课时16　等腰三角形与直角三角形

第四单元三角形课时16等腰三角形与直角三角形目录CONTENTS知识梳理考点精练江西中考教材变式知识梳理一、等腰三角形名称等腰三角形等边三角形性质1．两腰相等，两底角①__________(等边对等角)2．顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)3．是轴对称图形，有一条对称轴1．三边相等2．三个内角相等且每一个角都等于②_____3．内心、外心重合4．是轴对称图形，有三条对称轴相等

60°

名称等腰三角形等边三角形判定1．有两条边相等的三角形是等腰三角形2．有两个角相等的三角形是等腰三角形1．三条边都相等的三角形是等边三角形2．三个角都相等的三角形是等边三角形3．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形二、直角三角形性质1．直角三角形的两个锐角之和等于③__________2．斜边上的中线等于斜边的④__________3．30°角所对的直角边等于斜边的⑤__________4．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c25．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于⑥________90°

一半一半30°a2＋b2＝c2

考点精练例1

如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(

)A．20° B．35°C．40° D．70°考点等腰三角形的性质与判定B训练

1．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为__________．2．如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是______．图2

80°

33．如图3，在△ACB中，AC＝BC，AD为△ACB的高，CE为△ACB的中线．求证：∠DAB＝∠ACE.图3证明：∵AC＝BC，CE为△ACB的中线，∴∠CAB＝∠B，CE⊥AB.∴∠CAB＋∠ACE＝90°.∵AD为△ACB的高，∴∠D＝90°.∴∠DAB＋∠B＝90°.∴∠DAB＝∠ACE.拓展

4．如图4，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿B→A匀速运动；同时点Q从点A出发以同样的速度沿A→C→B匀速运动．当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒，当t＝__________时，以B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形．图4

例2如图5，已知等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为点M，若DE＝2，则BM＝__________.考点等边三角形的性质与判定

图5

训练

5．如图6，△ABC是等边三角形，CB⊥BD，CB＝BD，则∠BAD＝__________.图615°6．如图7，在△ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC，垂足为点E，CF⊥AB，垂足为点F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M.试猜想△DEF的形状并加以证明．图7

解：△DEF是等边三角形．证明：∵∠A＝60°，BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠ABE＝∠ACF＝90°－60°＝30°.在△ABC中，∠BCF＋∠CBE＝180°－60°－30°×2＝60°.∵点D是BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，∴DE＝DF＝BD＝CD.∴∠BDF＝2∠BCF，∠CDE＝2∠CBE.∴∠BDF＋∠CDE＝2(∠BCF＋∠CBE)＝2×60°＝120°.∴∠EDF＝180°－∠BDF－∠CDE＝180°－120°＝60°.∴△DEF是等边三角形．拓展

7．如图8，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边三角形ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(

)A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直图8

A

例3如图9，在△ABC中，AB＝AC，BE，AD分别是边AC，BC上的高，CD＝2，AC＝6，那么BE＝__________.考点直角三角形的性质与判定

图9

图10

D9．如图11所示是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是(

)A．2个 B．3个C．4个 D．5个图11

B10．如图12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(

)图12A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝ECC11．如图13，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线AD，BE交于点F，求∠AFB的度数．图13

教材变式教材母题

1．如图18，P，Q是△ABC的边BC上的两个点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数．图18

解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ.又∠BAP＋∠ABP＝∠APQ，∠C＋∠CAQ＝∠AQP，∴∠BAP＝∠CAQ＝3