第九章　常微分方程

微积分学教程（下册）主编谷银山张玉芬目录上册第八章级数第九章常微分方程第十章差分方程第七章多元函数微积分学

第六章定积分2第九章常微分方程§9.1微分方程的基本概念§9.2一阶微分方程§9.3二阶微分方程§9.4高阶微分方程§9.5综合与提高3§9.1微分方程的基本概念4§9.1微分方程的基本概念一、引

例5§9.1微分方程的基本概念一、引

例6§9.1微分方程的基本概念一、引

例7§9.1微分方程的基本概念二、基本概念8§9.1微分方程的基本概念二、基本概念9§9.1微分方程的基本概念二、基本概念由［例1］可以看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数（解微分方程），就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程使之成为恒等式，这个函数就是该方程的解.下面给出方程解的定义.10§9.1微分方程的基本概念二、基本概念11§9.1微分方程的基本概念二、基本概念12§9.1微分方程的基本概念二、基本概念以后为了方便起见，不把解和隐式解加以区别，统称为方程的解.在许多实际问题中需要得到满足某些条件的微分方程的解，这些附加条件可以确定通解中的任意常数，这些附加条件称为定解条件.一类重要的定解条件是规定微分方程中的未知函数及其若干阶导数在某一点处的取值，这类定解条件称为微分方程的初始条件（InitialConditions）.13§9.1微分方程的基本概念二、基本概念14§9.2一阶微分方程一、可分离变量方程15§9.2一阶微分方程一、可分离变量方程16§9.2一阶微分方程二、齐次方程17§9.2一阶微分方程二、齐次方程18§9.2一阶微分方程二、齐次方程19§9.2一阶微分方程三、一阶线性微分方程20§9.2一阶微分方程三、一阶线性微分方程下面讨论一阶线性非齐次微分方程（9.16）通解的求法.不难看出，方程（9.17）是方程（9.16）的特殊情形，设想它们的解之间应该有某种关系.显然，如果式（9.18）中的C恒为常数，它不可能是式（9.16）的解.如果我们将式（9.18）中的C变易为待定函数C(x)，假设它满足方程（9.16），会有什么样的结果呢？为此，令21§9.2一阶微分方程三、一阶线性微分方程这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法.常数变易法是求线性非齐次方程解的一种有效方法，此种方法也适合于二阶甚至更高阶线性非齐次方程的求解，在后面还会简略涉及此种方法在高阶线性非齐次方程中的应用.22§9.2一阶微分方程三、一阶线性微分方程23§9.2一阶微分方程三、一阶线性微分方程24§9.3二阶微分方程一、可降阶的二阶微分方程25§9.3二阶微分方程一、可降阶的二阶微分方程26§9.3二阶微分方程一、可降阶的二阶微分方程27§9.3二阶微分方程一、可降阶的二阶微分方程28§9.3二阶微分方程一、可降阶的二阶微分方程29§9.3二阶微分方程一、可降阶的二阶微分方程30§9.3二阶微分方程二、二阶线性微分方程解的结构称方程（9.24）为二阶线性齐次微分方程（SecondOrderLinearHomogeneousDifferentialEquation），简称为线性齐次方程（LinearHomogeneousDifferentialEquation）.如果f(x)不恒等于零，则称方程（9.23）为二阶线性非齐次微分方程（SecondOrderLinearInhomogeneousDifferentialEquation），简称为线性非齐次方程(LinearInhomogeneousDifferentialEquation).通常把方程（9.24）称为对应于方程（9.23）的齐次方程.31§9.3二阶微分方程二、二阶线性微分方程解的结构32§9.3二阶微分方程二、二阶线性微分方程解的结构33§9.3二阶微分方程二、二阶线性微分方程解的结构34§9.3二阶微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程35§9.3二阶微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程36§9.3二阶微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程37§9.3二阶微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程38§9.3二阶微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程39§9.3二阶微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程40§9.3二阶微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程41§9.3二阶微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程42§9.3二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法43§9.3二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法44§9.3二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法45§9.3二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法46§9.3二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法47§9.3二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法48§9.3二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法49§9.3二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法50§9.3二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法51§9.3二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法52§9.3二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法53§9.3二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法54§9.3二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法55§9.3二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法56§9.3二阶微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法57§9.4高阶微分方程*四、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法58§9.4高阶微分方程*一、线性方程解的结构定理59§9.4高阶微分方程*一、线性方程解的结构定理60§9.4高阶微分方程*二、n阶常系数线性齐次方程61§9.4高阶微分方程*二、n阶常系数线性齐次方程1.特征根是单特征根62§9.4高阶微分方程*二、n阶常系数线性齐次方程63§9.4高阶微分方程*二、n阶常系数线性齐次方程2.特征根有重根64§9.4高阶微分方程*二、n阶常系数线性齐次方程2.特征根有重根65§9.4高阶微分方程*三、n

阶常系数线性非齐次方程66§9.4高阶微分方程*三、n

阶常系数线性非齐次方程67§9.4高阶微分方程*三、n

阶常系数线性非齐次方程68§9.4高阶微分方程*三、n

阶常系数线性非齐次方程69§9.4高阶微分方程*三、n

阶常系数线性非齐次方程70§9.5综合与提高*一、化积分方程为微分方程的求解问题71§9.5综合与提高*一、化积分方程为微分方程的求解问题72§9.5综合与提高*二、二阶常系数线性非齐次方程求解问题73§9.5综合与提高*二、二阶常系数线性非齐次方程求解问题74§9.5综合与提高*二、二阶常系数线性非齐次方程求解问题75§9.5综合与提高*二、二阶常系数线性非齐次方程求解问题