数学+详细解析答案湖北武汉市武昌实验中学2025-2026学年2027届高二上学期十二月月考(12.29-12.30)

湖北省武昌实验中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线的焦点坐标是（

）A． B． C． D．2．在等差数列中，已知，，则（

）A．12 B．14 C．16 D．183．若方程表示圆，则m的取值范围是（）A． B．C． D．4．设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．5．已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（

）A． B．C． D．6．过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则（

）A． B． C． D．27．数列的前项和为，，则（

）A． B．0 C． D．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，与双曲线C的右支交于点P．若，，，为的角平分线，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知圆与圆，则（

）A．点在圆内 B．两圆相交，公共弦的方程为C．圆与圆有三条公切线 D．圆平分圆的周长10．已知，设两条直线，交点的轨迹为曲线，则下列说法正确的有（

）A．当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上B．当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上C．当时，曲线是椭圆的一部分D．当时，曲线是双曲线的一部分11．数列满足，，记，，则（

）A． B．是递减数列C． D．存在使得三、填空题12．在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为．13．设直线与抛物线相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点．若，则．14．已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为．四、解答题15．已知数列的前项和为，且满足，.(1)求证：数列是等差数列；(2)记，求数列的前项和.16．在平面直角坐标系中，已知动点E与定点的距离和E到定直线的距离之比为2，动点E的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)设点，过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之和．17．如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，平面平面PCD．(1)证明：；(2)若四边形ABCD为直角梯形，，，，，，球O为三棱锥的外接球．（i）求直线AO与平面PBC的夹角正弦值；（ii）求平面PBC截球O的截面面积．18．如图，坐标平面上的点也可表示为，其中，为x轴非负半轴绕原点O逆时针旋转到与重合的旋转角．将点P绕原点O逆时针旋转后得到，这个过程称之为旋转变换，由此可以得到旋转变换公式：．已知将焦点在x轴上的椭圆W绕原点O进行旋转变换可以得到曲线．(1)直接写出曲线的对称轴和椭圆W的方程（不用说明理由）；(2)已知曲线绕原点O逆时针旋转可以得到双曲线，曲线与椭圆W交于A，B，C，D四点．（i）求k的取值范围；（ii）求四边形的面积S（用k表示）及其取值范围．19．已知为抛物线的焦点，P，A，B是抛物线E上互异的任意三个点，且P点异于原点，直线PA，PB的斜率均存在．过点P作E的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H．(1)求E的方程；(2)证明：点H恒在一个以F为圆心的圆上，并求圆F的方程；(3)将圆F向右平移3个单位得到圆C，若，直线PA，PB被圆C截得的弦长都为，求点P的坐标．参考答案题号12345678910答案CDBCDBCDBDABD题号11答案ABD1．C【分析】写出抛物线的标准方程，进而得到焦点坐标.【详解】由题设，抛物线的标准方程为，则焦点坐标为.故选：C2．D【分析】由等差数列的性质即可求解.【详解】在等差数列中，已知，，则，所以.故选：D.3．B【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列不等式求解即可.【详解】因为表示圆，所以,解得或.故选：B.4．C【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解.【详解】由得，因此直线过定点，且斜率，如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意．

易得，．结合图形知或，解得或，即的取值范围是．故选：C5．D【分析】利用等差数列的定义依次验证选项即可.【详解】是等差数列，则需要满足，对于A，取等差数列，则,，,则，故A不正确；对于B，取等差数列，则,,，则，故B不正确；对于C，取等差数列，则,,,则，故C不正确；对于D,,,所以，，由于为等差数列，则，所以，故D正确；故选：D6．B【分析】通过设椭圆上两点坐标，运用点差法，结合中点坐标和直线斜率，推导出与的比值.【详解】设，，则，.两式相减得.因为是中点，所以，，且直线的斜率.将其代入上式，得，两边除以，得，整理得，故.故选：B7．C【分析】由题可知当为奇数时，.易得.根据的周期性，可求得.【详解】当为奇数时，.因为函数的最小正周期为.所以当为奇数时，.，.所以.所以.故选：C.8．D【分析】利用双曲线的定义及几何性质，结合已知条件，求出点坐标，进而求出相关线段长度，再利用角平分线定理求出．【详解】双曲线，设双曲线半焦距为，左、右焦点分别为，，，，是中点，，，是中点，是以为圆心，为半径的圆上的点，故，设点在双曲线渐近线上，联立得，点在双曲线渐近线上，且是中点，，故，解得，，的斜率，方程为，联立直线与双曲线方程，得，解得，在双曲线右支上，，，故点；，是的角平分线，，故D正确．故选：D．9．BD【分析】把两个圆的方程通过配方法变成圆的标准方程，结合点与圆的位置性质、两圆的位置关系逐一判断即可.【详解】圆，则圆的圆心坐标为，半径为.圆，则圆的圆心坐标为，半径为.A：因为，所以点在圆外，因此本选项说法不正确；B：,因为，所以两圆相交，，所以本选项说法正确；C：由上可知两圆相交，故公切线有两条，所以本选项说法不正确；D：因为，所以圆心在圆上，又因为，所以圆心在公共弦所在直线上，因此圆平分圆的周长，所以本选项说法正确，故选：BD10．ABD【分析】先联立两直线方程消去参数，得到曲线C的方程为，再根据椭圆和双曲线的标准方程的条件逐一分析选项即可.【详解】当时，联立直线与的方程，此时无解，当时，联立直线与的方程，可得，所以，两式平方相加可得,选项A：当时曲线C的方程，这是椭圆去掉时的点，且椭圆焦点在x轴上，所以该选项A正确；选项B：当时，曲线C的方程为，这是椭圆去掉时的点，且椭圆焦点在y轴上，所以该选项B正确；选项C：当时，假设,曲线C的方程为，表示圆去掉时的点，不表示椭圆的一部分，所以C选项错误；选项D：当时，曲线C的方程是焦点在x轴的双曲线的一部分，D选项正确；故选：ABD.11．ABD【分析】由递推式可得，则可得数列为等差数列，设出其公差，可表示出数列的通项公式，再利用裂项相消法计算可表示出，再利用可解出，则可得数列的通项公式，再逐项计算并判断即可得.【详解】由，则，即，故，又，故数列是以为首项的等差数列，设其公差为，则，故，则，则，则，解得，故；对A：由，则，，则，，故，故A正确；对B：由，则，故是递减数列，故B正确；对C：由，则，故C错误；对D：，令，解得，故存在，使得，故D正确.故选：ABD.12．【分析】根据题意可得数列是递减数列，则有，解出即可得.【详解】由等差数列中，当且仅当时取得最大值，则数列是递减数列，又，则，解得，故的取值范围为.故答案为：.13．【分析】假设点坐标，联立直线和抛物线方程，得到关于的一元二次方程，将转化为，再利用韦达定理解.【详解】设，联立直线和抛物线方程，消去得，由一元二次方程根与系数的关系可得；由抛物线的性质可知，，则，即，等式两侧同时平方可得，整理可得，即，解得或（不符合题意舍去），故答案为：1.14．【分析】利用过三点的圆恰与轴相切，求出圆的标准方程，再利用点在圆上，坐标适合方程即可求解．【详解】由已知可得：，线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切，所以圆心坐标为，圆的半径为，所以经过过三点的圆的圆的方程为，在圆上，所以，整理得：，所以，所以，化为：，由，解得.故答案为：．15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立；（2）求出数列的通项公式，化简的表达式，结合等差数列的求和公式可求出数列的前项和.【详解】（1）因为，所以，即.又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）知，可知，当时，，，当时，，，所以数列的前项和为.16．(1)(2)0【分析】（1）设动点，根据两点之间距离公式、点到直线距离公式和题意联立方程即可；（2）设直线的方程为，，联立直线和曲线方程，通过斜率定义表示直线和的斜率之和，再结合韦达定理求解.【详解】（1）设动点，则点与定点的距离，E到定直线的距离为，所以，等式两侧同时平方可得，整理可得曲线C的方程为.（2）如图示，设直线的方程为，，联立直线和曲线方程，消去可得，因为直线与曲线相交于两点，所以，，由韦达定理可知；已知，则直线的斜率为，直线的斜率为，即知，代入，得，再将代入上式，可得，所以直线的斜率之和为.17．(1)证明见解析(2)，【分析】（1）证明线面垂直即可证明；（2）（i）由，可知点为的中点，易证平面平面，过作于,则平面，易得，延长至使得，过作且，则直线AO平面，所以即为直线AO与平面PBC所成的角，易得，，.即可求解直线AO与平面PBC的夹角正弦值；（ii）求出点到面的距离.设平面PBC截球O的截面圆的半径为，球的半径，由，解得，即可求解.【详解】（1）如图：因为平面平面，面平面，过作于，则平面，平面，故.又平面,平面,所以，，所以平面,平面，所以.（2）（i）点为的中点，理由如下：由（1）知平面，平面，.又平面,平面,所以.点为的中点时，故O为三棱锥的外接球的球心.因为平面,所以，又，，所以平面，平面，所以平面平面，过作于,则平面.延长至使得，过作且，则直线AO平面，所以即为直线AO与平面PBC所成的角，易得，

.过作于，则,设，则，，由（1）知，则，即，解得.故，又，解得.所以直线AO与平面PBC的夹角正弦值；（ii）点为的中点，故点到面的距离是点到面的距离的二分之一，又，所以点到面的距离等于点到面的距离，点到面的距离为，故点到面的距离.设平面PBC截球O的截面圆的半径为，球的半径，由，即，解得，所以平面PBC截球O的截面圆的面积为.18．(1)，(2)（i）；（ii），取值范围为【分析】（1）易得曲线的对称轴为，进而可知曲线由椭圆逆时针旋转得到，再根据旋转变换求椭圆方程即可；（2）先根据旋转变换得到曲线，（i）联立椭圆，结合有四个交点即可得到k的取值范围；（ii）根据题意可知四边形为平行四边形，则，再根据即可得到，然后再求范围即可．【详解】（1）设点在曲线上，则，所以，则点也在曲线上，故是曲线的对称轴，又，所以点也在曲线上，故也是曲线的对称轴，综上，曲线的对称轴为；所以曲线由椭圆逆时针旋转得到，设点在椭圆上，逆时针旋转后的坐标为，则，又点在曲线上，所以，即，整理化简得，即椭圆的方程为：；（2）设点在曲线上，逆时针旋转后的坐标为，则，整理得，即曲线，（i）联立，得，因为曲线与椭圆W交于A，B，C，D四点，令，则有两个不同的正数解，，解得或，所以k的取值范围为；（ii）根据题意，椭圆W及曲线关于原点对称，易得四边形为平行四边形，则，不妨设，，在第四象限，则，又，所以，，，则，所以，取值范围为．19．(1)(2)证明见解析，圆F的方程为(3)或【分析】（1）根据焦点的坐标公式求出，再利用代入法进行求解即可；（2）根据抛物线切线的性质，结合一元二次方程根的判别式、直线垂直的性质、圆的定义进行运算证明即可；（3）根据圆的弦长公式，结合一元二次方程的根与系数关系进行求解即可.【详解】（1）因为为抛物线的焦点，所以，因此E的方程为；（2）根据抛物线的性质可知过点P（异于原点）的抛物线的切线的斜率一定存在，且不为零，设点P的坐标为，过点P的抛物线的切线的斜率为，所以该切线的方程为，与抛物线的方程联立，得，因为直线是