-2 B.2 C.-12 D.5.已知函数fx=axa0且a≠1),当x<0时，f(x)<1,则函数6.已知方程ax2+bx+c=0a0)A.(-2,5) B.5C.-∞-27.已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)=af(x)+4,若g(m)=8,则g(-m)= ()A.-8 B.8 C.-4 D.08.已知随机变量X的分布列：x0123P0.20.3a0.25则实数a的值是 ()A.0.15 B.0.25 C.0.35 D.0.459.已知圆x2+yA.-8 B.8C.-6D.610.某职业院校的6个社团“风采展演”每个社团一个节目，按照出场顺序，朗诵社团的节目第一位，武术社团的节目不排第二位，剪纸社团不排最后一位，则所有不同的排序顺序是 ()A.72 B.78 C.84 D.10811.如图所示，网格中的每个单元格都是边长为1的正方形，向量a，b的始点和终点都在网格的交点处，则∣a-()A.4 B.5 C.5 D12.与函数y=x是同一函数的是 ()A.y=x2x B.y13.现有《九章算术》中“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，求该女子第三天织布的尺数是多少()A.1 B.2 C.4 D.814.已知2-1x6A.-160x-3 B.15.已知函数y=siA.-4 B.-3 C.0 D.516.已知a,b,c,d∈R,定义一种运算则()A.2 B.-2 C.6 D.-617.甲乙各有三张只写一个数字的卡片，甲的卡片是2，4，6，乙的卡片是2，3，5，两人随机拿出一张比较大小，甲不小于乙的概率是 ()A.12B.35C.23D.18.已知函数y=2sinxco19.已知双曲线x2a2-y2b2=A.2 B.3 C.2D.320.如图所示，容积为V的密闭长方体容器中，所盛液体的体积是V/₂，现将容器以棱AB所在直线为旋转轴，容器旋转到任意一个位置后，将静止的液面抽象为平面α，该平面都可以把长方体分为上半部分和下半部分，则下列说法正确的是 ()A.上半部分的几何体有可能是三棱锥B.下半部分的几何体不可能是三棱锥C.直线AB与平面α始终平行D.下半部分几何体的正视图面积不变二、填空题(本大题5个小题，每小题4分，共20分。请将答案填在答题卡相应题号的横线上)21.已知向量a,b,|a22.在△ABC中,已知AB=2,B23.椭圆长轴长为10,点P在椭圆上,F为焦点,|PF|=4,M是PF的中点,则|OM|=24.工厂对自己的产品进行抽样检查，产品编号为001，002,003,…,980,用系统抽样法抽20个样品,若从第1个号码段中随机抽取的样本编号是017，则第19个号码段中抽取的样本编号是25.如图所示正方体ABCD-A1B1三、解答题(本大题5个小题，共40分)26.(本小题6分)已知函数f(x)在定义域(0+∞上是减函数。(1)若f(a+1)>f(2),求实数a的取值范围。(2)若函数g(x)=-f(x),判断g(x)在(0+∞上的单调性，并写出证明过程。27.(本小题8分)在等差数列{an中，Sn是该数列的前n项和，a(1)求数列{an}的通项公式。(2)若Sn>a28.(本小题8分)已知正三棱柱ABC-A(1)求证PQ⊥BC(2)求三棱锥P-ABC的体积29.(本小题8分)在平面直角坐标系xOy中，点A(2cosα,cosβ),B(sinβ,2cosα),且|∣AB(1)求sin(α+β)的值(2)角α+β的顶点为O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆x2+y30.(本小题10分)已知椭圆x2a2+y2b2=1a(1)求椭圆的标准方程(2)若过点A的直线交抛物线于点B，且以AB为直径的圆经过原点O，求直线AB的方程。山东省2025年普通高校招生(春季)考试数学试题参考答案一、选择题1. 步骤1：明确集合元素集合A={-1,0,1}集合B={-1,1}步骤2：寻找共同元素-1：在集合A和集合B中均存在。0：仅在集合A中存在，不在集合B中。1：在集合A和集合B中均存在。结论:共同元素为-1和1,因此A∩B={-1,1}关键知识点：复数为纯虚数的条件是其实部为0，且2.虚部不为0。解题思路：根据纯虚数的定义，令复数的实部等于0求出m的值，再验证虚部是否非零。复数Z=(m-1)+(m+1)i为纯虚数,需满足以下两个条件：1实部为0:m-1=0,解得m=1。2虚部不为0:将m=1代入虚部m+1,得1+1=2≠0,满足条件。因此，实数m的值为1。3.由sinπ-x=sinx可知，sinx4.C提示:∵fx=ax且x<0时,f(x)>1,∴0<a<1,16>1.又y=ax1二次项系数a>0，抛物线开口向上；2方程的两个根将数轴分成三个区间，开口方向决定各区间的函数值符号；553不等式ax2+b已知二次方程ax2+bx+cf(x)=a(x+2)(x-5)由于a>0，抛物线开口向上。图像分析：抛物线与x轴交于点(-2,0)和(5,0);开口向上时，抛物线在两根之间的区域(即x∈(-2，5))函数值为负，在两根之外的区域(即x<-2或x>5)函数值为正。因此，不等式ax2+bx∈(-2,5)1二次项系数a>0，抛物线开口向上；2方程的两个根将数轴分成三个区间，开口方向决定各区间的函数值符号；6.6.3不等式ax2+b已知二次方程(ax2+bx+c=0af(x)=a(x+2)(x-5)由于a>0，抛物线开口向上。图像分析：·抛物线与x轴交于点(-2,0)和(5,0);·开口向上时，抛物线在两根之间的区域(即x∈-25)因此，不等式ax2+bxx∈(-2,5)7. 由g(m)=a·f(m)+4=8得a·f(m)=4。根据奇函数性质f(-m)=-f(m),代入g(-m)得：g-m=a8. 8.B由分布列的性质得0.2+0.3+a+0.25-1解得a=0.25故选B.9. 1整理方程：将原方程x2+y2x2+2完成平方：对x部分x2+6x2+3代入方程：将配方后的结果代入原方程：x+3整理得：x+34关联半径：根据圆的标准方程x+32+yr²=4,因此:-πx+10=4解得：m=6步骤1：确定总排列数朗诵社团固定在第一位，剩余5个社团的排列总数为：10.10.5!=120步骤2：计算不符合条件的情况情况A：武术社团在第二位此时，第二位固定为武术社团，剩余4个社团在剩下的4个位置排列：∣A∣情况B：剪纸社团在第六位此时，第六位固定为剪纸社团，剩余4个社团在剩下的4个位置排列：|B|=4!=2411. 网格特征：单元格边长为1，坐标差均为整数。选项分析：选项中的17对应坐标差为(4，1)或(1，4)，需结合网格图验证。步骤1：确定向量坐标假设向量a从点(0,0)到点(4,0),则a=40;向量b从点(0,0)到点(0,1),则步骤2：计算向量差a-b步骤3：计算模长∣a-12.本题考查函数的定义域和对应法则.解：函数y=x的定义域为R，对应法则是函数值y与自变量x相同.选项A中函数的定义域为{x|x≠0},所以排除；选项B中函数的对应法则是函数值y是自变量x的绝对值，所以排除；选项C中函数的定义域为x∣x≥01正确建立等比数列模型，明确公比为2；2总和公式应用：Sn=a1qn13.3反推首项a后，计算第三天的值(即a⋅2设该女子第一天织布a尺，则后续每天织布量依次为：第二天：2a第三天：4a第四天：8a第五天:16a五天总和为：a+2a+4a+8a+16a=31a根据题意，总和为31尺：31a=31⇒a=1第三天织布量为：4a=4×1=4(尺)步骤1：确定二项式系数最大项的位置14.1514.15二项式展开式a+bn的二项式系数C(n，k)在n为偶数时，最大值出现在k=n2步骤2：计算通项表达式展开式的通项为：Tk+当k=3时:T4=步骤3：代入数值计算1组合数：C(6,3)=202系数计算：23=3符号与变量：-1x4合并结果：T4=步骤4：匹配选项计算结果为-160x考查要点：本题主要考查二次函数在给定区间上的最值以及三角函数的有界性。解题思路：将原函数转化为关于sinx的二次函数，利用二次函数的图像性质，在sinx的取值范围[-1，1]内求最小值。关键点：换元法:设t=sinx,则t∈[-1,1],原函数变为y=t二次函数顶点位置：抛物线开口向上，顶点横坐标t=2,但该点不在区间[-1，1]内，因此最小值在区间端点处取得。换元转化:设t=sinx,则t∈[-1,1],原函数变为y=t分析二次函数：抛物线开口向上(系数为1)，顶点横坐标为t=-顶点t=2不在区间[-1，1]内，因此最小值在区间端点t=-1或t=1处取得。计算端点值：当t=-1时,y=-1当t=1时,y=1比较得最小值为-3。16. 1明确行列式运算的公式：2正确对应题目中的元素值:a=2,b=4,c=1,d--1。3代入公式时注意符号处理，尤其是负数参与运算的情况。根据定义，行列式的计算公式为：将题目中的数值代入：·a=2,d=-1,因此a×d=2×(-1)=-2·b=4,c=1,因此b×c=4×1=4最后计算差值：-2-4=-617. 答案：C解析：总共有3×3=9种可能的组合，其中甲不小于乙的情况有6种(甲2vs乙2,甲4vs乙2/3,甲6vs乙2/3/5),概率为69=18.解析：原函数化简为sin2x-cos2x，进一步合并为2sin2x,建立渐近线斜率与b/a的关系，确定b=a-代入离心率公式，结合c=a2+b191根据渐近线方程确定b/a的值题目中渐近线方程为y=±3x,而双曲线标准渐近线方程为ba=2计算离心率e双曲线的离心率公式为：e=ca,其中将b=a3c=a2因此离心率为：e=c二、填空题21.答案本题考查向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题.由题意，利用平面向量的数量积运算法则，即可求解.解：由题意，可得→a-2b解得a⋅b故答案为：1.22. 根据余弦定理：AC2代入已知数据：AC2计算得：AC223. 1椭圆基本参数长轴长为10，故长半轴a=5。椭圆的标准方程为x225+y2b2利用椭圆定义求|PF'|根据椭圆定义，点P到两焦点的距离之和为2a=10。已知∣PF∣=∣PF3中点坐标公式设焦点F坐标为(c,0),点P坐标为(x,y),则中点M的坐标为：Mx+4计算|OM|OM|为原点到M的距离：∣OMx+c由∣PF'x+c代入得：∣OM24. 1 计算抽样间隔系统抽样的抽样间隔k等于总体数量N除以样本容量n，即k=Nn。题目中k=92确定第19个样本的编号系统抽样中，第i个样本的编号为起始编号加上(i-1)倍的抽样间隔。已知第一个样本编号为017，因此第19个样本编号为017+(19-1)×k。编号=017+(19-1)×49=017+18×49=017+882=89925∵点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB₁A₁的距离，∴当PF此时PE取得最小值为42+故答案为：25..三、解答题(1)**解不等式**由f(x)在(0+∞上单调递减，得fa+1>f2⟹a+1<2⇒a<1又a+1>0⇒26.(1)(-1,1)(2)增函数27.(1)设等差数列首项为a₁，公差为d。由a2=-10得：a13a1+d=5a1(2)前n项和Sn=nn-13,由答案 1an=2第(1)题设等差数列首项为a₁，公差为d根据a2=-1根据S3=5S3=3立得：3a1解方程组将方程(1)代入(2):3-10-30